Matematiskt bevis

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 31 augusti 2022; kontroller kräver 4 redigeringar .

Matematiskt bevis
Studerade i	bevisteori
Syftet med projektet eller uppdraget	sats

Mediafiler på Wikimedia Commons

Matematiskt bevis -resonemang för att motivera sanningen i ett påstående ( sats ) [2] , en kedja av logiska slutsatser som visar att påståendet är sant , med förbehåll för sanningen i en viss uppsättning axiom och slutledningsregler . Beroende på sammanhanget kan detta innebära ett bevis inom ett visst formellt system (en sekvens av påståenden byggda enligt särskilda regler, skrivna på ett formellt språk ) eller en naturlig språktext , från vilken vid behov ett formellt bevis kan återställas . Behovet av ett formellt bevis på påståenden är ett av de främsta kännetecknen för matematiken som en deduktiv kunskapsgren, respektive bevisbegreppet spelar en central roll i ämnet matematik , och tillgängligheten av bevis och deras korrektheten avgör statusen för eventuella matematiska resultat .

Genom matematikens historia har idén om metoderna och acceptabla bevismetoder förändrats avsevärt, främst i riktning mot större formalisering och större begränsningar. En viktig milstolpe i frågan om bevisformalisering var skapandet av matematisk logik på 1800-talet och dess formalisering med hjälp av grundläggande bevistekniker. På 1900-talet byggdes bevisteori – en teori som studerar bevis som ett matematiskt objekt . Med tillkomsten av datorer under andra hälften av 1900-talet blev användningen av matematiska bevismetoder för att kontrollera och syntetisera program särskilt viktig , och till och med en strukturell överensstämmelse etablerades mellan datorprogram och matematiska bevis ( Curry-Howard korrespondens ), på grundval av vilket sätt att automatiskt bevisa .

De huvudsakliga teknikerna som används för att konstruera bevis: direkt bevis , matematisk induktion och dess generaliseringar , bevis genom motsägelse , kontraposition , konstruktion , uppräkning , upprättande av en bijektion , dubbelräkning ; i applikationer , som matematiska bevis, används också metoder som inte ger ett formellt bevis, utan säkerställer den praktiska tillämpbarheten av resultatet - probabilistisk, statistisk, ungefärlig. Beroende på matematikens gren, den använda formalismen eller matematikens skola kan inte alla metoder accepteras villkorslöst, i synnerhet innebär det konstruktiva beviset allvarliga begränsningar.

Vikten av bevis i matematik

Till skillnad från andra vetenskaper är empiriska bevis oacceptabelt i matematik: alla påståenden bevisas uteslutande med logiska medel. Matematisk intuition och analogier mellan olika objekt och teorem spelar en viktig roll i matematiken; alla dessa medel används dock endast av forskare när de letar efter bevis, själva bevisen kan inte baseras på sådana medel. Bevis skrivna på naturliga språk kanske inte är särskilt detaljerade, med förväntningen att den tränade läsaren kommer att kunna rekonstruera detaljerna för sig själva. Bevisets stränghet garanteras av det faktum att det kan representeras i form av en post på ett formellt språk (detta är vad som händer när en dator kontrollerar bevis).

Godkännandestatus

Bevisade påståenden i matematik kallas för satser (i matematiska texter brukar man anta att beviset har hittats av någon; undantag från denna sed är främst verk om logik, där själva begreppet bevis utforskas); om varken påståendet eller dess negation ännu har bevisats, så kallas ett sådant påstående en hypotes . Ibland, i processen att bevisa en sats, framhävs bevis för mindre komplicerade påståenden, kallade lemman .

Vissa matematiska påståenden är traditionellt kända under namn som inte motsvarar deras faktiska status. Således kallades Fermats sista teorem aldrig Fermats hypotes, även innan dess bevis av Andrew Wiles . Å andra sidan fortsätter Poincare-förmodan att bära detta namn även efter dess bevis av G. Ya. Perelman .

