Riemann integral

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 april 2022; kontroller kräver 3 redigeringar .

Riemann-integralen är den mest använda formen av den bestämda integralen . Mycket ofta hänvisar termen "definitiv integral" till Riemann-integralen, och den studeras som den allra första av alla bestämda integraler i alla kurser av matematisk analys. [1] Introducerad av Bernhard Riemann 1854 , och är en av de första formaliseringarna av begreppet en integral . [2]

Informell beskrivning

Riemann-integralen är en formalisering av begreppet area under en graf. Låt oss dela upp segmentet över vilket vi letar efter området i ett ändligt antal undersegment. På vart och ett av undersegmenten väljer vi en viss punkt i grafen och konstruerar en vertikal rektangel med undersegmentet som bas till just den punkten i grafen. Betrakta en figur erhållen från sådana rektanglar. Arean S för en sådan figur med en specifik uppdelning i segment med längder kommer att ges av summan: $\Delta x_{i}$

{\displaystyle \sigma =\sum _{i}f(x_{i})\Delta x_{i))

Det är intuitivt tydligt att om vi minskar längderna på dessa undersegment, kommer området för en sådan figur mer och mer att närma sig området under grafen. Det är denna kommentar som leder till definitionen av Riemann-integralen. [3]

Definition

Klassisk definition

Låt en verkligt värderad funktion definieras på intervallet . Vi kommer att räkna . $[a,b]$ $f$ $a<b$

För att definiera en integral är det först och främst nödvändigt att först definiera begreppet att dela upp ett segment och de andra definitionerna relaterade till det.

En partition (omarkerad) av ett segment är en ändlig uppsättning punkter i segmentet , som inkluderar punkterna och . Som framgår av definitionen innehåller en partition alltid minst två punkter. Splitpunkter kan ordnas i stigande ordning: . Uppsättningen av alla partitioner i ett segment kommer att betecknas med . $[a,b]$ $[a,b]$ $a$ $b$ $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{{n-1}}<x_{n}=b$ $[a;b]$ $T[a;b]$

Splitpunkter mellan vilka det inte finns några andra delningspunkter kallas angränsande . Ett segment vars ändar är intilliggande delade punkter kallas ett partiellt delat segment . Vi betecknar sådana segment som . Längden på ett partiellt segment av partitionen betecknas med . Längden på det största av segmenten kallas partitionsdiametern . För partitionering kommer dess diameter att betecknas som . $\Delta _{i}=[x_{i-1};x_{i}]$ $\Delta _{i}$ $\Delta x_{i}$ $\tau$ $d(\tau )$

En partitionsuppmärkning är en ändligt ordnad uppsättning så att . Uppsättningen av alla markeringar på partitionen kommer att betecknas som . $(\xi _{1},\ldots,\xi _{n})$ ${\displaystyle \xi _{i}\in \Delta _{i))$ $\tau$ $\Xi (\tau )$

En märkt partition är ett ordnat par , där är en omärkt partition och är någon märkning . Uppsättningen av alla markerade partitioner i ett segment kommer att betecknas som . $(\tau ,\xi )$ $\tau$ $\xi$ $\tau$ $[a;b]$ $T'[a;b]$

Efter alla dessa definitioner kan vi gå vidare till den direkta definitionen av Riemann-integralen.

Låt någon märkt partition ges . Riemann-integralsumman av en funktion på en märkt partition kallas . Riemann-integralen kommer att vara gränsen för dessa summor eftersom partitionsdiametern tenderar till noll. Det finns dock en subtilitet här: detta är gränsen för en funktion med markerade partitioner som argument, inte siffror, och den vanliga uppfattningen om en gräns när man närmar sig en punkt gäller inte här. Det är nödvändigt att ge en formell beskrivning av vad vi menar med frasen "gränsen vid partitionsdiametern som tenderar till noll" $(\tau ,\xi )$ $f$ $(\tau ,\xi )$ ${\displaystyle \sigma (f,\tau ,\xi )=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i))$

