Identitetsmatris

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 6 december 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Identitetsmatrisen är en kvadratisk matris , vars element i huvuddiagonalen är lika med fältenheten och resten är lika med noll.

Definition

En kvadratisk matris av storlek (ordning) , där för vilken som helst , och för vilken som helst , kallas ordningens identitetsmatris [1] . $E_{n}=(e_{{ij}})$ $n$ $e_{{ii}}=1$ $i\in \overline {1,n}$ $e_{{ij}}=0$ $i\neq j$ $n$

Identitetsmatrisen kan också definieras som en matris för vilken , där är Kronecker-symbolen [1] . $(e_{{ij}})$ $e_{{ij}}=\delta _{{ij}}$ $\delta _{{ij}}$

Identitetsmatrisen är ett specialfall av den skalära matrisen .

Beteckning

Identitetsmatrisen av storlek betecknas vanligtvis som: $n\ gånger n$ $E_{n}$

E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix)),

En annan notation används också: . $I}$

Om det framgår av sammanhanget vilken storlek matrisen är, så utelämnas sänkningen (som anger ordningen): , [1] . $E$ $jag$

Egenskaper

Produkten av vilken matris som helst och en identitetsmatris av lämplig storlek är lika med själva matrisen [1] :

AE=EA=A

En kvadratisk matris till nollpotensen ger en identitetsmatris av samma storlek [1] :

A^{0}=E

När man multiplicerar en matris med dess invers , erhålls även identitetsmatrisen [2] :

AA^{-1}=A^{-1}A=E

Identitetsmatrisen erhålls genom att multiplicera en ortogonal matris med dess transponerade matris [3] :

AA^{T}=E

Identitetsmatrisens determinant är lika med en:

{\mathrm {det}}\,E=1

Exempel

Första ordningens identitetsmatriser har formen

E_{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix)),\ E_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix)),\ E_{3}={\ börja{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\slut{pmatrix}}

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 5 Gantmakher, 1966 , sid. 24.
↑ Gantmakher, 1966 , sid. 27.
↑ Gantmakher, 1966 , sid. 238.

Litteratur

Gantmakher, F. R. Matrix Theory. - 2:a uppl., tillägg .. -M .:Nauka, 1966. - 576 sid.
Se referenser för linjär algebra

Se även

Noll matris

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig