Spegelsymmetri (strängteori)

Inom matematik och teoretisk fysik är spegelsymmetri likvärdigheten mellan Calabi-Yaus mångfald i följande betydelse. Två Calabi-Yau grenrör kan vara helt olika geometriskt, men ge samma elementära partikelfysik när de används som "vikta" extra dimensioner av strängteorin . Sådana grenrör i sig kallas spegelsymmetriska .

Spegelsymmetri upptäcktes ursprungligen av fysiker. Matematiker blev intresserade av detta fenomen runt 1990, när Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green och Linda Parks visade att spegelsymmetri kan användas som ett verktyg i beräkningsgeometri , en gren av matematiken som handlar om att räkna antalet svar till vissa geometriska frågor. Candelas et al visade att spegelsymmetri kan användas för att räkna antalet rationella kurvor på en Calabi-Yau-sort, vilket löser ett långvarigt problem. Även om det ursprungliga tillvägagångssättet för spegelsymmetri var baserad på idéer formulerade på en fysisk nivå av rigor, kunde matematiker rigoröst bevisa några av de förutsägelser som fysiker gjorde.

Spegelsymmetri är nu ett av de mest vanliga forskningsområdena inom ren matematik , och matematiker arbetar för att utveckla en matematisk förståelse av detta fysiska intuitionsbaserade fenomen. Dessutom är spegelsymmetri det huvudsakliga beräkningsverktyget inom strängteorin; det har också använts för att förstå detaljerna i kvantfältteorin , den formalism genom vilken fysiker beskriver elementarpartiklar . Viktiga tillvägagångssätt för spegelsymmetri inkluderar Maxim Kontsevichs homologiska spegelsymmetriprogram och SYZ-hypotesen från Strominger , Yau och Zaslow .

Översikt

Strängar och kompaktering

Strängteori  är en teori där de fundamentala objekten inte är punktpartiklar, utan endimensionella objekt som kallas strängar. Strängarna är öppna och stängda; öppna ser ut som segment, slutna ser ut som slingor. Strängteorin handlar om att beskriva hur dessa grundläggande objekt – strängar – fortplantar sig genom rymden och interagerar med varandra. På avstånd större än Plancklängden ser strängen ut som en punktpartikel med sin egen massa , laddning och andra egenskaper som beror på strängens vibrationsläge. Splittringen och rekombinationen av strängar motsvarar emissionen och absorptionen av partiklar - alltså har vi ett strängspråk som beskriver interaktionen mellan partiklar. [ett]

Det finns en betydande skillnad mellan den värld som beskrivs av strängteorin och den värld vi möter i vardagen. I det vanliga livet observerar vi tre rumsliga dimensioner (upp/ner, vänster/höger och framåt/bakåt) och samtidigt o e (tidigare/senare). Alltså, i modern fysiks språk, är rum-tid fyrdimensionell. [2] En av särdragen i strängteorin är det faktum att för dess självkonsistens krävs ytterligare dimensioner av rum-tid. Supersträngteorin (en version av strängteorin som inkluderar supersymmetri ) kräver sex ytterligare dimensioner av rumtid utöver de vanliga fyra. [3]

Ett av målen med aktuell forskning inom strängteori är att utveckla modeller där strängar beskriver beteendet hos partiklar som observerats i högenergifysikexperiment. Världen i vilken vi observerar partiklar verkar för oss vara fyrdimensionell - därför är det nödvändigt att välja ett sätt att reducera till fyra dimensioner på de avstånd vi är vana vid. I de mest realistiska teorierna uppnås detta genom en kompakteringsprocess , där de ytterligare dimensionerna "stänger" sig själva i en cirkel. [4] Om dessa "vikta" ytterligare dimensioner visar sig vara mycket små, kommer det att förefalla oss att rum-tiden i en sådan teori har färre dimensioner. Standardanalogin här är en trädgårdsslang. Sedd på tillräckligt stort avstånd ger en trädgårdsslang intrycket av ett endimensionellt föremål. Samtidigt, om du närmar dig det, kommer du också att se den andra dimensionen som motsvarar cirkeln. Så en myra som kryper på ytan av en slang rör sig faktiskt i två dimensioner, inte en. [5]