Låt vara en funktion som tilldelar ett nummer till den märkta partitionen. Numret kallas gränsen för funktionen när partitionsdiametern tenderar till noll if $g:T'[a;b]\rightarrow \mathbb {R}$ $c$ $g$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall (\tau ,\xi )\in T'[a;b],d(\tau )<\delta :|g(\tau ,\xi )-c|<\varepsilon

Beteckning: $c=\lim _{d(\tau )\to 0}g(\tau ,\xi )$

En sådan gräns är ett specialfall av basgränsen . Faktum är att vi betecknar uppsättningen av alla märkta partitioner med diameter mindre än . Då är uppsättningen en bas på uppsättningen , och gränsen som definieras ovan är inget annat än gränsen över denna bas. För sådana gränser är således alla egenskaper som är inneboende i basgränser uppfyllda. $\delta$ $D'_{\delta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{D'_{\delta }|\delta >0\))$ $T'[a;b]$

Slutligen kan vi definiera Riemann-integralen. Riemann-integralen för en funktion i området från till $f$ $a$ $b$ är gränsen för Riemann-integralen för en funktion på märkta partitioner av ett segment med en partitionsdiameter som tenderar mot noll. Med hjälp av integralnotationen skrivs detta så här: $f$ $[a;b]$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )

Riemann-integralen är också definierad för fallet . För det definieras som $a\geq b$ $a>b$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx

För hur $a=b$

\int _{a}^{a}f(x)\,dx=0

[fyra]

Genom Darboux-integraler

Riemann-integralen kan definieras på ett alternativt sätt i termer av Darboux-integraler. Vanligtvis är en sådan definition bevisad som en egenskap, och satsen om deras ekvivalens kallas Darboux sats . Fördelarna med en sådan definition är att den tillåter oss att avstå från begreppet en märkt partition, partitionsgränsen, och ger en tydligare bild av begreppet integrerbarhet.

För en omärkt partition betecknar vi det minst infimum av funktionen på segmentet , och låt oss beteckna det största supremumet. $\tau$ $mi$ $f$ $\Delta _{i}$ $Mi}$

Den lägre Darboux-summan kallas . ${\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i))$

Den övre summan av Darboux kallas . [5] ${\displaystyle S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i))$

Den nedre Darboux-integralen kallas . $I_{*}=\sup _{\tau \in T[a;b]}s(f,\tau )$

Den övre Darboux-integralen kallas . [6] $I^{*}=\inf _{\tau \in T[a;b]}S(f,\tau )$

Darboux-integraler finns för vilken funktion som helst som är begränsad till integrationsintervallet. Om Darboux-integralerna sammanfaller och är ändliga, kallas funktionen Riemann-integrerbar på intervallet , och detta tal i sig kallas Riemann-integralen. [7] $f$ $[a;b]$

Darboux-integralen kan också definieras i termer av gränsen över omärkta partitioner, där partitionsdiametern tenderar till noll. Gränsen för omärkta partitioner definieras på samma sätt som gränsen för märkta partitioner, men vi kommer också att formalisera denna uppfattning. Låta vara en funktion som tilldelar ett nummer till en omärkt partition. Numret kallas gränsen för funktionen när partitionsdiametern tenderar till noll if $g:T[a;b]\rightarrow \mathbb {R}$ $c$ $g$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall \tau \i T[a;b],d(\tau )<\delta :|g(\tau )-c|<\ varepsilon

Beteckning: [8] $c=\lim _{d(\tau )\to 0}g(\tau )$

En sådan gräns är också ett specialfall av basgränsen. Basen här kommer att vara uppsättningen , där . [9] Sedan: ${\mathfrak {B}}=\{D_{\delta }|\delta >0\}$ ${\displaystyle D_{\delta }=\{\tau \in T[a;b]|d(\tau )<\delta \))$

Den nedre Darboux-integralen kallas . $I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )$

