Produkt av topologiska utrymmen

En produkt av topologiska utrymmen är ett topologiskt utrymme erhållet som en uppsättning av den kartesiska produkten av de ursprungliga topologiska utrymmena, och utrustad med en naturlig topologi som kallas produkttopologin [1] [2] eller Tikhonov-topologin . Ordet "naturlig" används här i betydelsen kategoriteori och betyder att denna topologi uppfyller vissa universella egenskaper .

Denna topologi studerades först av den sovjetiske matematikern Andrei Tikhonov 1926 .

Definitioner

Låta:

\{X_{\alpha }:\alpha \i A\}

är en familj av topologiska utrymmen,

X=\prod \limits _{\alpha \in A}X_{\alpha }

är deras kartesiska produkt (som set),

p_{\alpha }:X\till X_{\alpha }

är projiceringen av produkten på motsvarande faktor.

Tikhonov-topologin på är den grovaste topologin (det vill säga topologin med minst öppna uppsättningar ) för vilken alla projektioner är kontinuerliga . Öppna uppsättningar av denna topologi är alla möjliga föreningar av uppsättningar av formen , där var och en är en öppen delmängd och endast för ett ändligt antal index. Speciellt är de öppna mängderna av produkten av ett ändligt antal utrymmen helt enkelt föreningarna av produkterna av de öppna undermängderna av de ursprungliga utrymmena. $X$ $p_{\alpha }$ $\prod _{i\in I}U_{i}$ $U_{i}$ $X_{i}$ $U_{i}\neq X_{i}$

Tikhonov-topologin kan också beskrivas enligt följande: en familj av uppsättningar tas som prebasen för topologin . Basen för topologin är alla möjliga ändliga skärningspunkter av mängder från , och topologin är alla möjliga föreningar av mängder från basen. $X$ ${\mathfrak {P}}=\{p_{\alpha }^{-1}(U):\alpha \in A,\,U\in {\mathfrak {T}}_{\alpha }\}$ ${\mathfrak {P}}$

Tikhonov-topologin är svagare än den så kallade "box"-topologin, för vilken basen för topologin bildas av alla möjliga produkter av öppna delmängder av multiplicerande utrymmen. En sådan topologi har inte ovanstående universella egenskap och Tikhonovs teorem är inte sant för det .

Exempel

Den vanliga topologin på (topologin inducerad av metriken ) är topologin för produkten på den kartesiska graden $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} .$

Cantor-mängden är homeomorf till produkten av ett räknebart antal kopior av det diskreta utrymmet {0,1}, och utrymmet av irrationella tal är homeomorft till produkten av ett räknebart antal utrymmen av naturliga tal (med diskret topologi).

Egenskaper

Det topologiska utrymmet , tillsammans med projektioner till varje komponent , kan definieras med hjälp av den universella egenskapen : om är ett godtyckligt topologiskt utrymme och för varje en kontinuerlig mappning ges, så finns det en unik mappning så att följande diagram är kommutativt för var och en: $X$ $X_{i}$ $Y$ $i\i jag$ $Y\till X_{i},$ $Y\ till X,$ $i\i jag$

Detta visar att Tikhonov-produkten är en produkt i kategorin topologiska utrymmen . Det följer av den universella egenskapen att en mappning är kontinuerlig om och bara om varje mappning är kontinuerlig.I många situationer är kontinuitet lättare att kontrollera. $f:Y\till X$ $f_{i}=p_{i}\circ f,$ $f_{i}$

Projektioner är inte bara kontinuerliga, utan också öppna mappningar (det vill säga att varje öppen uppsättning av produkten, när den projiceras på en komponent, går in i en öppen uppsättning). Det omvända, generellt sett, är inte sant (ett motexempel är en delmängd som är komplementet till en öppen cirkel). Dessutom är projektioner inte nödvändigtvis slutna avbildningar (ett motexempel är att bilderna av projektioner av en sluten uppsättning på koordinataxlarna inte är slutna delmängder av linjen). $pi}$ $\mathbb {R} ^{2},$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid xy=1\},$

Topologin för en produkt kallas ibland topologin för punktvis konvergens. Anledningen till detta är följande: en sekvens av element från en produkt konvergerar om och endast om dess bild konvergerar när den projiceras på varje komponent. Till exempel är topologin för en produkt på utrymmet för verkliga funktioner på en topologi där en sekvens av funktioner konvergerar när den konvergerar punktvis. $\mathbb {R} ^{I},$ $jag$

Samband med andra topologiska begrepp

Separabilitetsaxiom :

Produkten av -mellanrum har egenskapen . $T_{0}$ $T_{0}$
Produkten av -mellanrum har egenskapen . $T_{1}$ $T_{1}$
Produkten av Hausdorff spaces är Hausdorff.
Produkten av vanliga utrymmen är regelbunden.
Produkten av helt vanliga utrymmen är helt regelbundna.
Produkten av normala utrymmen är inte alltid normal .

Kompakthet :

Produkten av kompakta utrymmen är kompakt .
Produkten av lokalt kompakta utrymmen är inte alltid lokalt kompakt. Produkten av en familj av lokalt kompakta utrymmen där alla utom ett begränsat antal komponenter är kompakta är dock lokalt kompakt.

Anslutning :

Produkten av anslutna (respektive väg-anslutna) utrymmen är anslutna (respektive väg-anslutna).
Produkten av helt frånkopplade utrymmen är helt frånkopplad.

Kompaktheten hos Tikhonov-produkter

Tikhonovs teorem : om alla mängder är kompakta , så är deras Tikhonov-produkt också kompakt. $X_{\alpha }$

För att bevisa påståendet, enligt Alexanders prebassats , räcker det att bevisa att varje täckning av element i en prebas medger en finit subcover. För alla , låt vara föreningen av alla uppsättningar för vilka uppsättningen finns i omslaget. Sedan uttrycks den avtäckta delen av utrymmet X med formeln: ${\mathfrak {P}}$ $\alfa$ $V_{\alpha }$ $U\in X_{\alpha }$ $\pi _{\alpha }^{-1}(U)$

\prod \limits _{\alpha \in A}X_{\alpha }\setminus V_{\alpha }

Eftersom denna uppsättning är tom måste minst en faktor vara tom. Detta innebär att för vissa innehåller den aktuella täckningen förbilden av täckningen av utrymmet . På grund av utrymmets kompakthet kan ett ändligt undertäcke särskiljas från dess omslag, och då kommer dess omvända bild med avseende på kartläggningen att vara ett ändligt undertäcke av utrymmet . $\alfa$ $\pi _{\alpha }$ $X_{\alpha }$ $X_{\alpha }$ $\pi _{\alpha }$ $X$

Se även

Tikhonovsky kub

Anteckningar

↑ Yu. G. Borisovich, N. M. Bliznyakov, T. N. Fomenko. Introduktion till topologi. 2:a uppl., tillägg. — M.: Nauka. Fizmatlit., 1995. ISBN 5-02-014118-6 . S. 107.
↑ O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Elementär topologi. — M.: MTSNMO, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9 . S. 158.

Litteratur

Engelking R. Allmän topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 sid.