Ett felaktigt bevis är en text som innehåller logiska fel, det vill säga en från vilken det är omöjligt att återställa ett formellt bevis. I matematikens historia har det förekommit fall då framstående vetenskapsmän publicerat felaktiga "bevis", men vanligtvis hittade deras kollegor eller de själva snabbt fel (en av de oftast felaktigt bevisade satserna är Fermats sista sats . Det finns fortfarande människor som inte gör det. vet om att det har bevisats och ger nya falska "bevis" [3] [4] ). Det kan bara vara felaktigt att erkänna som bevis "bevis" i naturligt eller formellt språk; ett formellt bevis kan per definition inte vara fel.

Historik

Antiken

I länderna i det antika östern ( Babylon , det antika Egypten , det antika Kina ) gavs lösningen av matematiska problem som regel utan motivering och var dogmatisk , även om den grafiska motiveringen av Pythagoras sats kan hittas på babyloniska kilskriftstavlor [5] . Begreppet bevis fanns inte i antikens Grekland under VIII-VII århundradena f.Kr. e. Men redan på VI-talet f.Kr. e. i Grekland blir logiska bevis den huvudsakliga metoden för att fastställa sanningen. Vid den här tiden byggdes de första matematiska teorierna och matematiska modellerna av världen, som hade ett helt modernt utseende, det vill säga de byggdes från ett ändligt antal lokaler med logiska slutsatser.

De första bevisen använde de enklaste logiska konstruktionerna. I synnerhet Thales of Miletus , som bevisade att diametern delar cirkeln i hälften, vinklarna vid basen av en likbent triangel är lika, två skärande linjer bildar lika vinklar, använde tydligen metoderna för att böja och lägga över figurer i sina bevis. Enligt den grekiske filosofen Proclus (500-talet e.Kr.) , "Ibland övervägde han frågan något allmänt, ibland förlitad sig på klarhet . " Redan under Pythagoras rör sig beviset från konkreta idéer till rent logiska slutsatser [6] . I bevisen av Parmenides används lagen om den uteslutna mitten , och hans elev Zeno använder reduktion till absurditet i aporias [7] .

Det är känt att beviset för inkommensurabiliteten av sidan och diagonalen av kvadraten, som är grunden för begreppet irrationalitet , troligen tillhör pytagoreerna , även om det först gavs endast i Euklids element (X), kommer från motsatsen och bygger på teorin om tals delbarhet med två [8] . Det är möjligt att divergensen i åsikter om rollen av matematiska bevis var en av anledningarna till konflikten mellan Eudoxus (som anses vara grundaren av traditionen att organisera matematik i form av teorem , men som inte tog till bevis i princip [9] ) och Platon [10] .

Ett viktigt ögonblick på vägen till den framtida formaliseringen av matematiska bevis var skapandet av Aristoteles logik , där han försökte systematisera och kodifiera alla resonemangsregler som används för bevis, beskrev de viktigaste framväxande svårigheterna och oklarheterna. Aristoteles antog att bevis var en viktig del av vetenskapen, och trodde att bevis "avslöjar sakers väsen" [11] . Men den aristoteliska logiken hade ingen direkt inverkan på den antika grekiska matematiken, och ingen uppmärksamhet ägnades åt frågorna om formell logik i bevisen [12] .

Medeltida och moderna tider

Med utvecklingen av matematiken under medeltiden och beroendet av logik som antagits från skolastiken , byggs idéer om formella bevis gradvis upp och dess metoder utvecklas. Gersonides inkluderar motiveringen och introduktionen i praktiken av metoden för matematisk induktion [13] . Sedan 1500-talet har det gjorts separata försök att kritiskt förstå bevisen från antika grekiska matematiker, till exempel, Peletier , som kommenterar Euklids "Element", kritiserar beviset för trianglars likhet genom förskjutning [14] .

I modern tid, tack vare framgången med tillämpningen av matematik inom naturvetenskap, ansågs matematiska påståenden och bevis vara tillförlitliga så snart en korrekt och formell definition av de ursprungliga begreppen gavs, och matematiken som helhet ansågs vara en modell för rigor och bevis för alla andra discipliner. I synnerhet anser Leibniz att slutledningarnas axiom och regler är orubbliga och försöker bygga ett formellt logiksystem för att "bevisa allt som kan bevisas" [15] . Men även på 1700-talet var begreppet bevis fortfarande alltför informellt och spekulativt, bevis på detta kan vara det faktum att Euler ansåg att följande uttalanden var motiverade samtidigt:

\sum _{{n=0}}^{\infty }{1-(n\operatörsnamn {mod}2)\cdot 2}=0

och ,

\sum _{{n=1}}^{\infty }{1-(n\operatörsnamn {mod}2)\cdot 2}=1

såväl som:

\sum _{{n=0}}^{\infty }{2^{n}}=-1

förstå, naturligtvis, meningslösheten i dessa uttalanden, men med tanke på deras "bevisbarhet"-paradoxer [16] .

Under 1800-talet uppstår allt oftare idéer om behovet av att postulera några intuitivt självklara regler som inte går att bevisa på ett formellt sätt. En annan drivkraft för att förstå bevisens relativitet beroende på de postulerade principerna efter många århundraden av misslyckade försök att bevisa axiomet för Euklids parallellism var skapandet av Lobachevsky , Bolyai , Gauss och Riemann av icke-euklidiska geometrier [17] .

Formalisering av logik och Hilbert-programmet

Intuitionism

Ofullständighetsteorem

Konstruktivism

Formellt bevis

När man talar om formella bevis beskriver de först och främst en formell modell - en uppsättning axiom , skrivna med ett formellt språk , och slutledningsregler. En formell härledning är en ändligt ordnad uppsättning rader skrivna på ett formellt språk, så att var och en av dem antingen är ett axiom eller erhålls från tidigare rader genom att tillämpa en av slutledningsreglerna. Ett formellt bevis på ett påstående är en formell härledning, vars sista rad är det givna påståendet. Ett påstående som har ett formellt bevis kallas en sats , och mängden av alla satser i en given formell modell (betraktad tillsammans med det formella språkalfabetet, uppsättningar av axiom och slutledningsregler) kallas en formell teori .

En teori kallas fullständig om den för något påstående eller dess negation är bevisbar, och konsekvent om det inte finns några påståenden i den som kan bevisas tillsammans med deras negationer (eller, på motsvarande sätt, om det finns åtminstone ett obevisbart påstående i den). De flesta "rika nog" matematiska teorier, som visas av Gödels första ofullständighetsteorem , är antingen ofullständiga eller inkonsekventa. Den vanligaste uppsättningen av axiom i vår tid är Zermelo-Fraenkel- axiomet med valets axiom (även om vissa matematiker motsätter sig användningen av det senare). En teori baserad på detta system av axiom är inte komplett (till exempel kan kontinuumhypotesen varken bevisas eller vederläggas i den - förutsatt att denna teori är konsekvent). Trots den utbredda användningen av denna teori i matematik kan dess konsistens inte bevisas med sina egna metoder. Ändå tror den överväldigande majoriteten av matematiker på dess konsistens, och tror att annars skulle motsättningarna ha upptäckts för länge sedan.

Bevisteori

Formella bevis hanteras av en speciell gren av matematikbevisteorin . De formella bevisen i sig används nästan aldrig av matematiken, eftersom de är mycket komplexa för mänsklig uppfattning och ofta tar mycket plats.

Inom datavetenskap

Inom datavetenskap används matematiska bevis för att verifiera och analysera riktigheten av algoritmer och program (se logik i datavetenskap ) inom ramen för evidensbaserad programmeringsteknologi.

Metoder för formellt bevis

Direkt bevis

Direkt bevis involverar användningen av endast direkt deduktiv slutledning från påståenden som anses sanna (axiom, tidigare beprövade lemman och teorem), utan användning av bedömningar med negation av några påståenden [18] . Till exempel, för direkt bevis, anses följande siffror vara acceptabla (i naturlig deduktionsnotation :

{\frac {A,B}{A}}

, , ( modus ponens ).

{\frac {A\Rightarrow B,B\Rightarrow C}{A\Rightarrow C}}

{\frac {A,A\Rightarrow B}{B}}

Substitution anses också vara en metod för direkt bevis: om påståendet är sant för alla värden av de fria variablerna som ingår i det, då substitution av specifika värden istället för någon delmängd av dem vid alla tillfällen ( ett specialfall av formeln ) ger det korrekta påståendet, i notationen av naturlig härledning (informell notation, förenklad till en enda variabel): $A$

{\frac {\forall x\,A(x)}{A[x:=a]}}

I vissa fall kan indirekta bevis som använder negativa resonemang, särskilt för ändliga objekt, lätt reduceras till direkta utan förlust av generalitet, men detta är långt ifrån alltid fallet för påståenden om oändliga samlingar, och med det ökande värdet av konstruktiva bevis i 1900-talets matematik anses det viktigt att hitta direkta bevis för påståenden som ansågs bevisade, men med indirekta metoder.

Inom bevisteorin har en formell definition av direkt bevis utvecklats [19] .

Induktion

Den induktiva metoden , som gör att man kan gå från särskilda påståenden till universella påståenden, är mest intressant när den tillämpas på oändliga samlingar av objekt, men dess formulering och tillämpbarhet skiljer sig avsevärt beroende på tillämpningsområdet.

Den enklaste induktiva metoden [20] är matematisk induktion , en slutsats om den naturliga serien , vars idé är att hävda en viss lag för alla naturliga tal, baserat på fakta om dess genomförande för enhet och följande sanning för varje efterföljande nummer, i notationen av en naturlig slutsats:

{\frac {P(1),\forall n\in {\mathbb N}(P(n)\Rightarrow P(n+1))}{\forall n\in {\mathbb N}(P(n) )}}

Metoden för matematisk induktion kan naturligtvis tillämpas på alla räknebara samlingar av objekt, den anses vara tillförlitlig och legitim både i klassiska och i intuitionistiska och konstruktiva bevissystem. Metoden är axiomatiserad i Peano-aritmetikens axiomsystem .

En svårare fråga är om den induktiva metoden kan utvidgas till oräkneliga samlingar. Inom ramen för naiv mängdteori skapades metoden för transfinit induktion , som gör det möjligt att utöka den induktiva inferensregeln för alla välordnade mängder enligt ett schema som liknar matematisk induktion. Möjligheten att använda induktivt liknande resonemang för oräkneliga samlingar och i intuitionistisk logik , känd som bar-induktion [21] , finns .

Det finns en konstruktiv metod för strukturell induktion , som gör att induktion kan tillämpas på välordnade samlingar av objekt, men med förbehåll för deras rekursiva definition .

Tvärtom

Proof by contradiction använder den logiska metoden för att komma till absurditet och är byggd enligt följande schema: för att bevisa påståendet antas det att det är falskt, och sedan, längs den deduktiva kedjan, kommer de till en medvetet falskt påstående, till exempel, från vilket man, enligt lagen om dubbel negation , drar en slutsats om sanningen , i naturliga slutsatser: $A$ $B\land \neg B$ $A$

{\frac {\neg A\Högerpil (B\land \neg B)}{A)).

Det skulle vara mycket bättre att skriva det så här. Ett schema för bevis genom motsägelse är ett schema:

{\dfrac {\begin{matrix}\left[{\mathcal {\neg A}}\right]&&\left[{\mathcal {\neg A}}\right]\\{\mathcal {B }}&&{\mathcal {\neg B}}\end{matrix}}{\mathcal {A}}}}.

Den formaliserar bevismetoden genom motsägelse.

I intuitionistiska och konstruktiva system används inte bevis genom motsägelse, eftersom lagen om dubbel negation inte accepteras.

Anmärkning . Detta system liknar ett annat - till systemet för bevis genom reducering till absurditet . Som ett resultat är de ofta förvirrade. Men trots vissa likheter har de en annan form. Dessutom skiljer de sig inte bara i form, utan också i huvudsak, och denna skillnad är av grundläggande karaktär.

Kontraposition

Det kontrapositionella beviset använder kontrapositionslagen och består av följande: för att bevisa det faktum att ett uttalandeföljerkrävs det att visa att en negationföljer av en negation, i symboliken för en naturlig slutsats: $A$ $B$ $B$ $A$

{\frac {\neg B\Högerpil \neg A}{A\Högerpil B))

Kontrapositionsbevis reduceras till metoden för motsägelse : för bevis kontrolleras dess negation , och eftersom premissen håller , avslöjas en motsägelse. $A\högerpil B$ $\neg (A\Högerpil B)\equiv \ A\land \neg B$ $\neg B\Högerpil \neg A\equiv \neg (A\land \neg B)$

Som ett exempel på ett motpositionsbevis, [22] fastställer det faktum att om är udda , då är det också udda ( ), för detta bevisas motsatsen, att om är jämn, så är den också jämn. $n^{2}$ $n$ $n \in \mathbb N$ $n$ $n^{2}$

I system som inte accepterar lagen om dubbel negation gäller inte kontrapositionella bevis.

Byggnad

För påståenden som existenssatser , där närvaron av ett objekt formuleras som ett resultat, till exempel förekomsten av ett tal som uppfyller vissa villkor, är den mest karakteristiska typen av bevis att direkt hitta det önskade objektet med hjälp av metoderna motsvarande formella system eller med hjälp av sammanhanget för motsvarande avsnitt . Många klassiska existenssatser bevisas genom motsägelse: genom att reducera till absurditet antagandet att ett objekt med givna egenskaper inte existerar, men sådana bevis anses vara icke-konstruktiva, och följaktligen, i intuitionistisk och konstruktiv matematik, används endast konstruktionsbevis för sådana uttalanden.

Får slut på alternativ

I vissa fall, för att bevisa påståendet, sorteras alla möjliga varianter av den mängd som påståendet är formulerat ut ( full uppräkning ) eller så delas alla möjliga varianter in i ett ändligt antal klasser som representerar särskilda fall , och för var och en av som bevisningen utförs separat [23] . Som regel består beviset med metoden för uttömning av alternativ av två steg:

fastställa alla möjliga specialfall och bevisa att det inte finns några andra specialfall,
bevis för varje enskilt fall.

Antalet alternativ kan vara ganska stort, till exempel för att bevisa fyrafärgshypotesen tog det nästan 2 000 olika alternativ för att sorteras ut med hjälp av en dator . Uppkomsten av sådana bevis i slutet av 1900-talet i samband med utvecklingen av datateknik väckte frågan om deras status inom matematisk vetenskap på grund av eventuella problem med verifierbarheten [24] .

Bijection

Bijection proof används för att fastställa påståenden om storleken eller strukturen hos en samling eller jämförbarheten av en samling med vilken annan samling som helst och består i att bygga en en-till-en-överensstämmelse mellan uppsättningen som studeras och uppsättningen med kända egenskaper [25] . Med andra ord reduceras beviset för påståenden om en viss samling till beviset genom att konstruera en bijektion , eventuellt med ytterligare begränsningar, med den samling som detta påstående är känt för. $A$ $B$

De enklaste exemplen på bijektiva bevis är bevis på kombinatoriska påståenden om antalet kombinationer eller antalet element i mängder, mer komplexa exempel är etableringen av isomorfismer , homeomorfismer , diffeomorfismer , bimorfismer , på grund av vilka egenskaperna hos ett redan känt objekt som är invarianta med avseende på en eller speciell typ av bijektion. $A$ $B$

Dubbelräkning

Geometriskt bevis

Tillämpade metoder

Ungefärliga metoder

Probabilistiska metoder

Statistiska metoder

Terminologi

Symboler

Traditionellt betecknades slutet av beviset med förkortningen " QED ", från det latinska uttrycket lat. Quod Erat Demonstrandum ("Vad som krävdes för att bevisas"). I moderna verk används tecknet □ eller ■, ‣, //, liksom den ryska förkortningen h.t.d., oftare för att indikera slutet på beviset .

