Mått på uppsättning

Måttet på en mängd är en numerisk egenskap hos en mängd; intuitivt kan det förstås som massan av en mängd med en viss fördelning av massa över rymden . Begreppet ett mått på en mängd uppstod i funktionsteorin för en reell variabel under utvecklingen av begreppet en integral [1] .

Egentligen är ett mått en viss numerisk funktion som tilldelar varje mängd (från en viss familj av mängder) något icke-negativt tal. Förutom att vara icke-negativ, måste ett mått som funktion också ha egenskapen additivitet — måttet på föreningen av disjunkta mängder måste vara lika med summan av deras mått. Det bör noteras att inte varje mängd är mätbar - för varje funktion av ett mått menas vanligtvis en viss familj av mängder (kallad mätbar med avseende på det givna måttet) för vilket måttet finns.

Ett specialfall av ett mått är Lebesgue-måttet för delmängder , som generaliserar begreppet volym , area eller längd till fallet med uppsättningar som är mer generella än bara avgränsade av en slät yta. $\mathbb {R} ^{n}$ $(n=3)$ $(n=2)$ $(n=1)$

Definitioner

Låt en uppsättning ges med någon framstående klass av delmängder , det antas att denna klass av delmängder ibland är en ring av mängder eller en algebra av mängder , i det mest allmänna fallet, en semiring av mängder . $X$ ${\mathcal {F}}$

En funktion kallas ett mått (ibland volym ) om den uppfyller följande axiom: $\mu \colon {\mathcal {F}}\till [0,\;\infty ]$

$\mu (\varnothing )=0$ — måttet på den tomma uppsättningen är lika med noll.
För alla icke-överlappande uppsättningar $A,B\in {\mathcal {F)),$ $A\cap B=\varnothing$ $\mu (A\kopp B)=\mu (A)+\mu (B)$ — måttet på föreningen av disjunkta mängder är lika med summan av måtten för dessa mängder ( additivitet, finit additivitet ).

Det första axiomet är bekvämt, men på sätt och vis överflödigt: det räcker med att anta att det finns åtminstone en mängd med ett ändligt mått, av vilket det kommer att följa att måttet på den tomma mängden blir lika med noll (annars lägger man till en tom uppsättning till valfri uppsättning av ändliga mått skulle ändra måttet , trots att uppsättningen inte har ändrats).

Det följer direkt av det andra axiomet (i fallet med en ring av mängder) att måttet på föreningen av ett ändligt antal disjunkta mängder är lika med summan av måtten för dessa mängder:

\mu \left(\bigcup \limits _{{i=1}}^{n}A_{i}\right)=\summa \limits _{{i=1}}^{n}\mu (A_{ i})

I fallet med en definition över en semiring av mängder, tas denna egenskap av finit additivitet vanligtvis istället för det andra axiomet, eftersom den finita additiviteten i allmänhet inte följer av parvis additivitet [2] .

Räkneligt additiv åtgärd

Den (ändliga) additiviteten hos ett mått innebär i allmänhet inte att en liknande egenskap gäller för en räknebar förening av disjunkta mängder. Det finns en särskild viktig klass av åtgärder som kallas countably additiva åtgärder.

Låt en mängd med distingerad -algebra ges . $X$ $\sigma$ ${\mathcal {F}}$

En funktion kallas countably additive (eller -additive ) mått om den uppfyller följande axiom: $\mu \colon {\mathcal {F}}\till [0,\;\infty ]$ $\sigma$

$\mu (\varnothing )=0.$
( -additivitet ) Om är en räknebar familj av parvis disjunkta uppsättningar från , det vill säga då: $\sigma$ $\{E_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ $E_{i}\cap E_{j}=\varnothing ,\;i\neq j$

\mu \left(\bigcup \limits _{{n=1}}^{\infty }E_{n}\right)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }\mu ( E_{n})

