Mosaik "Pinwheel"

Pinwheel plattsättningen är en icke- periodisk plattsättning designad av Charles Radin och baserad på en konstruktion av John Conway . Mosaiken var den första icke-periodiska mosaiken där plattorna har ett oändligt antal olika orienteringar.

Conways plattsättning

Låta vara en rätvinklig triangel med sidor , och . Conway märkte att det kan delas upp i fem exemplar lika med det efter att ha sträckts ut med en faktor . $T$ $ett$ $2$ ${\sqrt {5}}$ $T$ ${\sqrt {5}}$

Med korrekt skalning och translation/rotation kan denna operation upprepas för att producera en oändligt ökande sekvens av ökande trianglar som består av kopior av . Att kombinera alla dessa trianglar ger en mosaik av hela planet med identiska kopior . $T$ $T$

I denna mosaik är kopiorna orienterade i ett oändligt antal olika riktningar (detta är en konsekvens av att vinklarna och trianglarna inte står i proportion till ). Trots detta har alla triangelhörn rationella koordinater. $T$ $\arctan(1/2)$ $\arctan(2)$ $T$ $\pi$

Mosaik "Pinwheel"

Radin, som förlitade sig på ovanstående konstruktion av Conway, föreslog en "pinwheel" mosaik. Formellt är en pinwheel platting en plattsättning vars plattor är lika stora kopior av en triangel och en bricka kan skära med en annan bricka endast längs hela sidan, eller längs halva sidan med längden , och följande egenskap måste hålla. Givet ett pinwheel finns det ett pinwheel som, om vi delar upp alla brickor i fem delar enligt Conways konstruktion och sedan expanderar med en faktor , blir detsamma som . Med andra ord kan mosaikplattorna grupperas i femmor för att producera (geometriskt) liknande plattor på ett sådant sätt att dessa förstorade plattor bildar (upp till skalning) en ny "pinwheel"-plattsättning. $T$ $2$ $P$ $P'$ ${\sqrt {5}}$ $P$

Mosaiken designad av Conway är en "pinwheel", men det finns otaliga andra "pinwheels". Alla dessa plattsättningar är lokalt omöjliga att särskilja ( dvs de har samma ändområden). De behåller alla egenskapen gemensamt med Conway-plattorna att brickorna har ett oändligt antal olika orienteringar (och hörnen har rationella koordinater).

Huvudresultatet bevisat av Radin är att det finns en ändlig (men mycket stor) uppsättning så kallade prototiler, som erhålls genom att färga sidorna . Då är pinwheel-plattorna exakt de plattsättningar som erhålls från (lika stora) kopior av dessa prototiler med villkoret att plattorna bara berörs av samma färger [1] . $T$

Generaliseringar

Radin och Conway föreslog en 3D-analog som duplicerade kupolen [2] [3] .

Du kan få en fraktal om du sekventiellt delar upp i fem identiska trianglar enligt Conways konstruktion och kasserar den mellersta triangeln ( till oändlighet ). Denna "pinwheel" fraktal har dimensionen av Hausdorff . $T$ $d={\frac {\ln 4}{\ln {\sqrt {5))))\approx 1,7227$

Använd i arkitektur

Byggnadskomplexet på Federation Square i Australien använder en "pinwheel"-mosaik. Projektet använde mosaik för att skapa fasadens strukturella ramar, så att de kunde tillverkas i en fabrik och sedan monteras på plats. Mosaiken är baserad på triangulära element av zink, perforerad zink, sandsten och glas, som är sammankopplade med 4 andra delar på en aluminiumram för att bilda en "panel". Fem paneler monterades på en galvaniserad stålstomme och bildade en "megapanel", som sedan lyftes och monterades på fasadens bärande stomme. Plattornas rotationsposition ger fasaden ett mer slumpmässigt utseende, även om hela monteringsprocessen baseras på förberedda plattor av samma storlek. Samma "pinwheel" mosaik används i konstruktionen av "Atrium" på Federation Square, även om mosaiken i det här fallet gjordes "3-dimensionell" för att bilda strukturen för huvudentrén.

Anteckningar

↑ Radin, 1994 , sid. 661–702.
↑ Radin, Conway, 1998 , sid. 179-188.
↑ Sadun, 1998 , sid. 79–110.

Litteratur

C. Radin. The Pinwheel Tilings of the Plane // Annals of Mathematics . - 1994. - T. 139 , nr. 3 (maj) . - doi : 10.2307/2118575 . — .
C. Radin, J. Conway. Quaquaversal plattsättning och rotationer // Inventiones math. - 1998. - Utgåva. 132 .
L. Sadun. Några generaliseringar av Pinwheel Plating. - 1998. - T. 20 , nr. 1 . - doi : 10.1007/pl00009379 .

Länkar

Pinwheel på Tilings Encyclopedia
Dynamiskt Pinwheel tillverkat i GeoGebra

geometriska mosaiker

Periodisk

Pythagoras
Rombisk
Schwartz triangel
Rektangulär
- Domino
Femsidig
Homogen mosaik
Honeycombs
- Färgläggning
- Konvex
- Delad mosaik
Platt kristallografisk grupp
Wythoff konstruktion

Aperiodisk

Ammann-Binker
Aperiodisk uppsättning mosaikplattor
- Lista
En brickutmaning
- Sokolara - Taylor
Gilbert
Penrose
pinwheel
Kupolformad
Delande och självklistrade set
- Sfinx
Truche

Övrig

Non- isohedral och isohedral
Arkitektonisk och reflekterande
Circle Limit III
Datorgrafik
honungskakor
Kant transitiv
Paket
Uppgifter
- Skåpbil
- heesh
- kvadrera
Mosaikplattor
- Conways kriterium
- Girih
Regelbunden uppdelning av planet
Vanligt galler
Byten
Voronoi diagram
Foderberg

Genom vertexkonfiguration
_

Sfärisk	2n _ 3 3 n V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _
Korrekt	2∞ _ 3 6 4 4 6 3
halvkorrekt _	3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 .4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6 _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2 .∞ 4.6.12 4,8 2
Hyperbolisk _	3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 3 8 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3.4.6 2.4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3.7) 2 (3.8) 2 3,14 2 3,16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 4 5 4 6 4 7 4 8 4∞ _ (4.5) 2 (4.6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4.7) 2 (4.8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4,14 2 4,16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5,8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6.8) 2 6,8 2 6.10 2 6.12 2 6,16 2 7 3 74 _ 7 7 7,6 2 7,8 2 7.14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8,6 2 8.16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞.6 2 ∞.8 2