Den övre Darboux-integralen kallas . [tio] $I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )$

Integrerbara funktioner

En funktion för vilken Riemann-integralen existerar inom gränserna från till (om gränsen är lika med oändlighet, så anses det att integralen inte finns) kallas Riemann-integrerbar på segmentet [a;b] . [11] Uppsättningen funktioner som är integrerbara på intervallet kallas uppsättningen funktioner som är integrerbara på intervallet och betecknas med . $a$ $b$ $f:[a;b]\rightarrow \mathbb {R}$ $[a;b]$ $[a;b]$ $R[a;b]$

Det huvudsakliga och mest bekväma villkoret för integrerbarhet är Lebesgue-kriteriet: uppsättningen funktioner som kan integreras på ett intervall är exakt den uppsättning funktioner som är avgränsade och kontinuerliga nästan överallt på detta intervall. Detta kriterium gör det möjligt nästan omedelbart att erhålla de flesta av de tillräckliga förutsättningarna för integrerbarhet. Beviset för detta påstående är dock ganska komplicerat, varför det ofta utelämnas i en metodisk framställning och ytterligare bevis bygger på Riemannkriteriet. Att bevisa existensen av Riemann-integralen baserat på Riemann-kriteriet är svårare än på grundval av Lebesgue-kriteriet.

Integrerbarhetskriterier

Cauchys kriterium . En funktion är Riemann-integrerbar på ett segmentif $[a,b]$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall (\tau ',\xi '),(\tau '',\xi '')\i T'[a;b], d(\tau ')<\delta ,d(\tau '')<\delta :|\sigma (f,\tau ',\xi ')-\sigma (f,\tau '',\xi '' )|<\varepsilon

[12] Detta kriterium är inget annat än ett register över Cauchy-kriteriet för konvergens i basen för fallet med Riemann-integralen.

Darboux-kriterium. Funktionen är Riemann-integrerbar på intervallet om och endast om den övre Darboux-integralen sammanfaller med den nedre och är finit. [13] $[a,b]$

En alternativ definition av Riemann-integralen är baserad på detta kriterium.

Riemanns kriterium . Vi definierar svängningen av en funktion på uppsättningen som . [fjorton] $f(x)$ $E$ $\omega (f,G)=\sup _{x\in E}f(x)-\inf _{x\in E}f(x)=\sup _{x,y\in E} |f(x)-f(y)|$

Då kallas -summan av en funktion på en partition . [15] [16]

\Omega

f

\tau

\Omega (f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}\omega (f,\Delta _{i})=S(f,\tau )-s(f,\ tau)

En funktion är Riemann-integrerbar om och endast om den är begränsad och gränsen för -summor som partitionsdiametern tenderar mot noll är lika med . [17]

\Omega

0

Riemanns infinum-kriterium. Det finns också en variation av Riemann-kriteriet som använder begreppet en exakt kant snarare än en gräns: funktionen är integrerbar om och bara om . [18] [19] $\inf _{\tau \in T[a;b]}\Omega (f,\tau )=0$
Särskilt Riemann-kriterium. Det kan faktiskt krävas svagare villkor i Riemannkriteriet.

Beteckna med uppdelningen av segmentet i lika stora segment. Funktionen är integrerbar på detta segment om och endast om sekvensen tenderar mot noll. [tjugo]

\tau_n

n

\Omega (f,\tau _{n})

Riemanns speciella infinum-kriterium. En funktion är integrerbar på ett segment om och endast om . [21] $\inf _{n\in \mathbb {N} }\Omega (f,\tau _{n})=0$
Dubois-Reymond-kriteriet. Låt oss definiera fluktuationen för en funktion vid en punkt som den exakta nedre gränsen för värdet av fluktuationerna för en funktion i närheten av denna punkt (om funktionens domän inte inkluderar punktens fullständiga grannskap, då endast de punkter i grannskapet som ingår i definitionsdomänen beaktas).

