Ortodiagonal fyrhörning

I euklidisk geometri är en ortodiagonal fyrhörning en fyrhörning där diagonalerna skär varandra i rät vinkel .

Särskilda tillfällen

En deltoid är en ortodiagonal fyrhörning där en diagonal är symmetriaxeln. Deltoider är exakt ortodiagonala fyrhörningar som har en cirkel som tangerar alla fyra sidorna. Således är deltoider omskrivna ortodiagonala fyrhörningar [1] .

En romb är en ortodiagonal fyrhörning med två par parallella sidor (dvs en ortodiagonal fyrhörning och ett parallellogram samtidigt).

En kvadrat är ett specialfall av en ortodiagonal fyrhörning, som är både en deltoid och en romb.

Orto-diagonala ekvidagonala fyrhörningar, där diagonalerna inte är mindre än någon sida, har den maximala diametern bland alla fyrhörningar, vilket löser n = 4 fallet med problemet med polygonen med den största enhetsdiametern i area . Torget är en sådan fyrhörning, men det finns oändligt många andra.

Beskrivning

För alla ortodiagonala fyrhörningar är summan av kvadraterna på motsatta sidor lika - för sidorna a , b , c och d har vi [2] [3] :

\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}.

Detta följer av Pythagoras sats , enligt vilken någon av dessa två summor är lika med summan av fyra kvadratiska avstånd från hörn av fyrhörningen till skärningspunkten för diagonalerna.

Omvänt måste alla fyrhörningar där a 2 + c 2 = b 2 + d 2 vara ortodiagonal [4] . Detta kan visas på många sätt med hjälp av cosinussatsen , vektorer , motsägelsebevis och komplexa tal [5] .

Diagonalerna på en konvex fyrhörning är vinkelräta om och endast om bimedianerna har samma längd [5] .

Diagonalerna för en konvex fyrhörning ABCD är också vinkelräta om och endast om

\angle PAB+\angle PBA+\angle PCD+\angle PDC=\pi

där P är skärningspunkten för diagonalerna. Av denna likhet följer nästan omedelbart att diagonalerna för en konvex fyrhörning också är vinkelräta om och endast om projektionerna av skärningen av diagonalerna på sidorna av fyrhörningen är hörnen på den inskrivna fyrhörningen [5] .

En konvex fyrhörning är ortodiagonal om och endast om dess Varignon-parallellogram (vars hörn är sidornas mittpunkter) är en rektangel [5] . Dessutom är en konvex fyrhörning ortodiagonal om och endast om mittpunkterna på dess sidor och baserna för de fyra antimediatriserna är åtta punkter som ligger på samma cirkel , cirkeln med åtta punkter . Mitten av denna cirkel är tyngdpunkten för fyrhörningen. Fyrkanten som bildas av antimediatrisernas baser kallas den huvudsakliga ortoquadrilateralen [6] .

Om normalerna till sidorna av en konvex fyrhörning ABCD genom skärningspunkten mellan diagonalerna skär motsatta sidor i punkterna R , S , T , U , och K , L , M , N är baserna för normalerna, då är fyrhörningen ABCD är ortodiagonal om och endast om åtta punkter K , L , M , N , R , S , T och U ligger på samma cirkel, den andra cirkeln med åtta punkter . Dessutom är en konvex fyrhörning ortodiagonal om och endast om fyrhörningen RSTU är en rektangel vars sidor är parallella med diagonalerna på fyrhörningen ABCD [5] .

