Dominomosaik

En beläggning av dominoplattor i en region i det euklidiska planet  är en mosaik av dominoplattor , som bildas av föreningen av två enhetsrutor anslutna längs en kant. På motsvarande sätt är det en matchning i gittergrafen som bildas genom att placera en vertex i mitten av varje kvadrat av området och koppla samman två hörn om de två motsvarande kvadraterna är intill varandra.

Den populära matematiska YouTube -kanalen Mathologer har en video på ämnet dominopartitioner [1] .

Höjdfunktioner

För vissa klasser av plattsättningar på ett vanligt gitter i tvådimensionella utrymmen kan man definiera en höjdfunktion som tilldelar ett heltal till varje vertex i gittret. Till exempel, låt oss rita ett schackbräde, fixa en punkt med höjden 0, sedan för vilken vertex som helst finns det en väg från den. På den här banan definierar vi höjden på varje vertex (det vill säga kvadraternas hörn) som höjden på föregående vertex plus ett om kvadraten är till höger längs vägen från till svart, och minus en annars.

Mer detaljerad information kan hittas i tidningen av Kenion och Okunkov [2] .

Thurstons höjdtillstånd

William Paul Thurston (1990) beskriver ett test för att avgöra om ett enkelt sammankopplat område bildat av föreningen av enhetskvadrater i planet har en domino-tesselation. Den bildar en oriktad graf som har som hörnpunkter ( x , y , z ) i ett tredimensionellt heltalsgitter , och vars varje punkt är kopplad till fyra närliggande: om x  +  y är jämnt, då ( x , y , z ) ansluter till ( x  + 1, y , z  + 1), ( x  − 1, y , z  + 1), ( x , y  + 1, z  − 1) och ( x , y  − 1, z  − 1 ), medan om x  +  y ( x , y , z ) är udda, ansluter till ( x  + 1, y , z  − 1), ( x  − 1, y , z  − 1), ( x , y  + 1, z  + 1) och ( x , y  - 1, z  + 1). Gränsen för en region, betraktad som en sekvens av heltalspunkter i planet ( x , y ), lyfts unikt (given en given initial höjd) till en bana i denna 3D-plot. En nödvändig förutsättning för existensen av en plattsättning av området med dominoplattor är stängningen av banan (det vill säga den resulterande banan måste bilda en enkel stängd kurva). Detta villkor är dock inte tillräckligt. Med hjälp av en noggrannare analys av gränsen gav Thurston ett nödvändigt och tillräckligt kriterium för att det skulle finnas en plattsättning av en domän.

Räkna ytbeläggningar

Antalet sätt att plattsätta en rektangel med dominobrickor beräknades oberoende 1961 av Temperley och Fisher [3] och Castellain [4] och detta antal är lika med

Om m och n båda är udda, ger formeln korrekt noll antal möjliga dominoplattor.

Ett specialfall är tessellationen av en rektangel med n dominobrickor, vilket resulterar i Fibonacci-sekvensen (sekvens A000045 i OEIS ) [5] .

Ett annat specialfall förekommer för kvadrater med m = n = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, … - 1, 2, 36, 6728, 12988816, 258584046368, 53060477521060000 … (OE3 sekvens, A 03 sekvens ) .

Dessa tal kan hittas genom att skriva dem som Pfaffian för en skevsymmetrisk matris , vars egenvärden kan hittas explicit. Denna teknik kan tillämpas på många matematiska objekt, såsom den klassiska 2-dimensionella beräkningen av dimer-dimer-korrelationsfunktionen i statistisk mekanik .

Antalet plattsättningar i en region är mycket känsliga för randvillkoren och kan förändras avsevärt med till synes obetydliga förändringar i regionens form. Detta kan illustreras av antalet aztekiska diamantbeläggningar av ordningen n , där antalet beläggningar är 2 ( n  + 1) n /2 . Om den ersätts av en "förlängd aztekisk diamant" av ordningen n med tre långa rader i mitten istället för två, sjunker antalet plattsättningar till ett mycket mindre antal D( n , n ), Delannoy-talet , som endast har exponentiellt , inte superexponentiell tillväxt med n . För en "reducerad Aztec-diamant" av ordning n med endast en lång mittrad, finns det bara en plattsättning.

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Video på YouTube-kanalen Mathologer
  2. ↑ Kenyon, Okounkov, 2005 , sid. 342–343.
  3. ↑ Temperley, Fisher, 1961 .
  4. ↑ Kasteleyn, 1961 .
  5. ↑ Klarner och Pollack 1980 , sid. 45–52.

Länkar

Litteratur

 geometriska mosaiker
Periodisk
Aperiodisk
Övrig
Genom vertexkonfiguration
_
Sfärisk
Korrekt
halvkorrekt
_
Hyperbolisk
_
  • 3 2 .4.3.5
  • 3 2 .4.3.6
  • 3 2 .4.3.7
  • 3 2 .4.3.8
  • 3 2 .4.3.∞
  • 3 2 .5.3.5
  • 3 2 .5.3.6
  • 3 2 .6.3.6
  • 3 2 .6.3.8
  • 3 2 .7.3.7
  • 3 2 .8.3.8
  • 3 3 .4.3.4
  • 3 2 .∞.3.∞
  • 3 4 .7
  • 3 4 .8
  • 3 4 .∞
  • 3 5 .4
  • 3 7
  • 3 8
  • 3∞ _
  • (3.4) 3
  • (3.4) 4
  • 3.4.6 2.4 _
  • 3.4.7.4
  • 3.4.8.4
  • 3.4.∞.4
  • 3.6.4.6
  • (3.7) 2
  • (3.8) 2
  • 3,14 2
  • 3,16 2
  • (3.∞) 2
  • 3.∞ 2
  • 4 2 .5.4
  • 4 2 .6.4
  • 4 2 .7.4
  • 4 2 .8.4
  • 4 2 .∞.4
  • 4 5
  • 4 6
  • 4 7
  • 4 8
  • 4∞ _
  • (4.5) 2
  • (4.6) 2
  • 4.6.12
  • 4.6.14
  • V4.6.14
  • 4.6.16
  • V4.6.16
  • 4.6.∞
  • (4.7) 2
  • (4.8) 2
  • 4.8.10
  • V4.8.10
  • 4.8.12
  • 4.8.14
  • 4.8.16
  • 4.8.∞
  • 4.10 2
  • 4.10.12
  • 4.12 2
  • 4.12.16
  • 4,14 2
  • 4,16 2
  • 4.∞ 2
  • (4.∞) 2
  • 5 4
  • 5 5
  • 5 6
  • 5∞ _
  • 5.4.6.4
  • (5.6) 2
  • 5,8 2
  • 5.10 2
  • 5.12 2
  • (5.∞) 2
  • 6 4
  • 6 5
  • 6 6
  • 6 8
  • 6.4.8.4
  • (6.8) 2
  • 6,8 2
  • 6.10 2
  • 6.12 2
  • 6,16 2
  • 7 3
  • 74 _
  • 7 7
  • 7,6 2
  • 7,8 2
  • 7.14 2
  • 8 3
  • 8 4
  • 8 6
  • 8 8
  • 8 12
  • 8,6 2
  • 8.16 2
  • ∞ 3
  • ∞ 4
  • ∞ 5
  • ∞∞ _
  • ∞.6 2
  • ∞.8 2