\omega (f,x_{0})=\inf _{U(x_{0})}\omega (f,U(x_{0})\cap X)

[fjorton] Faktum är att svängningen av en funktion vid en punkt är skillnaden mellan en funktion och en kontinuerlig. Vid kontinuitetspunkten är den lika med , vid diskontinuitetspunkten är den större än .

0

0

En funktion är Riemann-integrerbar om och endast om den är begränsad och för vilken som helst mängden av alla punkter där har noll Jordan-mått (det vill säga för alla kan den täckas av en ändlig uppsättning intervall med en total längd mindre än ). [22]

\varepsilon

x\in[a;b]

\omega (f,x)\geq \varepsilon

\delta>0

\delta

Lebesgue-kriterium. En funktion är Riemann-integrerbar på ett segment om och bara om den är avgränsad på detta segment, och uppsättningen av punkter där den är diskontinuerlig har noll Lebesgue-mått (det vill säga för alla kan den täckas av en räkningsfamilj av intervall med en total längd mindre än ). [23] $[a,b]$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon$

Tillräckliga villkor för integrerbarhet

Alla villkor för tillräcklig integrerbarhet som anges nedan följer nästan omedelbart av Lebesgue-kriteriet.

En funktion som är kontinuerlig på ett intervall är integrerbar på den [24]
En funktion avgränsad till ett intervall, diskontinuerlig vid ett ändligt antal av dess punkter, är integrerbar på detta intervall [25]
Monotone funktion på ett intervall, integrerad på den [26]
Produkten av en integrerbar funktion och ett tal är integrerbar [27]
Summan av integrerbara funktioner är integrerbar [27]
Produkten av integrerbara funktioner är integrerbar [28]
Om förhållandet mellan två integrerbara funktioner är begränsat, så är det integrerbart. Ett specialfall är om uppsättningen av nämnarvärden inte har en gränspunkt. [fjorton] $0$
Modulen för en integrerbar funktion är integrerbar. [29]
Sammansättningen av funktioner , där är kontinuerlig på segmentet , och är integrerbar på , integrerbar på . [trettio] $f(g(x))$ $f$ $[\inf g(x),\sup g(x)]$ $g$ $[a;b]$ $[a;b]$
Om en funktion är integrerbar på något intervall, så är den integrerbar på något av dess undersegment. [31]
Låt och vara en funktion integrerad på och . Sedan är det integrerbart på . [32] $a<b<c$ $f$ $[a;b]$ $[b;c]$ $[a;c]$

Egenskaper

De ytterligare egenskaperna gäller endast om motsvarande integraler finns.

En nödvändig förutsättning för integrerbarhet. En funktion som kan integreras på ett segment är avgränsad på den. [33] $[a;b]$
Icke-negativitet. För en icke-negativ funktion på intervallet, $[a;b]$ $a<b$ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0$ [34]
Positivitet. För en icke-negativ och kontinuerlig funktion på ett segment , , som är icke-noll åtminstone vid en punkt $[a;b]$ $a<b$ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx>0$ [35]
Linjäritet. $\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a }^{b}g(x)\,dx$ [27]

För existensen av alla dessa tre integraler räcker det med existensen av två av dem. För vem som helst

\lambda \in \mathbb {R}

\int _{a}^{b}\lambda f(x)\,dx=\lambda \int _{a}^{b}f(x)\,dx

[27] Existensen av den högra integralen innebär existensen av den vänstra. Om , då innebär existensen av vänstern existensen av höger.

\lambda \neq 0

Additivitet. För godtyckliga siffror $a,b,c$ $\int _{a}^{c}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f( x)\,dx$ [32]

För existensen av alla dessa tre integraler är det tillräckligt att antingen ha en integral över ett större segment eller över två mindre.

