Einsteins ekvationer

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 augusti 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Einsteins ekvationer (ibland Einstein-Hilberts [1] ) är ekvationerna för gravitationsfältet som ligger till grund för den allmänna relativitetsteorin , som förbinder komponenterna i den metriska tensorn av krökt rum-tid med komponenterna i energi-momentum-tensorn för materiefyllning rum-tid . Termen används också i singularis: " Einsteins ekvation ", eftersom detta i tensornotation är en ekvation, även om det i komponenter är ett system av ickelinjära differentialekvationer i partiella derivator. $g_{\mu \nu }$

Ekvationerna ser ut så här:

R_{\mu\nu} - {R \over 2} g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu} ,

där är Ricci-tensorn , uttryckt i termer av partiella derivator av den metriska tensorn och erhållen från rumtids-Riemann- kurvaturtensorn genom att konvolvera den med avseende på de övre och mellersta nedre indexen, ; $R_{\mu \nu }$ ${\displaystyle R_{\mu \nu \lambda \kappa ))$ ${\displaystyle R_{\mu \nu }=R_{\mu \lambda \nu }^{\lambda ))$

R är den skalära krökningen , det vill säga Ricci-tensorn vikt med den metriska tensorn,

{\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu ))

g_{\mu \nu }

är den metriska tensorn ,

\lambda

är den kosmologiska konstanten ,

T_{\mu \nu }

är materiens energimoment-tensor , π är talet pi , c är ljusets hastighet i vakuum, G är Newtons gravitationskonstant .

Ekvationen kopplar samman 4×4 tensorer, det vill säga formellt sett innehåller den 16 skalära ekvationer. Men eftersom alla tensorer som ingår i ekvationerna är symmetriska , är dessa ekvationer i fyrdimensionell rumtid ekvivalenta med 4·(4+1)/2=10 skalära ekvationer. Bianchi-identiteterna minskar antalet oberoende ekvationer från 10 till 6.

I en kortare notation är formen på ekvationerna följande:

G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu},

var är Einstein-tensorn , som kombinerar Ricci-tensor, skalär krökning och metrisk tensor. Einstein-tensorn kan representeras som en funktion av den metriska tensorn och dess partiella derivator. $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{R \över 2}g_{\mu \nu }$

Lambdatermen Λ tas ofta lika med noll när man skriver Einsteins ekvationer, eftersom den vanligtvis är liten i problem med lokala skalor långt ifrån kosmologiska. Då är notationen ännu mer förenklad:

G_{\mu\nu} = {8 \pi G \över c^4} T_{\mu\nu}.

Slutligen, med det ofta använda valet av enheter för fysiska storheter på ett sådant sätt att ljusets hastighet och gravitationskonstanten är lika med en dimensionslös enhet, c = G = 1 (det så kallade geometriserade enhetssystemet), av Einsteins ekvationer blir den enklaste; i komponentlös form:

\mathbf{G} = 8 \pi \mathbf{T}.

Således kopplar Einsteinsekvationen de geometriska egenskaperna hos rum-tid (vänster sida av ekvationen, Einstein-tensorn) med materia och dess rörelse (höger sida, energi-momentum-tensor). Kärnan i Einsteins ekvationer kan formuleras på följande sätt: rum-tid talar om för materia hur den ska röra sig, och materia berättar för rum-tid hur den ska krökas.

En av de väsentliga egenskaperna hos Einsteinsekvationerna är deras icke-linjäritet med avseende på komponenterna i den metriska tensorn , vilket leder till svårigheter när man försöker kvantisera gravitationsfältsekvationerna.

Historisk översikt

Albert Einsteins arbete med gravitationsteorin (den allmänna relativitetsteorin), ensamt och i samarbete med ett antal människor, varade från 1907 till 1917 . Mitt i dessa ansträngningar inser Einstein att gravitationspotentialens roll bör spelas av en pseudo-riemannsk metrisk tensor på fyrdimensionell rum-tid, och ekvationen för gravitationsfältet bör vara tensor, inklusive den riemannska krökningstensorn och energi-momentum-tensorn som en fältkälla, som reducerar gränsen för små energier och stationära fält till Poisson-ekvationen i den Newtonska gravitationsteorin. Sedan, 1913, fick han tillsammans med Grossman den första versionen av sådana ekvationer (Einstein-Grossmann-ekvationerna), som sammanfaller med den korrekta endast för frånvaro av materia (eller för materia med en spårlös energi-momentumtensor).