Anteckningar

Om inte annat uttryckligen anges, antyds vanligtvis en uträknelig additiv åtgärd .
Uppenbarligen är varje räkningsbart additiv mått ändligt additiv, men inte vice versa.
Om måttet på hela utrymmet är ändligt, det vill säga, då kallas ett sådant mått själv ändligt . Annars är måttet oändligt . $\mu (X)<\infty$

Vanligtvis utgör mängder som är mätbara med avseende på ett givet mått sin egen underklass i klassen för alla delmängder i rummet . Och även om det finns flera allmänna system som tillåter utvidgning av åtgärder till stora klasser av mätbara uppsättningar, är det ibland endast möjligt att utvidga en åtgärd till bekostnad av att förlora de unika egenskaperna hos det ursprungliga måttet. Till exempel är Lebesguemåttet i ändligt dimensionella euklidiska utrymmen oföränderligt under rörelserna i detta utrymme. Varje utvidgning av Lebesgue-måttet till klassen av alla delmängder av det euklidiska rummet kan inte längre vara invariant ens under endast skift (se exemplet med en omätbar mängd ). Så ur praktisk synvinkel förlorar sådana fortsättningar allt värde. $X$

På det raka och tvådimensionella planet finns det ett oändligt antal förlängningar av Lebesguemåttet från Borel -algebra till mängden av alla avgränsade delmängder som bevarar måttets ändliga additivitet och sådana att kongruenta mängder har samma mått. Med utgångspunkt från dimension 3 är detta omöjligt. $\sigma$

Relaterade definitioner

En trippel kallas ett utrymme med ett mått om det finns ett mätbart utrymme , och är ett mått definierat på det. $(X,\;{\mathcal {F)),\;\mu )$ $(X,\;{\mathcal {F}})$ $\mu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb{R}$
Om är ett sannolikhetsmått , då kallas ett sådant mellanrum med ett mått för ett sannolikhetsutrymme . $\mu$
Stödet för en åtgärd är den minsta slutna uppsättningen , på vilken åtgärden är koncentrerad. Måttbäraren betecknas vanligtvis med . Mer exakt är det komplementet till den största öppna uppsättningen så att . $\mu$ $\operatörsnamn {supp} (\mu )$ $\operatörsnamn {supp} (\mu )$ $\Omega$ $\mu (\Omega )=0$

Egenskaper

Det följer av definitionen att måttet har åtminstone följande egenskaper (det antas att måttet definieras åtminstone på en semiring av uppsättningar):

Måttet på den tomma uppsättningen är noll $\mu (\varnothing )=0$
- Denna egenskap antas antingen som ett axiom i definitionen av mått, eller så antas det att det finns minst en uppsättning vars mått är ändligt . Det följer direkt av detta att måttet på den tomma mängden måste vara lika med noll (annars kommer att lägga till den tomma mängden till en mängd ändliga mått öka måttet på denna mängd, även om mängden inte kommer att förändras). Fallet med oändlighet av måttet för alla uppsättningar är utan intresse och praktisk betydelse. Därför antyds förekomsten av uppsättningar av ändliga mått från början.
- Från likheten mellan måttet för en mängd till noll, i det allmänna fallet, följer det inte att denna mängd är tom. Det är vanligt att tala om mängder mått noll .

Monotonicitet - måttet på en delmängd är inte större än måttet på själva mängden $A\subseteq B\Högerpil \mu (A)\leqslant \mu (B)$

Detta är en intuitiv egenskap - ju "mindre" uppsättningen är, desto mindre är dens "storlek".

Måttet på skillnaden mellan kapslade uppsättningar är lika med skillnaden mellan måtten för dessa uppsättningar $A\subseteq B\Högerpil \mu (B\omvänt snedstreck A)=\mu (B)-\mu (A)$

Måttet på föreningen av två godtyckliga mängder är lika med summan av måtten för dessa mängder minus måttet på deras skärningspunkt (om den senare är definierad): $\mu (A\kopp B)=\mu (A)+\mu (B)-\mu (A\cap B)$ ( inkluderings-exkluderingsformel )

Följaktligen,

\mu (A\kopp B)\leqslant \mu (A)+\mu (B)

Egenskaper för räkningsbart additiva åtgärder

Räkneligt additiva åtgärder, utöver de angivna, har även följande egenskaper.

Kontinuitet: måttet på gränsen för en oändlig sekvens av kapslade uppsättningar är lika med gränsen för sekvensen av åtgärder för dessa uppsättningar: $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}...\supseteq A=\bigcap _{{n=1}}^{\infty }A_{n}\Rightarrow \lim _{{n \rightarrow \infty }}\mu (A_{n})=\mu (A)$
- Det antas här att måttet för den första mängden är finit.
Denna egenskap gäller även för den "omvända" sekvensen av uppsättningar $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}...\subseteq A=\bigcup _{{n=1}}^{\infty }A_{n}\Rightarrow \lim _{{n \rightarrow \infty }}\mu (A_{n})=\mu (A)$

Räknebar monotoni betyder att måttet på en delmängd av en räknebar union av mängder inte är större än summan av måtten för dessa mängder: $A\subseteq \bigcup _{{i=1}}^{\infty }A_{i}\Rightarrow \mu (A)\leqslant \sum _{{i=1}}^{\infty }\mu (A_ {i})$

Exempel

Jordanmåttet är ett exempel på ett ändligt additivt mått.
Lebesgue-måttet är ett exempel på ett måttligt additivt mått.
Sannolikhet är ett exempel på ett ändligt mått.
Hausdorff åtgärd
Borel mått
Haar mått
Ett ultrafilter kan definieras som ett ändligt additivt mått med värden i en tvåelementsuppsättning $\{0,1\}$

Fortsatta åtgärder

Det är ofta svårt och onödigt att definiera ett mått explicit på varje uppsättning från motsvarande sigma-algebra (ring eller algebra) av uppsättningar, eftersom det räcker att definiera måttet på någon klass av mätbara uppsättningar, och sedan använda standardprocedurer ( och under kända förhållanden), fortsätt till ringen, algebra eller sigma-algebra av uppsättningar genererade av denna klass.

Fortsättning från halvcirkeln

Klassen av mätbara mängder i dess struktur måste vara en ring av mängder (om måttet är additivt) eller en sigma-algebra av mängder (om måttet är räknat additivt), men för att specificera ett mått räcker det i båda fallen för att definiera det på en semiring av set - då kan måttet fortsätta på ett unikt sätt till den minimala ringen (minimal sigma-algebra) av uppsättningar som innehåller den ursprungliga semiringen.

Låt den initiala klassen av mätbara uppsättningar ha strukturen som en semiring: den innehåller en tom uppsättning och för alla uppsättningar A och B från deras skillnad tillåts en finit partition i mätbara uppsättningar från , det vill säga det finns en finit uppsättning disjunkta uppsättningar från Så att ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ $C_{1},C_{2},...,C_{n}$ ${\mathcal {F}}_{0}$

A\setminus B=C_{1}\cup C_{2}\cup \dots \cup C_{n}

Låt beteckna klassen för alla delmängder av det utrymme som övervägs som tillåter en ändlig partition i mängder från . Klassen är stängd under operationerna skillnad, skärning och förening av uppsättningar, och är således en ring av uppsättningar som innehåller (och uppenbarligen minimal). Varje additiv funktion på kan unikt utökas till en additiv funktion på om och endast om dess värden är kompatibla på . Detta krav innebär att för alla samlingar av osammanhängande uppsättningar och från , om deras förening är densamma, måste summan av deras åtgärder också vara densamma: ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ $\mu$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ $B_{1},B_{2},...,B_{m}$ ${\mathcal {F}}_{0}$

Om , då .

\bigcup \limits _{{i=1}}^{{n}}A_{i}=\bigcup \limits _{{j=1}}^{{m}}B_{j}

\sum \limits _{{i=1}}^{{n}}\mu (A_{i})=\sum \limits _{{j=1}}^{{m}}\mu (B_{ j})

Exempel

Låt och vara klasser av mätbara uppsättningar på utrymmen och ha strukturen av en semiring. Uppsättningar av formen , där , bildar en semiring av uppsättningar på utrymmet . ${\mathcal {F}}_{1}$ ${\mathcal {F}}_{2}$ $X_{1}$ $X_{2}$ $A\ gånger B$ $A\in {\mathcal {F}}_{1}$ $B\in {\mathcal {F}}_{2}$ ${\mathcal {F}}$ $X=X_{1}\ gånger X_{2}$

Om mått och ges på och , så definieras en additiv funktion för att uppfylla konsistenskravet. Dess utvidgning till den minimala ringen som innehåller kallas den direkta produkten av åtgärderna och betecknas med . Om de ursprungliga måtten var sigma-additiv på sina definitionsdomäner kommer måttet också att vara sigma-additiv. Detta mått används i teorin om multipla integraler (se Fubinis sats ). ${\mathcal {F}}_{1}$ ${\mathcal {F}}_{2}$ $\mu_{1}$ $\mu_{2}$ ${\mathcal {F}}$ $\mu (A\ gånger B)=\mu _{1}(A)\mu _{2}(B)$ ${\mathcal {F}}$ $\mu_{1}$ $\mu_{2}$ $\mu =\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ $\mu$

Variationer och generaliseringar

Ett av alternativen för att generalisera begreppet är laddning , som kan ha negativa värden

Ibland betraktas ett mått som en godtycklig ändligt additiv funktion med ett intervall i en Abelsk halvgrupp : för ett räknat additivt mått är det naturliga värdeintervallet en topologisk Abelsk halvgrupp ( topologi behövs för att kunna tala om konvergens av en serie mått av ett räknebart antal mätbara delar, på vilka i definitionen av räknebar additivitet, en mätbar mängd är uppdelad). Ett exempel på ett icke-numeriskt mått är ett mått med värden i ett linjärt utrymme , i synnerhet ett projektorvärderat mått involverat i den geometriska formuleringen av spektralsatsen .

Anteckningar

↑ Sazonov V.V. Mått på en uppsättning // Mathematical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - S. 636. - 1184 stb. : sjuk. — 150 000 exemplar.
↑ Motexempel för fallet med en semiring: låt = , = , och definiera funktionen enligt följande: , , , . Det är lätt att se att parvis additivitet och semiring-axiomen håller här, men det finns ingen finit additivitet. $X$ $\{1,2,3,4\}$ ${\mathcal {F}}$ $\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{1,2\},X\}$ $\mu$ $\mu (\varnothing )=0$ $\mu (\{1\})=\mu (\{2\})=\mu (\{3\})=\mu (\{4\})=1$ $\mu (\{1,2\})=2$ $\mu (X)=3$

Litteratur

Vulikh, B. Z. En kort kurs i teorin om funktioner för en reell variabel (introduktion till teorin om integralen). — M .: Nauka, 1973. — 352 sid.
Khalmosh P. Måttteori . - M .: Förlag för utländsk litteratur , 1953. - 282 sid. http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3787 (boken är en bibliografisk sällsynthet 2011)
A.N. Kolmogorov , S.V. Fomin Elements of theory of functions and functional analys Nauka, 1976.
Bogachev V. I. Fundamentals of measure theory, 2:a upplagan, i två volymer, Research Center Regular and Chaotic Dynamics, Moscow-Izhevsk, 2006.
Bogachev V. I., Smolyanov O. G. Verklig och funktionell analys. Förlag: Forskningscentrum "Regular and Chaotic Dynamics", Institutet för datorforskning, 2009. 724 s. ISBN 978-5-93972-742-6 .
Bogachev V.I., Gaussiska mått, Nauka, Moskva , 1997.
Bogachev V.I., Differentiable measurements and the Mallyavin calculus, Research Center Regular and Chaotic Dynamics, Moskva, 2008.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Great Soviet (1 upplaga) Britannica (online) Universalis

Integralkalkyl

Main

Generaliseringar
av Riemann-integralen

Integrerade
transformationer

Numerisk
integration

måttteori

Relaterade ämnen

Listor över integraler