Monoton. Låt och vidare . Sedan $a<b$ $f(x)\leq g(x)$ $[a;b]$ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx$ [34]
Kvalitet. Låt , , . Sedan $a<b$ $m=\inf _{x\in[a;b]}f(x)$ $M=\sup _{x\in [a;b]}f(x)$

m(ba)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(ba)

[36]

Modulutvärdering. Låt . $a<b$ $\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\, dx$ [29]

För att dessa två integraler ska existera räcker det med existensen av vänsterintegralen. Det finns en variant av den här egenskapen för godtyckliga och .

a

b

\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \left|\int _{a}^{b}\left|f(x)\right |\,dx\right|

[37]

Medelvärdessatsen . För en bättre förståelse formulerar vi först medelvärdessatsen i en något förenklad formulering.

Medelvärdet för en funktion på ett segment kallas .

f

[a;b]

{\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Medelvärdessatsen säger att en funktion som är kontinuerlig på ett segment tar sitt medelvärde någon gång på detta segment.

\exists c\in [a;b]:f(c)={\frac {1}{ba))\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Du kan skriva detta villkor utan att dividera med för att täcka fallet när .

ba

a=b

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(ba)

I en sådan notation är medelvärdessatsen sann för alla värden på och .

a

b

Faktum är att ett mycket mer allmänt tillstånd är sant. Låt vara integrerad på , , . Sedan

f

[a;b]

m=\inf _{x\in[a;b]}f(x)

M=\sup _{x\in [a;b]}f(x)

\exists \mu \i [m;M]:\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\mu (ba)

[36] Denna sats kallas också ibland för integralmedelvärdessatsen för att skilja den från följande. [38]

Generaliserat medelvärdessats . Låt funktionen varaintegrerbar på segmentet,,, och funktionen varaintegrerbar och med konstant tecken. Sedan $f$ $[a;b]$ $m=\inf _{x\in[a;b]}f(x)$ $M=\sup _{x\in [a;b]}f(x)$ $g$

\exists \mu \i [m;M]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=\mu \int _{a}^{b}g (x)\,dx

[39] Teoremet är återigen sant för alla och .

a

b

För detta teorem kan man också ge en variation i fallet med kontinuitet . [40]

f

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b} g(x)\,dx

Ibland kallas denna sats, och inte den föregående, för medelvärdessatsen. Dessutom, för att skilja den från nästa, kallas denna sats den första medelvärdessatsen . [41]

Den andra medelvärdessatsen . Låt funktionen varaintegrerbar på intervalletoch funktionen varamonoton. Sedan $f$ $[a;b]$ $g$

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(a)\int _{a}^{c} f(x)\,dx+g(b)\int _{c}^{b}f(x)\,dx

[42] Den andra medelvärdessatsen har variationer för icke-negativa funktioner . Låt funktionen vara integrerbar på segmentet och funktionen vara icke-negativ och inte ökande. Sedan

g

f

[a;b]

g

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(a)\int _{a}^{c} f(x)\,dx

[43] Låt funktionen vara integrerbar på intervallet och funktionen vara icke-negativ och icke-minskande. Sedan

f

[a;b]

g

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(b)\int _{c}^{b} f(x)\,dx

[43]

Oberoende från uppsättningar av mått noll. Om två funktioner är integrerbara på ett intervall och är lika nästan överallt på det, så är deras integraler också lika. Således beror värdet på Riemann-integralen inte på värdet av funktionen på en uppsättning av måttet noll. Men dess existens beror på: till exempel är noll och Dirichlet-funktionen lika nästan överallt, men integralen av den första funktionen existerar, men inte av den andra.

