Hyperbolisk bana

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 6 juli 2020; verifiering kräver 1 redigering .

Hyperbolisk bana - i astrodynamik och himlamekanik , banan för ett objekt runt en central kropp med en hastighet som är tillräcklig för att övervinna attraktionen av den centrala kroppen. Formen på banan i det icke-relativistiska fallet är en hyperbel . Den orbitala excentriciteten överstiger enhet.

Under standardantaganden kan en kropp som rör sig längs en sådan bana röra sig till oändligheten samtidigt som den bibehåller en hastighet som inte är noll i förhållande till den centrala kroppen. I analogi med en parabolisk bana är alla hyperboliska banor flyktbanor . Orbital energi per massenhet är ett positivt värde.

Förbiflygningar av planeter som används i gravitationshjälp kan representeras i gravitationssfären som hyperboliska banor.

Parametrar som beskriver en hyperbolisk bana

Liksom en elliptisk omloppsbana kan den hyperboliska banan för ett givet system bestämmas (utan hänsyn till orientering) av värdet på den halvstora axeln och excentriciteten. Andra parametrar kan dock vara mer användbara för att studera kroppsrörelser. Följande tabell listar huvudparametrarna som beskriver en kropps rörelse längs en hyperbolisk bana runt en annan kropp.

Hyperboliska banekvationer

Element	Symbol	Formel	Representation via (eller ) och ${\displaystyle v_{\infty ))$ $a$ $b$
Gravity parameter	$\mu\,$	${\frac {v^{2}}{(2/r-1/a)))$	${\displaystyle bv_{\infty }^{2}\cot \theta _{\infty ))$
Excentricitet (>1)	$e$	${\frac {\ell }{r_{p))}-1$	${\displaystyle {\sqrt {1+b^{2}/a^{2))))$
Huvudaxel (<0)	$a\,\!$	$1/(2/rv^{2}/\mu )$	${\displaystyle -\mu /v_{\infty }^{2))$
Hyperbolisk överhastighet	${\displaystyle v_{\infty ))$	${\sqrt {-\mu /a}}$
Vinkel mellan asymptoter (yttre)	${\displaystyle 2\theta _{\infty ))$	$2\arccos(-1/e)$	$\pi +2\operatörsnamn {arctg} (b/a)$
Siktavstånd ( mindre axel )	$b$	$-a{\sqrt {e^{2}-1))$	${\displaystyle}$
Parameter	$\aln$	$a(1-e^{2})$	$b^{2}/a=h^{2}/\mu$
Pericentriskt avstånd	$r_{p}$	$a(1-e)$	${\sqrt {a^{2}+b^{2))}+a$
Orbital energi per massenhet	$\varepsilon$	$-\mu /2a$	$v_{\infty }^{2}/2$
Vinkelmoment per massenhet	$h$	${\sqrt {\mu \ell ))$	${\displaystyle bv_{\infty ))$

Halvstor axel, energi och hyperbolisk överhastighet

Halvhuvudaxeln observeras inte direkt på en hyperbolisk bana, men den kan plottas som avståndet från periapsis till asymptoternas skärningspunkt. Vanligtvis anses värdet på halvstoraxeln i den hyperboliska omloppsbanan vara negativ, då är många ekvationer av elliptiska banor förenliga med ekvationerna för hyperboliska banor.

Halvstoraxeln är direkt relaterad till energivärdet ( ) eller banans karakteristiska energi och till den hastighet som kroppen har när avståndet tenderar till oändlighet, det vill säga med det hyperboliska hastighetsöverskottet ( ). $\epsilon\,$ $C_{3}$ $v_{\infty }\,\!$

v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /a

eller

a=-{\mu /{v_{\infty }^{2))},

var är gravitationsparametern , är den karakteristiska energin som ofta används vid planering av interplanetära uppdrag. $\mu =Gm\,\!$ $C_{3}$

Observera att i fallet med en hyperbolisk bana är den totala energin positiv. I fallet med en elliptisk bana är den totala energin negativ.

