Riktigt projektivt plan


Fundamental polygon det projektiva planet.
En Möbius-remsa med en enda kant kan stängas in i det projektiva planet genom att limma ihop motsatta kanter.
Som jämförelse är en Klein-flaska  en Möbius-remsa försluten till en cylinder.

Det verkliga projektiva planet är ett exempel på ett kompakt oorienterat 2 - grenrör , med andra ord en ensidig yta . Det projektiva planet kan inte bäddas in i det vanliga tredimensionella rummet utan självkorsning. Det huvudsakliga tillämpningsområdet för detta plan är geometri , eftersom huvudkonstruktionen av det verkliga projektiva planet är utrymmet av linjer i R 3 som passerar genom origo.

Planet beskrivs ofta topologiskt i termer av konstruktion utifrån Möbiusremsan  - limmar man Möbiusremsan (enkla) kanten på sig själv i rätt riktning får man ett projektivt plan (detta kan inte göras i tredimensionellt rymden ). På motsvarande sätt ger limning av en cirkel längs gränsen för en Möbiusremsa ett projektivt plan. Topologiskt har ytan Euler-karakteristik 1 eftersom semi -släktet (icke-orienterbart eller Euler-släktet) är 1.

Eftersom Möbiusremsan i sin tur kan konstrueras av en kvadrat genom att limma ihop två av dess sidor, kan det verkliga projektiva planet representeras som en enhetskvadrat (det vill säga [0,1] × [0,1]), där sidorna identifieras av följande relationsekvivalens :

och

,

som på den vänstra bilden ovan.

Exempel

Projektiv geometri handlar inte nödvändigtvis om krökning, och det verkliga projektiva planet kan vridas och placeras i det euklidiska planet eller tredimensionella rymden på många sätt [1] . Några viktiga exempel på häckning av flygplan beskrivs nedan.

Det projektiva planet kan inte bäddas in (utan skärningar) i det tredimensionella euklidiska rummet . Beviset för detta är ungefär så här: Antag att planet är inbäddat, då begränsar det projektiva planet ett kompakt område av tredimensionellt euklidiskt rymd enligt den generaliserade Jordansatsen . Det utåtriktade enhetsvektorfältet definierar sedan orienteringen för grenrörets gräns, men grenrörets gräns är det projektiva planet , som inte är orienterbart. Vi har en motsägelse.

Projektiv sfär

Betrakta en sfär , låt de stora cirklarna i sfären vara "räta linjer" och paren av antipodalpunkter vara "punkter". Det är lätt att verifiera att systemet lyder det projektiva planets axiom :

Om vi ​​identifierar någon punkt på sfären med dess antipodalpunkt får vi en representation av det verkliga projektiva planet, där "punkterna" i det projektiva planet är verkliga punkter. Det betyder att det projektiva planet är sfärens kvotutrymme, vilket erhålls genom att dela sfären i ekvivalensklasser med relationen , där om y = −x. Detta kvotutrymme är homeomorft till mängden av alla linjer som passerar genom origo i R 3 .

Faktoravbildningen från sfären till det verkliga projektiva planet är i själva verket en tvåarks (det vill säga två-till-en) täckning . Det följer att grundgruppen för det reella projektiva planet är en cyklisk grupp av ordning 2. Man kan ta cykeln AB i figuren ovan som en generator.

Projektiv halvklot

Eftersom sfären täcker det verkliga projektiva planet två gånger, kan det projektiva planet representeras som en sluten halvklot, där kantens motsatta punkter identifieras [2] .

Battle Surface - Immersion

Det projektiva planet kan nedsänkas (lokala stadsdelar i definitionsdomänen har inte självkorsningar) i tredimensionellt rymd. Bois yta är ett exempel på sådan nedsänkning.

Polyedriska exempel måste ha minst nio sidor [3] .

Romersk yta

Steinerromerska ytan är en degenererad kartläggning av det projektiva planet till ett tredimensionellt utrymme som innehåller Möbiusremsan .

Polyederrepresentationen  är tetrahemihexaedern [4] , som har samma allmänna form som Steinerytan .

Semipolyhedra

I den andra riktningen kan några abstrakta regelbundna polyedrar , semicube , semidodecahedron och semiicosahedron , konstrueras som figurer i det projektiva planet . Se artikeln " Projective polyhedron ".

Plana projektioner

Olika plana projektioner eller projektioner av det projektiva planet har beskrivits. 1874 beskrev Klein kartläggningen [1]

Den centrala projektionen av en projektiv halvklot på ett plan ger det vanliga oändliga projektiva planet, som beskrivs nedan.

Möbius remsa

Om vi ​​limmar cirkeln med Möbiusremsan får vi en sluten yta. Denna yta kan representeras parametriskt med följande ekvationer:

där u och v går från 0 till 2 π . Dessa ekvationer liknar de för en torus . Figur 1 visar en sluten skiva med en Möbius-remsa.

Figur 1. Två vyer av en skiva med en Möbius-remsa.

Skivan med Möbius-remsan har ett symmetriplan , som passerar genom ett segment med skärningspunkter (i figuren kommer planet att vara horisontellt). I figur 1 visas Möbius-remsskivan ovanifrån med avseende på symmetriplanet z = 0, men den kommer att se exakt likadan ut när den ses underifrån.

En skiva med en Möbius-remsa kan skäras längs symmetriplanet under förutsättning att ingen dubbelspets skärs. Resultatet visas i figur 2.

Figur 2. Två vyer av en dissekerad skiva med en Möbiusremsa.

Under detta tillstånd kan man se att en dissekerad skiva med en Möbiusremsa är homeomorf till en självkorsande skiva, som visas i figur 3.

Figur 3. Två olika vyer av en självkorsande skiva.

En självkorsande skiva är homeomorf till en vanlig skiva. Parametriska ekvationer för en självkorsande skiva:

där u går från 0 till 2 π och v går från 0 till 1.

Projektionen av en självkorsande skiva på ett symmetriplan ( z = 0 under ovanstående parametrisering), som bara passerar genom dubbla punkter, är en vanlig skiva som upprepar sig (viker sig på sig själv).

Planet z = 0 skär den självkorsande skivan till ett par skivor som är spegelbilder av varandra. Skivorna är centrerade vid ursprunget .

Betrakta nu skivfälgar (med v = 1). Punkter på kanten av en självkorsande skiva kommer i par som reflektioner av varandra kring z = 0-planet.

Skivan med Möbiusremsan bildas genom att identifiera dessa punkter. Det betyder att en punkt med parametrar ( u ,1) och koordinater identifieras med en punkt ( u + π,1) vars koordinater är . Men detta betyder att par av motsatta punkter på kanten av en (motsvarande) vanlig skiva identifieras. Således bildas ett verkligt projektivt plan från skivan, så att ytan som visas i figur 1 (skivan med Möbius-remsan) är topologiskt ekvivalent med det verkliga projektiva planet RP2 .

Homogena koordinater

Planets punkter kan representeras av homogena koordinater . Punkten har homogena koordinater , medan koordinaterna och motsvarar samma punkt för alla värden som inte är noll på t . Punkter med koordinater representerar det vanliga reella planet , som kallas den ändliga delen av det projektiva planet, och punkter med koordinater kallas punkter i oändligheten eller idealpunkter , som bildar en linje, som kallas linjen i oändligheten . Homogena koordinater representerar inte någon punkt.

Linjer i planet kan representeras av homogena koordinater. Den projektiva linjen som motsvarar planet i R 3 har homogena koordinater . Således har dessa koordinater en ekvivalensrelation för alla icke-nollvärden av d . Detta är en konsekvens av att ekvationen för samma linje ger samma homogena koordinater. En punkt ligger på en linje om . Linjer med koordinater där a och b inte är lika med 0 motsvarar alltså linjer i det vanliga reella planet , eftersom de innehåller punkter som inte ligger i oändligheten. Linjen med koordinater är en linje i oändligheten, eftersom endast punkter ligger på den för vilka .

Punkter, linjer och plan

En rät linje i planet P 2 kan representeras av ekvationen . Om vi ​​betraktar a , b och c som kolumnvektorn g , och x , y , z som kolumnvektorn x , så kan ovanstående ekvation skrivas som:

eller .

Med hjälp av vektornotation kan vi istället skriva

eller .

Ekvationen (där k är en skalär som inte är noll) sveper ut ett plan som passerar genom origo vid R 3 , och k ( x ) sveper ut en linje genom origo igen. Planet och linjen är linjära delrum i R 3 som alltid går genom origo.

Ideala poäng

I P 2 är ekvationen för en linje , och denna ekvation kan representera vilken linje som helst på vilket plan som helst parallellt med x , y - planet när ekvationen multipliceras med k .