Integral med övre variabelgräns

Funktionen definierad med integralen enligt följande $h(x)$

h(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt

kallas en integral med en övre variabelgräns . [38]

Egenskaper:

Definitionsdomänen är det intervall i vilket punkten kommer in. $\int _{a}^{x}f(t)\,dt$ $a$
Integralen med övre variabelgräns är kontinuerlig. [38] $\int _{a}^{x}f(t)\,dt$
Dessutom är integralen med en övre variabelgräns en Lipschitz-funktion
Vid punkter där är kontinuerlig är integralen med den övre variabelgränsen differentierbar och värdet på dess derivata är lika med . [44] $x$ $f(x)$ $\int _{a}^{x}f(t)\,dt$ $f(x)$

Den sista egenskapen gör det möjligt att använda en integral med en övre variabelgräns för att skriva ner antiderivatan för en funktion. Således relaterar den den obestämda integralen och den som definieras av följande relation:

\int f(x)\,dx=\int _{a}^{x}f(t)\,dt+C

Denna jämlikhet är också sant om den är integrerbar och har antiderivata på . [45] $f$ $[a;b]$

Beräkning

För att beräkna Riemann-integralerna i de enklaste fallen används Newton-Leibniz-formeln, som är en konsekvens av egenskaperna hos en integral med en övre variabelgräns.

Newton-Leibniz formel . Låt varakontinuerlig på,dess antiderivata på,. Sedan $f(x)$ $[a;b]$ $F(x)$ $[a;b]$ $a \neq b$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)

[46]

I praktiska beräkningar används även följande metoder:

Variabel substitution . Låt det krävas att beräkna integralen

\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Ersättningen utförs , varefter integrationsgränserna och differentialen beräknas om:

x=\varphi (t)

a=\varphi (\alpha ),b=\varphi (\beta ),dx=\varphi '(t)\,dt

Sedan

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t))\varphi '(t)\,dt

För att en sådan ersättning ska vara laglig krävs kontinuitet och kontinuerlig differentierbarhet och strikt monotoni . [47]

f

\varphi

Integrering av delar . Metoden för integrering av delar består i att tillämpa följande formel:

\int _{a}^{b}u\,dv=(uv){\bigr |}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,du

Formeln är laglig om och är kontinuerligt differentierbar. [48]

u

v

Faktum är att många av de specificerade villkoren för Newton-Leibniz-formeln och de två ovanstående metoderna är överflödiga och kan avsevärt försvagas. [49] [48] [50] Sådana villkor kommer dock att vara mer komplicerade, dessutom är dessa villkor tillräckliga för de flesta praktiska fall. Dessutom, i den reducerade formen, garanterar dessa villkor också existensen av alla integraler, vilket gör att vi kan begränsa oss till att bara kontrollera dessa enkla villkor innan vi tillämpar lämpliga metoder.

Integrering av en udda funktion . Låt en udda funktion integreras på ett segment. Sedan $f$ $[-a;a]$

\int _{-a}^{a}f(x)\,dx=0

[51]

Integrering av en jämn funktion . Låt vara en jämn funktion integrerad på ett intervall. Sedan $f$ $[-a;a]$

\int _{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int _{0}^{a}f(x)\,dx

[51]

Integration av en periodisk funktion . Låt det ha en period och vara integrerad på . Sedan är den integrerbar på alla intervall och för alla $f$ $T$ $[0;T]$ $a$

\int _{a}^{a+T}f(x)\,dx=\int _{0}^{T}f(x)\,dx

[51]

Historik

Ovanstående definition av en integral gavs av Cauchy [52] och tillämpades endast på kontinuerliga funktioner.

Riemann 1854 (publicerad 1868 [2] , på ryska första gången 1914 [53] [54] ) gav samma definition utan antagande om kontinuitet. Den moderna formen av Riemanns teori gavs av Darboux (1879).