Calabi-Yau grenrör

Med hjälp av kompaktering kan man förvandla de resulterande teoretiskt flerdimensionella utrymmena till effektivt fyrdimensionella. Men inte alla sätt att kompaktera leder till ett fyrdimensionellt utrymme som skulle kunna beskriva vår värld. Det kan erhållas att de kompakta tilläggsmåtten bör ha formen av ett Calabi-Yau grenrör . [4] En Calabi-Yau grenrör är ett (vanligtvis komplext tredimensionellt) utrymme vars huvudsakliga egenskap är trivialiteten i den kanoniska bunten . Den är uppkallad efter Eugenio Calabi , som formulerade gissningen om existensen och unikheten hos motsvarande metrik  - Calabi -förmodan  - och Shintan Yau , som bevisade det. [6]

Efter att Calabi-Yaus grenrör kom in i fysiken (som ett sätt att kompaktera "extra" dimensioner), började fysiker studera dem intensivt. I slutet av 1980-talet märkte Wafa och andra att det var omöjligt att unikt återställa Calabi-Yau-grenröret från vilket kompakteringen utfördes från det resulterande fyrdimensionella utrymmet. [7] Istället kan två olika strängteorier - typ IIA-strängteori och typ IIB-strängteori  - kompakteras med hjälp av helt olika Calabi-Yau-grenrör på ett sådant sätt att det leder till samma fysik. [8] Sådana två Calabi-Yau-grenrör sägs vara spegelsymmetriska, och överensstämmelsen mellan de två ursprungliga strängteorierna (mer exakt, de konforma fältteorierna som beskriver dem) kallas spegelsymmetri. [9]

Spegelsymmetri är ett specialfall av vad fysiker kallar dualitet . Dualiteter är situationer när två olika fysikaliska teorier visar sig vara likvärdiga på ett icke-trivialt sätt. Om det är möjligt att göra en sådan transformation att en teoris ekvationer sammanfaller med en annan teoris ekvationer, så kallas två sådana teorier dual med avseende på denna transformation. Det kan uttryckas annorlunda: två dubbla teorier är matematiskt olika beskrivningar av samma fenomen. [10] Sådana dualiteter uppstår ofta i modern fysik, särskilt inom strängteorin. [elva]

Oavsett om komprimeringarna av strängteorin med Calabi-Yaus grenrör är relevanta för den verkliga världen, har förekomsten av spegelsymmetri betydande matematiska implikationer. [12] Calabi-Yau grenrör är ett föremål för studier i ren matematik och, med hjälp av spegelsymmetri, tillåter matematiker att lösa problem i enumerativ algebraisk geometri . Ett typiskt beräkningsgeometriproblem är att räkna antalet rationella kurvor på ett Calabi-Yau-grenrör (som det som visas ovan). Med hjälp av spegelsymmetri har matematiker visat att detta problem har en motsvarighet till ett spegelsymmetriskt grenrör, vilket är lättare att lösa. [13]

Fysiker har erhållit spegelsymmetri utan att tillgripa matematiska överväganden. [14] Samtidigt är matematiker vanligtvis intresserade av matematiskt rigorösa bevis – bevis där det inte finns plats för fysisk intuition. Ur en matematisk synvinkel är versionen av spegelsymmetri som beskrivs ovan fortfarande ett antagande, men det finns en annan version av spegelsymmetri - en version förknippad med topologisk strängteori , en förenklad strängteori introducerad av Witten , [15] som har varit rigoröst bevisat av matematiker. [16] I den topologiska strängteorins språk är spegelsymmetri ett uttalande om likvärdigheten mellan A-modellen och B-modellen ; de är likvärdiga i den meningen att de är förbundna med dualitet. [17] Nu arbetar matematiker aktivt med att utveckla en matematisk förståelse av spegelsymmetri, som upptäcktes av fysiker på ett språk som är bekvämare för fysiker att tänka på. [18] I synnerhet förstår matematiker ännu inte fullt ut hur man konstruerar nya exempel på spegelsymmetriska Calabi-Yau-grenrör, trots vissa framsteg på detta område. [19]

