Wythoff konstruktion

Wythoffs konstruktion , eller Wythoffs konstruktion [1]  är en metod för att konstruera enhetliga polyedrar eller plattsättningar på ett plan. Metoden är uppkallad efter matematikern W. A. ​​Wiethoff . Wythoffs konstruktionsmetod kallas ofta för kalejdoskopkonstruktion .

Byggnad

Konstruktionen bygger på idén om plattsättningar på en sfär med sfäriska trianglar  - se Schwartz trianglar . Denna konstruktion använder reflektioner kring sidorna av en triangel som ett kalejdoskop . Men till skillnad från ett kalejdoskop är reflektionerna inte parallella, utan skär varandra vid en punkt. Flera reflektioner bildar flera kopior av triangeln. Om hörnen i en sfärisk triangel är rätt valda, lägger trianglarna sfären en eller flera gånger.

Genom att placera en punkt på lämplig plats inuti en sfärisk triangel omgiven av speglar kan man uppnå att reflektionerna av denna punkt ger en enhetlig polyeder. För en sfärisk triangel ABC finns det fyra positioner som ger en enhetlig polyeder:

1. Punkten ligger i spetsen A . Det ger en polyeder med Wythoff-symbolen a | b  c , där a är lika med π dividerat med vinkeln för triangeln vid vertex A . Likadant för b och c .
2. Punkten är belägen på segment AB vid basen av vinkelhalveringslinjen vid vertex C . Det ger en polyeder med Wythoff-symbolen a  b | c .
3. Punkten är belägen i mitten av triangeln ABC . Det ger en polyeder med Wythoff-symbolen a  b  c |.
4. Punkten är placerad på ett sådant sätt att när den roterar runt triangelns hörn med en dubbel vinkel vid dessa hörn, rör sig den samma sträcka. Endast jämna reflektioner används. Polyedern har Wythoff-symbolen | a  b  c .

Processen är allmänt användbar för att erhålla vanliga polytoper i utrymmen med högre dimensioner, inklusive 4-dimensionella homogena polytoper .

Icke-Wiethoff konstruktion

Uniforma polyedrar som inte kan konstrueras med Wythoffs spegelkonstruktion kallas icke-Wythoff polyedrar. De, i det allmänna fallet, kan erhållas från Wythoff-konstruktioner antingen genom att alternera (ta bort hörn genom en) eller genom att infoga omväxlande rader av några figurer. Båda typerna av sådana figurer har rotationssymmetri. Cutoffs anses ibland Withoff även om de kan erhållas genom att alternerande cutoff- siffror på alla sidor.

Se även

• Wythoff-symbolen  är en symbol för Wythoffs konstruktion av enhetliga polyedrar och enhetliga tessellationer .
• Coxeter-Dynkin-diagram  är en generaliserad symbol för Wythoffs konstruktion av enhetliga polyedrar och bikakor.

Anteckningar

1. ↑ Vesnin, 2017 .

Litteratur

• HSM Coxeter. Kapitel 5: Kalejdoskopet, avsnitt: 5.7 Wythoffs konstruktion // Regular Polytopes . - Dover-upplagan, 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• Coxeter . Kapitel 3: Wythoffs konstruktion för likformiga polytoper // Geometrins skönhet: tolv uppsatser . - Dover Publications, 1999. - ISBN 978-0-486-40919-1 .
• Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra  // Geometriae Dedicata . - 1993. - Nr 47 . - S. 57-110 . Arkiverad från originalet den 15 juli 2009. Avsnitt 4: Kalejdoskopet.
• W. A. ​​Wythoff En relation mellan polytoperna i C600-familjen // Proceedings of the Section of Sciences. - Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, 1918. -Nr 20. -S. 966-970.
• A. Yu. Vesnin . Rektangulära polytoper och tredimensionella hyperboliska grenrör // Uspekhi Mat. - 2017. - T. 72. - S. 147-190. doi :/ rm9762 .

Länkar

• Weisstein, Eric W. Wythoff Construction  (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
• Olshevsky, George Wythoff konstruktion på ordlista för hyperrymden
• Uniforma polygoner erhållna med Wythoff-konstruktionen
• Beskrivning av Wythoffs konstruktion
• "Jenn" , programvara för att se (sfäriska) polygoner och 4D-polytoper från deras symmetrigrupper