Variationer och generaliseringar

Riemann-integral av delvis givna funktioner. Ibland är det vettigt att definiera Riemann-integralen för funktioner som delvis definieras på intervallet . Det bestäms om, för varje utvidgning av en funktion till en helt given, dess integral är lika med samma värde. I detta fall anses detta värde vara Riemann-integralen av den delvis givna funktionen. Till exempel: du kan överväga funktioner som inte är definierade vid ett ändligt antal punkter. Om de dessutom på alla andra punkter är kontinuerliga nästan överallt, är varje förlängning till en helt given funktion integrerbar, och deras värden är lika, eftersom värdet på integralen inte beror på värdet på en uppsättning mått noll. För sådana funktioner finns det till och med en generalisering av Newton-Leibniz-formeln. [55] Men även för en räknebar uppsättning är detta inte alltid fallet. Låt oss ta en funktion definierad endast på mängden irrationella tal. Den kan utökas på olika sätt till och upp till Dirichlet-funktionen. I det ena fallet är det integrerbart, i det andra inte. Å andra sidan, om vi betraktar , som är obestämd på Cantor-uppsättningen , så kommer varje komplettering av en sådan funktion att vara integrerbar. $[a;b]$ $0$ $0$ $0$
Riemann-integralen av vektorvärderade funktioner. Riemann-integralen kan definieras för funktioner med värden i vilket topologiskt vektorrum som helst över . Till exempel kan vi överväga integralen av vektorfunktioner (funktioner från med värden i det euklidiska rummet ). Sådana funktioner är integrerade koordinatmässigt, varför nästan alla egenskaper också överförs till dem. [56] $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
Riemanns felaktiga integral . Ibland finns det ett behov av att överväga en integral över ett oändligt intervall eller från en obegränsad funktion. Den felaktiga integralen är en generalisering av Riemann-integralen till sådana fall. För oändliga intervall definieras den felaktiga integralen enligt följande:

\int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx=\lim _{y\to +\infty }\int _{a}^{y}f(x)\, dx

För ändliga intervall med en obegränsad funktion i närheten av den övre gränsen definieras enligt följande:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{y\to b-}\int _{a}^{y}f(x)\,dx

De återstående fallen definieras på liknande sätt. Om det finns oändliga diskontinuitetspunkter inuti intervallet eller båda gränserna är oändliga, delas additivitetsintegralen i flera. Nyckelegenskapen i denna definition är att för integrerbara funktioner sammanfaller sådana gränser med de vanliga (kallas korrekt för att skilja från otillbörliga) integraler. Således är den olämpliga Riemann-integralen bara en egen generalisering.

Multipel Riemann integral . Multipelintegralen är hämtad från funktioner av många variabler över någon delmängd. Uppdelningar av dessa uppsättningar i Jordaniens mätbara delmängder beaktas . Poäng markeras i dem och integral summor sammanställs (istället för längderna på intervallen tas Jordan-måtten för motsvarande delmängder). Diametern för en delmängd av en sådan partition är det högsta av alla avstånd mellan punkter. Diametern på själva partitionen är den minsta diametern för delmängdspartitioner. Gränsen för integralsummor när diametern på partitionerna tenderar till noll kallas multipelintegralen. $\mathbb {R} ^{n}$

Många egenskaper hos flera integraler sammanfaller med de vanliga, men vissa gör det inte (till exempel ändringen av variablers formel). I motsats till populär missuppfattning är de inte en exakt generalisering av Riemann-integralen, eftersom multipelintegralen tas över en oriktad mängd, och den vanliga kräver att riktningen för segmentet anges.

Krökt integral . I likhet med multipelintegralen är den hämtad från en funktion av flera variabler, men redan längs en kurva. Kurvan är också uppdelad i subkurvor, funktionens värden multipliceras med längden på motsvarande subkurvor och adderas.
Ytan integral . Nästan lik den kurvlinjära integralen, med skillnaden att den tas över ytan, och funktionernas värden vid de markerade punkterna multipliceras med arean av motsvarande sektioner.
Lebesgue integral . Ett alternativt tillvägagångssätt till definitionen av integralen. Här, istället för att dela upp definitionsdomänen för den integrerbara funktionen, delas värdedomänen, varefter splitpunkterna multipliceras med måtten på de omvända bilderna av dessa segment och summeras sinsemellan. När den övre punkten på partitionen ökar, den nedre minskar, och dess diameter tenderar till noll, sådana summor tenderar till Lebesgue-integralen.