Excentricitet och vinkeln mellan inflygningsriktning och borttagning av kroppen

Excentriciteten ( ) för den hyperboliska omloppsbanan är större än en. Det är direkt relaterat till vinkeln mellan asymptoterna. Med en excentricitet något större än en ser hyperbeln ut som bokstaven V. När asymptoterna skär varandra i räta vinklar. När vinkeln mellan asymptoterna är mer än 120° överstiger det pericentriska avståndet värdet för den stora halvaxeln. Med en ytterligare ökning av excentriciteten närmar sig banan en rak linje. $e\,$ $e={\sqrt {2}}$ $e>2$

Vinkeln mellan riktningen till periapsis och asymptoten från den centrala kroppen är en sann anomali eftersom avståndet tenderar att vara oändligt ( ), därför är det en yttre vinkel till vinkeln mellan riktningarna för närmande och avlägsnande av kroppen (mellan asymptoter). Sedan $\theta _{\infty }\,$ $2\theta _{\infty }\,$

\theta {_{\infty }}=\arccos(-1/e)\,

eller

e=-1/\cos \theta {_{\infty }}\,.

Påverkansparameter och närmaste tillvägagångssätt

Islagsparametern är det avstånd på vilket kroppen, om den fortsatte att röra sig längs den opåverkade banan, närmade sig den centrala kroppen i ögonblicket för dess närmaste passage. Eftersom kropparna har en gravitationseffekt på varandra och den ena kroppen rör sig längs en hyperbolisk bana runt den andra, kommer anslagsparametern att vara lika med hyperbelns mindre halvaxel.

När ett rymdskepp eller en komet närmar sig en planet måste nedslagsparametern och hastigheten i oändligheten vara känd exakt. Om parametrarna för den centrala kroppen är kända, kan den närmande kroppens omloppsbana bestämmas, inklusive avståndet vid periapsis. Om målavståndet är mindre än planetens radie kommer en kollision att inträffa. Minsta avstånd (avstånd vid periapsis) bestäms av formeln

r_{p}=-a(e-1)=\mu /v{_{\infty }}^{2}({\sqrt {1+(bv{_{\infty }}^{2 }/\mu )^{2}}}-1).

När en komet närmar sig jorden ( effektiv radie är cirka 6400 km) med en hastighet av 12,5 km/s (minsta hastighet på jorden som närmar sig en kropp från det yttre området av solsystemet ), kommer nedslaget inte att inträffa om nedslaget parametern är mer än 8600 km (34 % mer än jordens radie). En kropp som närmar sig Jupiter (med en radie på 70 000 km) med en hastighet av 5 km/s kommer att behöva ett islagsavstånd på mer än 770 000 km, vilket är 11 gånger större än Jupiters radie, för att undvika kollisioner.

Om den centrala kroppens massa är okänd, kan värdet på gravitationsparametern bestämmas från avvikelsen av den lilla kroppens bana, om närmandehastigheten och siktavståndet är kända. Eftersom de senare värdena vanligtvis bestäms ganska exakt, kan en förbiflygning av en planet ge en uppskattning av dess massa.

\mu =bv_{\infty }^{2}\operatörsnamn {tg} \delta /2

, där är lika med vinkeln med vilken den lilla kroppen avviker från den initiala rätlinjiga banan.

\delta =2\theta _{\infty }-\pi

Rörelseekvationer

Position

På en hyperbolisk bana är den sanna anomalien relaterad till avståndet mellan cirkulerande kroppar ( ) med hjälp av omloppsekvationen: $\theta$ $r\,$

r={\frac {\ell }{1+e\cdot \cos \theta )).

Relationen mellan den sanna anomalien θ och den excentriska anomalien E har formen

{\displaystyle \operatorname {ch} {E}={{\cos {\theta }+e} \över {1+e\cdot \cos {\theta ))))

eller

\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\cdot \operatorname {th} {\frac {E }{2}}.

Den excentriska anomali E är relaterad till medelanomali M av Kepler-ekvationen :

M=e\cdot \operatörsnamn {sh} EE.

Den genomsnittliga anomalien är proportionell mot tiden:

M={\sqrt {\frac {\mu }{-a^{3)))).(t-\tau ),

där μ är gravitationsparametern, a är banans halvstora axel.

Vinkeln φ mellan hastighetsvektorn och vinkelrät mot radievektorn ges av

\operatorname {tg} \varphi ={\frac {e\cdot \sin \theta }{1+e\cdot \cos \theta )).

Hastighet

Under standardantaganden kan omloppshastigheten ( ) för en kropp som rör sig längs en hyperbolisk bana beräknas enligt följande: $v\,$

v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right))),

var

\mu\,

är gravitationsparametern,

r\,

är avståndet från den centrala kroppen till den cirkulerande,

a\,\!