Historik

Ursprunget till spegelsymmetri bör sökas i mitten av 1980-talet, när det märktes att en sluten sträng som utbreder sig längs en cirkel med radie är fysiskt likvärdig med en sluten sträng som utbreder sig längs en cirkel med radie (i något system av enheter ). [20] Detta fenomen kallas T-dualitet och är nära relaterat till spegelsymmetri. [21] I ett papper från 1985 visade Candelas, Horowitz, Strominger och Witten att genom att kompaktifiera strängteorin med ett Calabi-Yau-grenrör, kan man få en teori som liknar standardmodellen för partikelfysik . [22] Efter detta övervägande började fysiker studera komprimeringen av Calabi-Yaus grenrör i hopp om att konstruera partikelfysik som beskriver den verkliga världen, vilket skulle vara en konsekvens av strängteorin. Vafa och andra har märkt att från denna modell av 4D-partikelfysik är det omöjligt att entydigt rekonstruera Calabi-Yau-grenröret som kompakterades. Istället finns det två Calabi-Yau-grenrör som leder till samma fyrdimensionella teorier om partikelfysik. [23]

Genom att studera överensstämmelser mellan Calabi-Yaus grenrör och vissa konforma fältteorier ( Gepner-modeller ) har Brian Greene och Ronen Plesser hittat icke-triviala exempel på spegelkorrespondens. [24] Denna fråga utvecklades ytterligare något senare, när Philip Candelas och två av hans elever testade ett stort antal Calabi-Yau-grenrör på en dator och fann att var och en av dem är ett "spegelsymmetriskt par" för någon annan. [25]

Matematiker blev intresserade av spegelsymmetri runt 1990, när fysikerna Philippe Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green och Linda Parks visade att den kunde användas för att lösa decennier långa problem inom beräkningsgeometri . [26] [27] Dessa resultat presenterades vid Berkeley- konferensen i maj 1991. Under denna konferens märktes det att ett av de siffror som Candelas erhöll vid beräkning av rationella kurvor inte sammanföll med talet som erhölls av de norska matematikerna Geir Ellingsrud och Stein Arild Stromme, som uppenbarligen använde mer rigorösa överväganden. [28] De flesta av matematikerna vid konferensen trodde att Candelas arbete innehöll ett fel, eftersom det var baserat på matematiskt lösa bedömningar. Ellingsrud och Stromme hittade dock snart ett fel i sitt datorprogram och fick, efter att ha rättat koden, ett svar som sammanföll med svaret från Candelas och den senares medförfattare. [29]

1990 introducerade Edward Witten topologisk strängteori [15]  , en förenklad version av strängteorin, och fysiker visade att den också har sin egen spegelsymmetri. [30] [31] I ett meddelande till International Congress of Mathematicians 1994 presenterade Maxim Kontsevich en matematisk gissning baserad på fenomenet spegelsymmetri som upptäckts i fysiskt språk i den topologiska teorin om strängar. Denna gissning är känd som den homologiska spegelsymmetriförmodan och formaliserar begreppet spegelsymmetri som ett uttalande om ekvivalensen av två härledda kategorier: den härledda kategorin av koherenta skivor på ett Calabi-Yau-grenrör och den härledda kategorin Fukai konstruerad från en spegel -symmetriskt grenrör. [32]

Också runt 1995 analyserade Kontsevich arbetet av Candelas, som gav en allmän formel för att räkna rationella kurvor på en tredimensionell quintic , och omformulerade dessa resultat som en rigorös matematisk hypotes. [33] År 1996 publicerade Givental ett dokument som, enligt Givental själv, ger ett bevis på denna Kontsevich-förmodan. [34] Till en början ansåg ett stort antal matematiker detta arbete som extremt obegripligt, och tvivlade därför på dess riktighet. Något senare publicerade Lian, Liu och Yau oberoende sitt bevis i en serie tidningar. [35] Oavsett debatten om vem som publicerade beviset först, är dessa artiklar nu allmänt accepterade som matematiska bevis på resultat som erhållits med hjälp av spegelsymmetri på fysikers språk. [36] År 2000 presenterade Kentaro Hori och Kumrun Wafa ett fysiskt bevis på spegelsymmetri baserat på T-dualitet. [fjorton]