Se även

Lebesgue-integralen och motsvarande Daniel -integralen , Young-integralen
Stieltjes integral
Multipel Riemann integral
Felaktig integral

Anteckningar

↑ Fikhtengolts, 2003 , sid. 107.
↑ 1 2 Riemann (artikel), 1868 , sid. 101-103.
↑ Fikhtengolts, 2003 , sid. 104.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 218.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 190.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 204-205.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 208.
↑ Ilyin, 1985 , sid. 337.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 189.
↑ Ilyin, 1985 , sid. 338.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 186-188.
↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 539.
↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 553.
↑ 1 2 3 Kudryavtsev, 2003 , sid. 556.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 224.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 181.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 180.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 185.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 205.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 186.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 187.
↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 563.
↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 567.
↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 548.
↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 549.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 198.
↑ 1 2 3 4 Kudryavtsev, 2003 , sid. 573.
↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 574.
↑ 1 2 Kudryavtsev, 2003 , sid. 578.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 203.
↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 571.
↑ 1 2 Kudryavtsev, 2003 , sid. 572.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 179.
↑ 1 2 Kudryavtsev, 2003 , sid. 576.
↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 577.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 2003 , sid. 125.
↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 579.
↑ 1 2 3 Kudryavtsev, 2003 , sid. 587.
↑ Fikhtengolts, 2003 , sid. 126.
↑ Fikhtengolts, 2003 , sid. 127.
↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 583.
↑ Fikhtengolts, 2003 , sid. 132.
↑ 1 2 Arkhipov, 1999 , sid. 215.
↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 588.
↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 590.
↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 591.
↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 596.
↑ 1 2 Kudryavtsev, 2003 , sid. 600.
↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 593.
↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 601.
↑ 1 2 3 Vilenkin, 1979 , sid. 72.
↑ Cauchy, 1831 .
↑ Riemann (bok), 1914 .
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 196.
↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 595.
↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 607.

Litteratur

V.A. Ilyin , V.A. Sadovnichy , Bl. H. Sendov . Matematisk analys. Inledande kurs. - 2:a, reviderad. - M . : Moscow Universitys förlag, 1985. - T. 1. - 660 s.
Fikhtengol'ts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl i tre volymer. - Ed. 8:a. - M. : Nauka, 2003. - T. 2. - 864 sid.
Arkhipov G.I. , Sadovnichiy V.A. , Chubarikov V.N. Föreläsningar om matematisk analys / Ed. V. A. Sadovnichy. - 1:a uppl. - M . : Higher School , 1999. - 695 sid. - ISBN 5-06-003596-4 .
Kudryavtsev L. D. Kurs i matematisk analys. I 3 volymer. T. 1. Differential- och integralkalkyl av funktioner för en variabel - M. : Drofa, 2003. - 704 sid.
Vilenkin N.Ya., Kunitskaya E.S., Mordkovich A.G. Matematisk analys. Integralkalkyl. - M . : Prosveschenie, 1979. - 176 sid.
Cauchy AL Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites. — Turin, 1831.
Riemann B. Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. - 1868. - Vol. 13. - S. 87-132.
Riemann B. Om möjligheten att uttrycka en funktion med hjälp av en trigonometrisk serie // Dekomposition av funktioner i trigonometriska serier / Lejeune-Diriclet, Riemann, Lipschitz; Per. G.A. Gruzintsev och S.N. Bernstein. - Kharkov: Kharkov Mathematical Society, 1914. - (Kharkov Mathematical Library. Series B; nr 2).

Länkar

Tabeller över obestämda och bestämda integraler - EqWorld: Värld av matematiska ekvationer.
Rigorös definition av Riemann-integralen .

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska Stor ryss
I bibliografiska kataloger	NKC : ph135430

Integralkalkyl

Main

Generaliseringar
av Riemann-integralen

Integrerade
transformationer

Numerisk
integration

måttteori

Relaterade ämnen

Listor över integraler