Om z = 1 har vi normaliserade homogena koordinater. Alla punkter för vilka z = 1 skapar ett plan. Låt oss föreställa oss att vi tittar på detta plan (från en punkt längre längs z -axeln och tittar mot origo) och det finns två parallella linjer på planet. Ur synvinkel kan vi bara se en del av planet (på grund av synens egenskaper), som är markerat med rött i figuren. Om vi ​​rör oss bort från planet längs z -axeln (medan vi fortsätter att titta mot origo) kan vi se det mesta av planet. Utgångspunkterna för vårt synfragment rör sig. Vi kan reflektera denna rörelse genom att dividera homogena koordinater med en konstant. I figuren har vi dividerat med 2, så z -värdet är nu 0,5. Om vi ​​rör oss tillräckligt långt bort förvandlas området i fråga till en prick. När vi går bort ser vi linjerna mer och mer brett, medan de parallella linjerna skär varandra på linjen i oändligheten (linjen som går genom origo på planet z \u003d 0). Linjerna på planet z = 0 är idealpunkter. Planet z = 0 är en rät linje i oändligheten.

En punkt med enhetliga koordinater (0, 0, 0) är den punkt där alla reella punkter konvergerar när man tittar på planet från oändligheten, och linjen på planet z = 0) är linjen där alla parallella linjer skär varandra.

Dualitet

Det finns två kolumnvektorer i ekvationen . Du kan ändra en annan samtidigt som du håller en kolumn konstant. Om vi ​​håller punkten x konstant och ändrar koefficienterna g skapar vi nya linjer som går genom punkten. Om vi ​​håller koefficienterna konstanta och ändrar punkterna som uppfyller ekvationen skapar vi en rät linje. Vi behandlar x som en punkt eftersom axlarna vi använder är x , y och z . Om vi ​​istället använder a , b , c -axlarna som koefficienter blir punkterna räta linjer och de räta linjerna till punkter. Om vi ​​bevisar något faktum för den grafiska representationen av data på x- , y- och z -axlarna kan samma resonemang användas för a- , b- och c -axlarna . Detta kallas dualitet.

Linjer som förbinder punkter och skärningspunkter mellan linjer (med hjälp av dualitet)

Ekvationen beräknar punktprodukten av två kolumnvektorer. Punktprodukten av två vektorer är noll om vektorerna är ortogonala . I P 2 - planet kan linjen mellan punkterna x 1 och x 2 representeras som en kolumnvektor g som uppfyller ekvationerna och eller, med andra ord, en kolumnvektor g som är ortogonal mot vektorerna x 1 och x 2 . Korsprodukten hittar en sådan vektor - en rät linje som förbinder två punkter har homogena koordinater som ges av ekvationen - . Skärningen av två linjer kan hittas på samma sätt, med hjälp av dualitet, som korsprodukten av vektorerna som representerar linjerna .

Inbäddning i 4-dimensionellt utrymme

Det projektiva planet är inbäddat i det 4-dimensionella euklidiska rummet. Det verkliga projektiva planet P 2 ( R ) är kvotutrymmet för 2-sfären

i antipodal relation . Betrakta en funktion som ges som . Denna mappning är begränsad till en mappning vars domän är S 2 och eftersom varje term är ett homogent polynom av jämn grad, tar den samma värden i R 4 vid var och en av de två antipodalpunkterna i sfären S 2 . Detta ger displayen . Dessutom är denna kartläggning en bilaga. Observera att denna inbäddning tillåter projektion in i R3 , som en romersk

Icke-orienterbara ytor av högre semigenus

Genom att limma de projektiva planen efter varandra får vi icke-orienterbara ytor av en högre semigenus . Limningsprocessen består av att skära en liten skiva från varje yta och identifiera ( limma ) gränserna. Att limma två projektiva plan ger en Klein-flaska .

Artikeln om den grundläggande polygonen beskriver icke-orienterbara ytor av en högre semigenus.

Se även

Anteckningar

  1. 1 2 Apéry, 1987 .
  2. Veckor, 2002 , sid. 59.
  3. Brehm, 1990 , sid. 51-56.
  4. Richter .

Litteratur

  • Apery F. Modeller av det verkliga projektiva planet. - Vieweg, 1987. - ISBN 9783528089559 .
  • Coxeter HSM The Real Projective Plane. — 2:a uppl. — Cambridge: Vid University Press, 1955.
  • Reinhold Baer. Linjär algebra och projektiv geometri. - Dover, 2005. - ISBN 0-486-44565-8 .
  • David A. Richter. Två modeller av det verkliga projektiva planet .
  • Veckor J. Utrymmets form. - Marcel Dekker, Ine, 2002. - (MONOGRAFIER OCH LÄREBÖCKER I ren och tillämpad matematik). — ISBN 0-8247-0709-5 .
  • Brehm U. Hur man bygger minimala polyedriska modeller av pojkens yta // Den matematiska intelligensen. - 1990. - T. 12 , nr. 4 .

Länkar