Sommaren 1915 anlände Einstein till universitetet i Göttingen , där han föreläste för tidens ledande matematiker, inklusive Hilbert , om vikten av att konstruera en fysikalisk teori om gravitation och om de mest lovande metoderna för att lösa problemet och dess svårigheter som han hade vid den tiden. En korrespondens började mellan Einstein och Hilbert med en diskussion om detta ämne, vilket kraftigt påskyndade slutförandet av arbetet med härledning av de slutliga fältekvationerna. Tills nyligen trodde man att Hilbert fick dessa ekvationer 5 dagar tidigare, men publicerades senare: Einstein presenterade sitt arbete som innehåller den korrekta versionen av ekvationerna för Berlin Academy den 25 november, och Hilberts anteckning "Fundamentals of Physics" tillkännagavs i november 20, 1915 vid rapporten i Göttingen Mathematical Society och överförd till Royal Scientific Society i Göttingen, 5 dagar före Einstein (publicerad 1916 ). Men 1997 upptäcktes en korrekturläsning av Hilberts artikel daterad den 6 december, av vilken det framgår att Hilbert skrev ut fältekvationerna i klassisk form inte 5 dagar tidigare, utan 4 månader senare än Einstein [2] . Som en del av den slutliga revideringen, satte Hilbert också in hänvisningar till Einsteins parallella papper i december [1] i hans papper .

Till en början löstes Einsteins ekvationer ungefär, i synnerhet härleddes både Newtons klassiska teori och korrigeringar till den från dem. De första exakta lösningarna erhölls av Schwarzschild för det centralt symmetriska fallet. Ett antal lösningar kom snart fram inom ramen för den relativistiska kosmologin .

Beslut

Att lösa Einsteins ekvation innebär att hitta formen för den metriska rum-tidstensorn. Uppgiften sätts genom att sätta randvillkoren , koordinatvillkoren och skriva energimomentumtensorn T μν , som kan beskriva både ett punktmassivt objekt, distribuerad materia eller energi, och hela universum som helhet. Beroende på formen av energimomentumtensorn kan Einsteins ekvationslösningar delas in i vakuum-, fält-, distribuerade, kosmologiska och våglösningar. Det finns också rent matematiska klassificeringar av lösningar baserade på de topologiska eller algebraiska egenskaperna hos den rumtid de beskriver, eller till exempel på den algebraiska symmetrin hos Weyl-tensorn för ett givet rum ( Petrovs klassificering ). $g_{\mu \nu }$

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 För bidrag från Hilbert och Einstein till upptäckten av dessa ekvationer, se detaljer i artikeln: Einstein, Albert#Hilbert och gravitationsfältsekvationerna .
↑ Vizgin V.P. Om upptäckten av gravitationsfältets ekvationer av Einstein och Hilbert (nya material) Arkivkopia av 27 oktober 2020 på Wayback Machine . UFN, volym 171 nr 12 (2001), sid 1347-1363.

Litteratur

Albert Einstein och gravitationsteorin. Sammanfattning av artiklar. — M.: Mir, 1979.
Weinberg S. Gravitation and Cosmology = Gravitation and Cosmology. — M .: Mir, 1975. — 695 sid.
Vizgin V. P. Relativistisk gravitationsteori (ursprung och bildning 1900-1915). — M.: Nauka, 1981.
Kramer D. et al Exakta lösningar av Einsteins ekvationer. — M.: Mir, 1982. — 416 sid.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Fältteori . - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — 512 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Pauli W. Relativitetsteorin. — M.: Nauka, 1991.

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	BNF : 144911223 GND : 4013941-4 J9U : 987007533686305171 LCCN : sh85041416

David Hilberts bidrag till vetenskapen
mellanslag	Hilbert utrymme Pre-Hilbert utrymme Gilbert tegel
axiomatik	Hilberts axiomatik
Satser	Hilberts sats 90 Hilberts grundsats Hilberts nollsats Hilbert-Schmidts sats
Operatörer	Hilbert förvandla Hilbert-Schmidt-operatör
Allmän relativitetsteori	Einstein-Hilberts ekvationer " Hilbert och gravitationsfältsekvationerna "
Övrig	Hilbert problem Hilbert kurva Hilbert matris Hilbert-Arnold problem Hilbertserien och Hilbertpolynomet Paradox "Grand Hotel"