Det finns flera relationer angående de fyra trianglarna som bildas av skärningspunkten mellan diagonalerna P och hörnen på den konvexa fyrhörningen ABCD . Beteckna med m 1 , m 2 , m 3 , m 4 medianerna i trianglarna ABP , BCP , CDP , DAP från P till sidorna AB , BC , CD , DA respektive. Beteckna med R 1 , R 2 , R 3 , R 4 radierna för de omskrivna cirklarna och genom h 1 , h 2 , h 3 , h 4 - höjderna av dessa trianglar. Då är fyrsidig ABCD ortodiagonal om och endast om någon av följande likheter [5] är sann :

${\displaystyle m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2))$
${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2))$
${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2} ^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

Dessutom är fyrhörningen ABCD med skärningspunkten för diagonalerna P ortodiagonal om och endast om mittpunkterna i cirklarna som beskrivs runt trianglarna ABP , BCP , CDP och DAP är mittpunkterna på fyrhörningens sidor [5] .

Jämförelse med den omskrivna fyrhörningen

Vissa numeriska egenskaper hos de beskrivna fyrhörningarna och ortodiagonala fyrhörningarna är mycket lika, vilket kan ses i följande tabell [5] . Här är längderna på sidorna i fyrkanten a , b , c , d , radierna för de omskrivna cirklarna runt trianglarna är R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , och höjderna är h 1 , h 2 , h 3 , h 4 (som i figuren) .

Omskriven fyrhörning	ortodiagonal fyrhörning
$a+c=b+d$	${\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2))$
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4))$	${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2))$
${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1 }{h_{4}}}$	${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2} ^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

Område

Arean K av en ortodiagonal fyrhörning är lika med halva produkten av längderna av diagonalerna p och q [7] :

K={\frac {p\cdot q}{2)).

Omvänt är varje konvex fyrhörning vars area är lika med halva produkten av diagonalerna ortodiagonal [5] . En ortodiagonal fyrhörning har den största arean bland alla konvexa fyrhörningar med givna diagonaler.

Andra egenskaper

Endast för ortodiagonala fyrhörningar bestäms arean inte unikt av sidorna och vinkeln mellan diagonalerna [8] . Till exempel, om en av två romber med sidorna a (som alla romber, deras diagonaler är vinkelräta) har en mindre spetsig vinkel, då kommer områdena att vara olika.
Om rutor ritas på sidorna av någon fyrhörning (konvex, konkav eller självskärande) , då kommer deras centra att vara hörn på en ortodiagonal fyrkant (även likdiagonal ). Detta påstående kallas Van Obels teorem .

Egenskaper för en ortodiagonal inskriven fyrhörning

Radie för den omskrivna cirkeln och arean

Låt skärningspunkten för diagonalerna i en ortodiagonal fyrhörning inskriven i en cirkel dela en av diagonalerna i segment med längden p 1 och p 2 , och den andra i segment med längden q 1 och q 2 . Sedan (den första jämlikheten i proposition 11 i Arkimedes ' Lemmas )

D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^ {2}=b^{2}+d^{2}

där D är diametern på den omskrivna cirkeln . Detta är sant för alla två vinkelräta ackord i cirkeln [9] . Från denna formel följer uttrycket för radien för den omskrivna cirkeln

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2 }}}

eller, när det gäller sidorna av en fyrhörning,

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+ d^{2}}}.

Av detta följer också att

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.

Sedan, enligt Eulers formel , kan radien för den omskrivna cirkeln uttryckas i termer av diagonalerna p och q och avståndet x mellan diagonalernas mittpunkter

R={\sqrt {{\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}}.

Formeln för arean K av en inskriven ortodiagonal fyrhörning i termer av fyra sidor erhålls direkt genom att kombinera Ptolemaios sats och formeln för arean av en ortodiagonal fyrhörning .

K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).

Andra egenskaper

I en inskriven ortodiagonal fyrhörning sammanfaller anticentrum med diagonalernas skärningspunkt [2] .
Brahmaguptas sats säger att för varje inskriven ortodiagonal fyrhörning delar vinkelrät mot sidan som går genom diagonalernas skärningspunkt den motsatta sidan [2] .
Om en ortodiagonal fyrhörning är en inskriven, är avståndet från mitten av den omskrivna cirkeln till endera sidan lika med halva längden av den motsatta sidan [2] .
I en inskriven ortodiagonal fyrhörning är avståndet mellan diagonalernas mittpunkter lika med avståndet mellan den omskrivna cirkelns centrum och diagonalernas skärningspunkt [2] .
En ortodiagonal fyrhörning, som också är likdiagonal , är en rms fyrhörning eftersom dess Varignon-parallellogram är en kvadrat. Dess område kan uttryckas rent i termer av sidor.