Applikationer

Beräkningsgeometri

Spegelsymmetri används aktivt i beräkningsgeometri - en gren av matematiken som är intresserad av frågor som "hur många av dessa eller de geometriska strukturerna finns"; det huvudsakliga verktyget för beräkningsgeometri är de tekniker som utvecklats inom algebraisk geometri . Ett av de första problemen inom beräkningsgeometrin ställdes runt 200 f.Kr. e. antikens grekiske matematiker Apollonius . “ Hur många cirklar i planet rör de tre datapunkterna? frågade Apollonius. Svaret gavs av Apollonius själv; det är som följer: om det finns tre givna cirklar - i allmän position är cirklarna som rör dem åtta. [37]

Numeriska problem i matematik är vanligtvis problem om antalet befintliga algebraiska varianter , som definieras som uppsättningar av lösningar till system av polynomekvationer. Till exempel är Clebsch-kuben (se figur) definierad med hjälp av något polynom av grad tre i fyra variabler. Arthur Cayley och George Salmon fick ett anmärkningsvärt resultat på sin tid – exakt 27 raka linjer kan dras på en sådan yta. [38]

Genom att generalisera detta problem kan man fråga sig hur många linjer som kan dras på Calabi-Yau kvint (se figuren ovan). Detta problem löstes av Hermann Schubert , som visade att det finns exakt 2875 sådana linjer. År 1986 bevisade Sheldon Katz att antalet koner som hör till denna quintic är 609250. [37]

År 1991 hade de flesta av de klassiska problemen med beräkningsgeometri lösts, och intresset för beräkningsgeometri började avta. Som matematiker Mark Gross sa: "När de klassiska problemen löstes började folk räkna om Schuberts tal med moderna metoder, men det såg inte ut som något nytt." [39] Fysikerna Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green och Linda Parks blåste liv i fältet i maj 1991 när de visade att spegelsymmetri kan användas för att räkna antalet kurvor av grad tre på en quintic som är en Calabi-Yau grenrör. . Candelas et al fann att Calabi-Yau-komplexet 3-faldigt innehåller exakt 317206375 grader-tre kurvor. [39]

Förutom att räkna kurvor av grad tre på en tredimensionell quintic, fick Candelas et al mycket mer generella resultat om att räkna rationella kurvor – mycket starkare än de som då kände till matematiker. [40] Även om metoderna som användes av Candelas var baserade på icke-rigorösa idéer från teoretisk fysik, kunde matematiker bevisa några av de spegelsymmetriförutsägelser som gjordes på den fysiska nivån av rigor – i synnerhet alla de nyligen erhållna resultaten inom beräkningsgeometri. . [36]

I teoretisk fysik

Förutom tillämpningar inom numerativ geometri är spegelsymmetri ett av de viktigaste beräkningsverktygen inom strängteorin. I A-modellen för topologisk strängteori uttrycks fysiskt intressanta storheter ( korrelatorer som bestämmer sannolikheten för vissa interaktionsprocesser) i termer av Gromov-Witten invarianter , som är oändligt många och som är extremt svåra att beräkna. I B-modellen kan beräkningar reduceras till klassiska integraler (”perioder”) och därför mycket enklare. [41] Med hjälp av spegelsymmetri är det i stället för komplexa beräkningar i A-modellen möjligt att utföra likvärdiga men tekniskt enklare beräkningar i B-modellen. Du kan också använda andra dualiteter av strängteorin , kombinera spegelsymmetri med dem, för att utföra ekvivalenta beräkningar i teorin där de är enklast. Genom att välja en lämplig teori kan fysiker beräkna kvantiteter som är omöjliga eller extremt svåra att beräkna utan användning av dualiteter. [42]

