Generaliserad trigonometri

Generaliserad trigonometri är en samling olika generaliseringar av definitioner och resultat av klassisk trigonometri .

Vanlig trigonometri studerar trianglar i det euklidiska planet . Det finns flera sätt att definiera de vanliga trigonometriska funktionerna i euklidisk geometri i reella tal : genom en rätvinklig triangel , en enhetscirkel , serier , differentialekvationer och funktionella ekvationer . Utvecklingen av generaliseringar av trigonometriska funktioner består ofta av att anpassa någon av ovanstående metoder till en situation där de reella talen för euklidisk geometri inte används. I allmänhet kan trigonometri ses som studiet av trippelpunkter i vilken geometri och vilket utrymme som helst . En triangel är en polygon med det minsta antalet hörn, så en riktning för generalisering är att studera de högre dimensionella analogerna av vinklar och polygoner: den solida vinkeln och polyedrarna , såsom tetraedrar och -simplices .

Trigonometri

• Inom sfärisk trigonometri studeras trianglar på ytan av en sfär . Identiteterna för sfäriska trianglar skrivs i termer av de vanliga trigonometriska funktionerna, men skiljer sig från identiteterna för plana trianglar.
• Hyperbolisk trigonometri:
  1. Undersökning av hyperboliska trianglar i hyperbolisk geometri med hyperboliska funktioner .
  2. Genom att använda hyperboliska funktioner i euklidisk geometri - enhetscirkeln parametriseras av punkten , medan den liksidiga hyperbeln parametriseras av punkten .
  3. Gyrotrigonometri är en form av trigonometri som används i gyrovektorförhållningssätt till hyperbolisk geometri, med tillämpningar inom speciell relativitetsteori och kvantberäkning .
• Rationell trigonometri - teorin om den kanadensiska matematikern N. J. Wildberger, vars huvudidé är att ersätta begreppet längd med en "kvadrant" (kvadrat euklidiskt avstånd ) och begreppet vinkel med "spridning" (kvadrat på sinus av motsvarande vinkel).
• Trigonometri för stadskvarters geometri [1] .
• Trigonometri av rum-tid [2] .
• Fuzzy kvalitativ trigonometri [3] .
• Operatörstrigonometri [4] .
• Gittertrigonometri [5] .
• Trigonometri på symmetriska utrymmen [6] [7] [8] .

Högre dimensioner

• Polar sinus .
• Trigonometri för tetraedern [9] :
  • Sinussats för tetraedrar .
• Simplex med en "ortogonal vinkel" - Pythagoras satser för -simplicerade :
  • De Guas  sats är Pythagoras sats för en tetraeder med kubisk vinkel .

Trigonometriska funktioner

• Trigonometriska funktioner kan definieras för bråk-differentialekvationer [10] .
• I tidsskalkalkyl kombineras differentialekvationer och differensekvationer till dynamiska tidsskalekvationer, som även inkluderar q-differensekvationer . Trigonometriska funktioner kan definieras på en godtycklig tidsskala (en delmängd av reella tal).
• Seriedefinitionerna av sinus och cosinus tillåter att dessa funktioner definieras på vilken algebra som helst , där dessa serier konvergerar, såsom över komplexa tal , p-adiska tal , matriser och olika Banach-algebror .

Annat

• Polära/trigonometriska former av hyperkomplexa tal [11] [12] .
• Polygonometri  - trigonometriska identiteter för flera olika vinklar [13] .

Se även

• Pythagoras sats i icke-euklidisk geometri

Anteckningar

1. ↑ Thompson, Kevin & Dray, Tevian (2000), City block angles and trigonometry , Pi Mu Epsilon Journal vol 11(2): 87–96 , < http://www.physics.orst.edu/~tevian/taxicab /taxicab.pdf > Arkiverad 23 februari 2012 på Wayback Machine 
2. ↑ Francisco J. Erranz, Ramón Ortega, Mariano Santander (2000), Spacetime Trigonometry: A New Self-Dual Approach to Curvature/Signature Dependent Trigonometry , Journal of Physics AT 33(24): 4525–4551 , DOI 8/4070058 -40310058/4031005. /33/24/309 
3. ↑ Honghai Liu, George M. Coghill (2005), Fuzzy Qualitative Trigonometry , 2005 IEEE International Conference on Systems, Humans and Cybernetics , vol. 2, sid. 1291–1296 , < http://userweb.port.ac.uk/~liuh/Papers/LiuCoghill05c_SMC.pdf > Arkiverad 25 juli 2011 på Wayback Machine 
4. ↑ K. E. Gustafson (1999), Computational trigonometry and related works by Russian mathematicians Kantorovich, Krein, Kaporin , Computational technologies vol 4 (3): 73–83 , < http://www.ict.nsc.ru/jct/getfile .php?id=159 > Arkiverad 24 juni 2021 på Wayback Machine 
5. ↑ Oleg Karpenkov (2008), Elementary concepts of lattice trigonometry , Mathematical Scandinavia T. 102 (2): 161–205 , DOI 10.7146/math.scand.a-15058 
6. ↑ Aslaksen Helmer, Huyin Xue-Ling (1997), Laws of Trigonometry in Symmetric Spaces, Geometry of the Pacific Coast ( Singapore , 1994 ) , Berlin : de Gruyter , sid. 23–36 
7. ↑ Enrico Leuzinger (1992), On the trigonometry of symmetric spaces , Helvetica Mathematical Comments T. 67 (2): 252–286 , DOI 10.1007/BF02566499 
8. ↑ Masala G. (1999), Reguljära och isokliniska trianglar i Grassmann manifolds G 2 ( R N ) , Rapporter från det matematiska seminariet vid Polytechnic University of Turin . T. 57 (2): 91–104 
9. ↑ G. Richardson (1902-03-01). "Trigonometri of the Tetrahedron" (PDF) . Matematisk bulletin . 2 (32): 149-158. DOI : 10.2307/3603090 . JSTOR  3603090 . Arkiverad (PDF) från originalet 2021-08-28 . Hämtad 2021-06-18 . Utfasad parameter används |deadlink=( hjälp )
10. ↑ Bruce J. West, Mauro Bologna, Paolo Grigolini (2003), Fractaloperatörernas fysik , Institutet för icke-linjära vetenskaper, New York : Springer Publishing , s. 101, ISBN 0387955542 , DOI 10.1007/9780387217468 
11. ↑ Harkin Anthony A., Harkin Joseph B. (2004), The geometry of generalized complex numbers , Mathematical Journal T. 77 (2): 118–129 , DOI 10.1080/0025570X.2004.11953236 
12. ↑ Yamaleev Robert M. (2005), Complex algebras on polynomials of order n and generalizations of trigonometry, the oscillator model and Hamiltonian dynamics , Advances in Applied Clifford Algebras V. 15 (1): 123–150, doi : 70 . /s00006- 005-0007-y , < http://www.clifford-algebras.org/v15/v151/YAMAL151.pdf > Arkiverad 22 juli 2011 på Wayback Machine 
13. ↑ Antippa Adele F. (2003), Combinatorial structure of trigonometry , International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences T. 2003 (8): 475–500, doi : 10.1155/S0161171203106230 , < http: //www.emis.emis . /HOA /IJMMS/2003/8475.pdf > Arkiverad 28 juni 2021 på Wayback Machine