Rektanglar inskrivna i en ortodiagonal fyrhörning

Vilken ortodiagonal fyrhörning som helst kan inskrivas med oändligt många rektanglar som tillhör följande två uppsättningar:

(i) rektanglar vars sidor är parallella med diagonalerna på en ortodiagonal fyrhörning (ii) rektanglar definierade av Pascals punktcirklar. [10] [11] [12]

Anteckningar

↑ Josefson, 2010 , sid. 119-130.
↑ 1 2 3 4 5 Altshiller-Court, 2007 , sid. 136-138.
↑ Mitchell, 2009 , sid. 306-309.
↑ Ismailescu, Vojdany, 2009 , sid. 195–211.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Josefsson, 2012 , sid. 13–25.
↑ Mammana, Micale, Pennisi, 2011 , sid. 109–119.
↑ Harrys, 2002 , sid. 310–311.
↑ Mitchell, 2009 , sid. 306–309.
↑ Posamentier, Salkind, 1996 , sid. 104–105, #4–23.
↑ David, Fraivert (2019), A Set of Rectangles Inscribed in an Orthodiagonal Quadrilateral and Defined by Pascal-Points Circles , Journal for Geometry and Graphics Vol . 23: 5–27 , < http://www.heldermann.de/JGG /JGG23/JGG231/jgg23002.htm > Arkiverad 23 oktober 2020 på Wayback Machine .
↑ David, Fraivert (2017), Properties of a Pascal points circle in a quadrilateral with perpendicular diagonals , Forum Geometricorum vol. 17: 509–526 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201748.pdf > Archived datedf 5 december 2020 på Wayback Machine .
↑ Freivert, D. M. (2019), A New Topic in Euclidean Geometry on the Plane: Theory of "Pascal Points" Formed by a Circle on the Sides of a Quadrilateral , Matematisk utbildning: State of the Art och Perspectives: Proceedings of the International Scientific Conference , < http://libr.msu.by/handle/123456789/9675 > Arkiverad 10 november 2019 på Wayback Machine

Litteratur

Martin Josefsson. Beräkningar angående tangentlängder och tangenskorder för en tangentiell fyrhörning // Forum Geometricorum. - 2010. - Vol. 10. - S. 119-130.
Martin Josefsson. Karakteriseringar av ortodiagonala fyrhörningar // Forum Geometricorum. - 2012. - Vol. 12. - S. 13–25.
Maria Flavia Mammana, Biagio Micale, Mario Pennisi. Droz-Farny-cirklarna i en konvex fyrhörning // Forum Geometricorum. - 2011. - Vol. 11. - S. 109-119.
N. Altshiller-domstolen. College geometri. - Dover Publications, 2007. (Återtryck av 1952 års bok, Barnes & Noble)

Douglas W. Mitchell. Området för en fyrhörning // Mathematical Gazette. - 2009. - Vol. 93.—S. 306–309.
Dan Ismailescu, Adam Vojdany. Klassbevarande dissektioner av konvexa fyrhörningar // Forum Geometricorum. - 2009. - Vol. 9. - P. 195-211.
J. Harrys. Area av en fyrhörning // Mathematical Gazette. - 2002. - Nej. 86.
David Fraivert. Egenskaper för en Pascal-punktcirkel i en fyrhörning med vinkelräta diagonaler // Forum Geometricorum. - 2017. - Vol. 17. - P. 509-526.
Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind. Utmanande problem i geometri. 2:a upplagan . - New York: Dover Publ., 1996. - ISBN 0-486-69154-3 .