är banans halvstora axel (negativ i detta fall).

Under standardantaganden, för varje position av kroppen i omloppsbana, kommer följande relation mellan omloppshastighet ( ), lokal flykthastighet ( ) och hyperbolisk överhastighet ( ) att vara giltig: $v\,$ ${v_{esc}}\,$ $v_{\infty }\,\!$

v^{2}={v_{esc}}^{2}+{v_{\infty }}^{2}

Observera att i detta fall kommer ett tillräckligt litet tilläggsvärde på Δ v till hastigheten som krävs för att förflytta kroppen till oändligheten leda till en kraftig ökning av hastigheten på oändligt avstånd. Till exempel, vid en punkt där utrymningshastigheten är 11,2 km/s kommer att lägga till 0,4 km/s resultera i ett hyperboliskt överskott på 3,02 km/s :

{\sqrt {11{,}6^{2}-11{,}2^{2}}}=3{,}02.

Detta exempel illustrerar Oberth-effekten . Den omvända effekten manifesteras också: kroppen behöver inte en kraftig retardation jämfört med det hyperboliska överskottet av hastighet (till exempel retardation av atmosfären vid periapsispunkten) för att hastigheten ska vara mindre än flykthastigheten och kroppen att fångas av det attraherande centrumet.

Radiell hyperbolisk bana

En radiell hyperbolisk bana är en icke-periodisk radiell bana där kropparnas relativa hastighet alltid överstiger flykthastigheten. Det finns två fall: kroppar rör sig bort från varandra eller mot varandra. En sådan bana är en hyperbolisk bana med en semi-minoraxel noll, excentriciteten är lika med en.

Relativistiskt tvåkroppsproblem

I samband med tvåkroppsproblemet i den allmänna relativitetsteorien har banorna för objekt vars energi är tillräcklig för att övervinna varandras gravitationella attraktion inte formen av en hyperbel. Ändå används termen hyperbolisk bana för att beskriva banor av denna typ.

Anteckningar

Vallado, David A. Fundamentals of Astrodynamics and Applications, tredje upplagan (engelska) . - Hawthorne, CA.: Hawthorne Press, 2007. - ISBN 978-1-881883-14-2 .

Länkar

Banor

Typer

Main	Box omloppsbana Fånga omloppsbana cirkulär bana Elliptical Orbit / High Elliptical Orbit Care Orbit Begravningsbana Hyperbolisk bana Lutande bana / Non-Clined Orbit Oskulerande bana Parabolisk bana Referensbana (inklusive låg ) synkron bana ( Halvsynkron subsynkron ) Stationär bana
Geocentrisk	geosynkron bana geostationär bana Solsynkron bana Låg jordbana Medium jordbana Hög jordbana Orbit "Lightning" Ekvatorial bana Månens bana polär bana Bana "Tundra" TLE
Runt andra himlakroppar och punkter	Areosynkron bana Areostationär bana halo omloppsbana Bana Lissajous månens bana Heliocentrisk bana Solsynkron bana

alternativ

Klassisk	$jag\,\!$ Humör $\Omega\,\!$ Stigande nodlongitud $e\,\!$ Excentricitet $\omega\,\!$ periapsis argument $a\,\!$ Huvudaxel $M_o\,\!$ Genomsnittlig anomali per epok
Övrig	$\nu\,\!$ Sann anomali $b\,\!$ Mindre axel $E\,\!$ Excentrisk anomali $L\,\!$ Genomsnittlig longitud $l\,\!$ verklig longitud $T\,\!$ Cirkulationsperiod

Orbital manövrar
Bi-elliptisk överföringsbana Karakteristisk hastighetsmarginal geoöverföringsbana Tyngdkraftsmanöver Tyngdkraftsväng Hohmanns bana Övergångsväg till låg kostnad Oberth effekt Orbital lutning förändring Banfasning Dockning Transponering, dockning och extrahering tillbakadragningsmanöver

Andra ämnen inom astrodynamik
Himmelskt koordinatsystem Ekvatorialt koordinatsystem Epok Efemerid Keplers lagar Gravitationsproblem med N-kroppar Lagrange poäng Störning Interplanetära transportnätverksbana ekvation Apocenter och periapsis Orbital hastighet Gravity parameter Orbitaltillståndsvektorer Speciell orbital energi Speciellt relativt vridmoment direkt rörelse retrograd rörelse Bana spår

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)