Utanför strängteorin används spegelsymmetri för att förstå aspekter av kvantfältteorin , formalismen genom vilken fysiker förklarar utbredningen och interaktionen mellan elementarpartiklar . Vissa mätteorier , som inte ingår i standardmodellen men inte mindre teoretiskt viktiga, är härledda från strängar som fortplantar sig längs nästan singulära ytor. I sådana teorier är spegelsymmetri en viktig beräkningsteknik. [43] Med hjälp av spegelsymmetri är det faktiskt möjligt att utföra beräkningar i fyrdimensionell gauge-teori, som studerades av Nathan Seiberg och Edward Witten, och som är välkänd inom matematiken i samband med Donaldson-invarianter . [44]

Tillvägagångssätt

Homologisk spegelsymmetri

Inom strängteorin dyker begreppet kli fram  – ett objekt som generaliserar begreppet en partikel (0-dimensionellt objekt) till högre dimensioner. Således kan en punktpartikel ses som en kli med dimension 0, en sträng kan ses som en bran av dimension 1. Braner av högre dimensioner kan övervägas. Ordet 'bran' är förkortning för 'membran', som ibland används för att hänvisa till en tvådimensionell yta, vilket är nästa dimensionella generalisering av en punktpartikel efter en sträng. [45]

Strängteorin tar hänsyn till öppna och slutna strängar. D-branes  är en viktig klass av branes som uppstår när man överväger öppna strängar. Bokstaven "D" i namnet på en D-bran betyder gränsvillkoret som en sådan kli måste uppfylla - Dirichlets gränsvillkor . [46] Enligt dessa randvillkor måste ändarna på den öppna strängen vara på D-branor.

Matematiskt kan braner beskrivas med begreppet kategori . [47] En kategori är per definition en entitet som består av objekt och, för varje par av objekt, morfismer mellan dem. Objekt är matematiska strukturer (såsom mängder , vektorrum eller topologiska rum ), och morfismer är avbildningar mellan dessa strukturer. [48] ​​Vi kan också överväga en kategori vars objekt är D-branor och vars morfismer är tillstånd av öppna strängar som sträcks mellan två olika D-branor. [49]

I B-modellen för topologisk strängteori är  D -braner komplexa undergrenar av Calabi-Yau-grenröret med det ytterligare villkoret att strängens ändar är fixerade på dem. [27] [49] Kategorien , vars föremål är sådana branes, är känd som den härledda kategorin av sammanhängande kärvar på en Calabi-Yau-grenrör. [50] I A-modellen kan D-braner också betraktas som undergrenrör till Calabi-Yau-grenröret. Grovt sett är dessa vad matematiker kallar speciella speciella lagrangiska undergrenar . [50] Detta innebär bland annat att deras dimension är halva dimensionen av utrymmet de är inbäddade i, och att de är undervarieteter med minimal volym. [51] Kategorin vars föremål är dessa branar kallas Fukai-kategorin . [femtio]

Den härledda kategorin av koherenta remskivor är konstruerade med hjälp av verktyg för komplex geometri . [52] När det gäller A-sidan använder Fukais kategori uttryckligen symplektisk geometri , en gren av matematiken som växte fram ur klassisk mekanik . Symplektisk geometri studerar utrymmen på vilka en symbolisk form  ges, en enhet som kan användas för att beräkna area i tvådimensionella situationer. [17]

Hypotesen om homologisk spegelsymmetri , proklamerad i denna form av Maxim Kontsevich , säger att den härledda kategorin av koherenta skivor på något Calabi-Yau-grenrör är ekvivalent med den härledda kategorin Fukai på ett grenrör som är spegelsymmetriskt till den valda Calabi-Yau grenrör. [53] Denna ekvivalens verkar vara den exakta matematiska formuleringen av spegelsymmetri i topologisk strängteori. Den kopplar samman komplexa och symplektiska geometrier på ett oväntat sätt. [54]

SYZ-hypotes

Ett annat tillvägagångssätt för att förstå spegelsymmetri föreslogs av Strominger , Yau och Zaslow 1996. [21] Enligt deras förslag, nu känd som SYZ-hypotesen, kan spegelsymmetri förstås genom att dela upp den ursprungliga Calabi-Yau-manifolden i enklare delar och sedan montera från dem spegelsymmetriska till den ursprungliga Calabi-Yau grenröret. [55] Låt oss försöka förklara vad som menas.