Anteckningar

↑ Bill Casselman. Ett av de äldsta bevarade diagrammen från Euclid . University of British Columbia. Hämtad 26 september 2008. Arkiverad från originalet 4 juni 2012. (obestämd)
↑ Matematisk encyklopedisk ordbok . - M . : " Ugglor. uppslagsverk ", 1988. - S. 211 .
↑ Gastev Yu., Smolyansky M. Några ord om Fermats sista sats // Kvant . - 1972. - T. 8 . - S. 23-25 .
↑ Tsymbalov A. S. Fermats teorem (otillgänglig länk) . Konferensrapport . Modern Humanitarian Academy. Hämtad 14 maj 2011. Arkiverad från originalet 30 mars 2009. (obestämd) }
↑ Kranz, 2011 , Babylonierna hade vissa diagram som indikerar varför Pythagoras sats är sann, och man har hittat tabletter som bekräftar detta faktum, sid. 44.
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 65-66.
↑ Bourbaki, 1963 , sid. elva.
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 73.
↑ Krantz, 2011 , <…> Eudoxus som började den stora traditionen att organisera matematiken i satser <...> Det Eudoxus fick i rigoriteten och precisionen i sina matematiska formuleringar, förlorade han eftersom han inte bevisade någonting, sid. 44-45.
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 95.
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 59-61.
^ Bourbaki, 1963 , Aristoteles och hans efterföljares skrifter verkar inte ha haft någon märkbar inverkan på matematiken. Grekiska matematiker följde i sina studier den väg som pytagoreerna och deras anhängare föreslog på 300-talet f.Kr. (Theodore, Theaetetus, Eudoxus), och hade litet intresse för formell logik när de presenterade sina resultat, sid. 12-14.
↑ Rabinovich, NL Rabbi Levi ben Gershom och ursprunget till matematisk induktion // Archive for History of Exact Sciences. - 1970. - Utgåva. 6 . - S. 237-248 .
↑ Bourbaki, 1963 , sid. 27.
↑ Bourbaki, 1963 , sid. 22.
↑ Kranz, 2011 , 3.1. Euler and the Profundity of Intuition, sid. 74-75.
↑ Bourbaki, 1963 , sid. 25-26.
↑ Hammack, 2009 , kapitel 4. Direkt bevis, sid. 95-109.
↑ Handbook of Mathematical Logic, volym IV, 1983 , kapitel 3. Stetman R. Herbrands sats och Gentzens begrepp om direkt bevis, sid. 84-99.
↑ Hammack, 2009 , kapitel 10. Matematisk induktion, sid. 152-154.
↑ Matematiskt bevis - Encyclopedia of Mathematics artikel . Dragalin A.G.
↑ Hammack, 2009 , kapitel 7. Bevisa icke-villkorliga uttalanden, p. 129-138.
↑ Lvovsky S. M., Toom A. L. Låt oss analysera alla alternativ // Kvant . - 1988. - Nr 1 . - S. 42-47 .
↑ Samokhin A. V. Problemet med fyra färger: en oavslutad historia av bevis // Soros Educational Journal . - 2000. - Nr 7 . - S. 91-96 . (inte tillgänglig länk)
↑ Stanley R. Bijective proof problems ( 18 augusti 2009). Hämtad 12 maj 2013. Arkiverad från originalet 13 maj 2013.

Litteratur

Från antiken till början av den nya tiden // Mathematics History / Redigerad av Yushkevich A.P. , i tre volymer. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
Uppslagsbok om matematisk logik. IV. Proof Theory and Constructive Mathematics = Handbook of Mathematical Logic / J. Barweiss. - M .: Nauka , 1983. - 392 sid.
Bourbaki N. Matematikens grunder. Logik. Mängdlära // Uppsatser om matematikens historia / I. G. Bashmakova (översatt från franska). - M . : Förlag för utländsk litteratur, 1963. - S. 37-53. — 292 sid. — (Matematikens element).
Bevis / Yu. A. Gastev // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Vägar och labyrinter. Essäer om matematikens historia = Routes et dédales / Översatt från franska av A. A. Bryadinskaya, redigerad av I. G. Bashmakova. - M .: Mir, 1986. - S. 394-402. — 432 sid. — (Modern matematik. Populär serie). — 50 000 exemplar.
Vladimir Andreevich Uspensky . De enklaste exemplen på matematiska bevis . - MTSNMO , 2011. - 56 sid. - 2000 exemplar. — ISBN 978-5-94057-879-6 .
Franklin J., Daoud A. Proof in the Mathematics. - Sydney : Quakers Hill Press, 2001. - 98 sid. — ISBN 1876192003 .
Hammak R. Book of Proof (engelska) (2009). Hämtad 11 maj 2013. Arkiverad från originalet 13 maj 2013.
Krantz SG Beviset finns i puddingen. En titt på den förändrade naturen hos matematiska bevis. -N. Y.:Springer, 2011. - 281 sid. —ISBN 978-0387489087.

Länkar

Yu. L. Ershov "Proof in mathematics" , A. Gordons program från 16 juni 2003

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	NKC : ph307639