Det enklaste exemplet på en Calabi-Yau-grenrör är en tvådimensionell torus (munkyta). [56] Betrakta en icke sammandragbar cirkel på ytan av torusen som innehåller munkens inre (röd cirkel i figuren). Det finns oändligt många sådana cirklar på torus; i själva verket kan hela torus förstås som föreningen av sådana cirklar. [57] Låt oss välja en godtycklig rosa cirkel i figuren. Vi kommer att parametrisera punkterna i denna rosa cirkel som röda, i den meningen att det finns en bijektion mellan en punkt i den rosa cirkeln och motsvarande röda cirkel. [51]

Idén att dela upp en torus i bitar parametriserade av ett godtyckligt utrymme kan generaliseras. Tänk på komplexa tvådimensionella Calabi-Yau-grenrör - K3-ytor . Precis som torusen bröts ner i cirklar, kan en fyrdimensionell K3-yta brytas ned till en tvådimensionell torus och en tvådimensionell sfär . Varje punkt på sfären, med undantag för tjugofyra, motsvarar en tvådimensionell torus; dessa tjugofyra poäng motsvarar speciella tori. [51]

I strängteorin är Calabi-Yau grenrör av komplex dimension 3 (respektive verklig dimension 6) av primärt intresse. De kan representeras som 3-tori (genom en tredimensionell generalisering av en torus, ), parametriserad av en tredimensionell sfär (genom en tredimensionell generalisering av en sfär). Varje punkt motsvarar en 3-torus, med undantag för ett oändligt antal "dåliga" punkter, som bildar ett "gitter" på Calabi-Yau och som motsvarar speciella tori. [58]

Med hjälp av sådana expansioner kan spegelsymmetri representeras intuitivt. Betrakta ett exempel med en tvådimensionell torus. Föreställ dig att denna torus beskriver rum-tiden för någon fysisk teori. Det grundläggande syftet med en sådan teori skulle vara strängar som fortplantar sig i rum-tid enligt kvantmekanikens lagar . En av de grundläggande dualiteterna inom strängteorin är T-dualitet , enligt vilken en sluten sträng som utbreder sig längs en cylinder med radie är ekvivalent med en sluten sträng som utbreder sig längs en cylinder med radie i den meningen att en en-till-en-överensstämmelse kan vara upprättas mellan alla observerbara i var och en av beskrivningarna. [59] Till exempel har en fortplantningssträng momentum , och strängen kan också slingra sig runt cylindern ett antal gånger (se antal lindningar ). För momentum och antal lindningar när den utbreder sig längs en cylinder med initial radie, när den utbreder sig längs en cylinder med omvänd radie, kommer strängen att ha momentum och antal lindningar . [59] Att tillämpa T-dualitet samtidigt på alla cirklar som vi delar upp torusen i ger inversionen av radierna för dessa cirklar, och vi får en ny torus som är "tjockare" eller "tunnare" än den ursprungliga. Denna torus kommer att vara spegelsymmetrisk mot originalet. [60]

T-dualitet kan utvidgas till fallet med en n-dimensionell torus, som uppträder vid nedbrytning av ett komplext n-dimensionellt Calabi-Yau-grenrör. I allmänhet anger SYZ-förmodan följande: spegelsymmetri är ekvivalent med att samtidigt tillämpa T-dualitet på dessa tori. I varje fall är rymden  ett slags avtryck som visar hur man "monterar" ett Calabi-Yau-grenrör från dessa tori. [61]

Se även

Anteckningar

  1. ↑ För en tillgänglig introduktion till strängteori, se till exempel Greene, 2000.
  2. ↑ Wald 1984, sid. fyra
  3. ↑ Zwiebach 2009, sid. åtta
  4. ↑ 1 2 Yau och Nadis 2010, Ch. 6
  5. ↑ Denna analogi ges till exempel av Green, 2000, s. 186
  6. ↑ Yau och Nadis 2010, sid. ix
  7. ↑ Dixon 1988; Lerche, Vafa och Warner 1989
  8. ↑ Geometrin för ett visst Calabi-Yau-grenrör beskrivs med hjälp av Hodge-rhombus  - Hodge-nummer skrivna i form av en romb. Hodge-rombusar av spegelsymmetriska grenrör passerar in i varandra när de roteras 90 grader. För mer information, se Yau och Nadis 2010, sid. 160-3.
  9. ↑ Aspinwall et al. 2009, sid. 13
  10. ↑ Hori et al. 2003, sid. xvi
  11. ↑ Exempel på andra dualiteter som dyker upp i strängteorin är S-dualitet , T-dualitet , AdS/CFT-korrespondens .
  12. ↑ Zaslow 2008, sid. 523
  13. ↑ Yau och Nadis 2010, sid. 168
  14. ↑ 12 Hori och Vafa 2000
  15. ↑ 12 Witten 1990
  16. ↑ Givental 1996, 1998; Lian, Liu, Yau 1997, 1999, 2000
  17. ↑ 1 2 Zaslow 2008, sid. 531
  18. ↑ Hori et al. 2003, sid. xix
  19. ↑ Zaslow 2008, sid. 537
  20. ↑ Detta observerades första gången i Kikkawa och Yamasaki 1984 och Sakai och Senda 1986.
  21. ↑ 1 2 Strominger, Yau och Zaslow 1996
  22. ↑ Candelas et al. 1985
  23. ↑ Detta observerades i Dixon 1988 och Lerche, Vafa och Warner 1989.
  24. ↑ Green and Pesser 1990; Yau och Nadis 2010, sid. 158
  25. ↑ Candelas, Lynker och Schimmrigk 1990; Yau och Nadis 2010, sid. 163
  26. ↑ Candelas et al. 1991
  27. ↑ 1 2 Yau och Nadis 2010, sid. 165
  28. ↑ Yau och Nadis 2010, s. 169-170
  29. ↑ Yau och Nadis 2010, sid. 170
  30. ↑ Vafa 1992; Witten 1992
  31. ↑ Hori et al. 2003, sid. xviii
  32. ↑ Kontsevich 1995a
  33. ↑ Kontsevich 1995b
  34. ↑ Givental 1996, 1998
  35. ↑ Lian, Liu, Yau 1997, 1999a, 1999b, 2000
  36. ↑ 1 2 Yau och Nadis 2010, sid. 172
  37. ↑ 1 2 Yau och Nadis 2010, sid. 166
  38. ↑ Yau och Nadis 2010, sid. 167
  39. ↑ 1 2 Yau och Nadis 2010, sid. 169
  40. ↑ Yau och Nadis 2010, sid. 171
  41. ↑ Zaslow 2008, s. 533-4
  42. ↑ Zaslow 2008, sek. tio
  43. ↑ Hori et al. 2003, sid. 677
  44. ↑ Hori et al. 2003, sid. 679
  45. ↑ Moore 2005, sid. 214
  46. ↑ Moore 2005, sid. 215
  47. ↑ Aspinwall et al. 2009
  48. ↑ Klassisk litteratur inom kategoriteorin - MacLanes bok från 1998.
  49. ↑ 1 2 Zaslow 2008, sid. 536
  50. ↑ 1 2 3 Aspinwal et al. 2009, sid. 575
  51. ↑ 1 2 3 Yau och Nadis 2010, sid. 175
  52. ↑ Yau och Nadis 2010, s. 180-1
  53. ↑ Aspinwall et al. 2009, sid. 616
  54. ↑ Yau och Nadis 2010, sid. 181
  55. ↑ Yau och Nadis 2010, sid. 174
  56. ↑ Zaslow 2008, sid. 533
  57. ↑ Yau och Nadis 2010, sid. 175-6
  58. ↑ Yau och Nadis 2010, s. 175-7.
  59. ↑ 1 2 Zaslow 2008, sid. 532
  60. ↑ Yau och Nadis 2010, sid. 178
  61. ↑ Yau och Nadis 2010, sid. 178-9

Litteratur

Ytterligare läsning

Populär

Utbildningslitteratur

  Gå till Wikidata-objektet  Ordböcker och uppslagsverk