Likbent trapets

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 12 december 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Likbent trapets

Sorts	fyrhörning , trapets
revben	fyra
Typ av symmetri	Dih 2 , [ ], (*), order 2
Dubbel polygon	deltoid
Egenskaper
konvex , inskriven

I euklidisk geometri är en likbent trapets en konvex fyrhörning med en symmetriaxel som går genom mittpunkterna på två motsatta sidor. Denna fyrhörning är ett specialfall av trapetser . I vilken likbent trapets som helst är de två motsatta sidorna (baserna) parallella och de andra två sidorna (sidorna) har samma längd (en egenskap som också uppfylls av ett parallellogram ). Diagonalerna har också samma längd. Vinklarna vid varje bas är lika och vinklarna vid olika baser är intilliggande (lägger till 180º).

Särskilda tillfällen

Rektanglar och kvadrater behandlas vanligtvis som speciella fall av likbenta trapetser, även om vissa källor inte anser dem som sådana.

Ett annat specialfall är en trapets med 3 lika sidor. I engelsk litteratur kallas det trilateral trapezoid (tresidig trapets) [1] , trisosceles trapezoid (triisosceles trapezoid) [2] eller, mindre vanligt, symtra [3] . En sådan trapets kan ses som att skära av 4 på varandra följande hörn från en vanlig polygon med 5 eller fler sidor.

Självkorsningar

Alla icke-självkorsande fyrhörningar med en enda symmetriaxel måste vara antingen en likbent trapets eller en deltoid [3] . Men om självkorsning tillåts måste uppsättningen av symmetriska fyrhörningar utökas till att omfatta självkorsande likbenta trapetsoider, där de skärande sidorna är lika och de andra två sidorna är parallella, och antiparallelogram , där motsatta sidor är lika längd.

För alla antiparallelogram är det konvexa skrovet en likbent trapets och ett antiparallelogram kan erhållas från diagonalerna på en likbent trapets [4] .

Konvex likbent trapets	Självkorsande likbent trapets	Antiparallelogram

Beskrivningar

Om fyrhörningen är en trapets , är det inte nödvändigt att kontrollera om sidorna är lika (och inte tillräckligt, eftersom romber är specialfall av trapetser med sidor av samma längd, men den har inte axiell symmetri genom basernas mittpunkter) . Någon av följande egenskaper skiljer en likbent trapets från andra trapetser:

Diagonalerna är lika långa.
Basvinklarna är lika.
Linjesegmentet som förbinder mittpunkterna på parallella sidor är vinkelrät mot dem.
Motsatta vinklar är komplementära (upp till 180º), vilket i sin tur innebär att likbenta trapetser är inskrivna fyrhörningar .
Diagonalerna delas av skärningspunkten i parvis lika segment. Enligt figuren nedan är AE = DE , BE = CE (och AE ≠ CE om rektanglar ska uteslutas).

Om rektanglar ingår i klassen trapetser, så kan man definiera en likbent trapets som "en inskriven fyrhörning med lika diagonaler" [5] , som "en inskriven fyrhörning med ett par parallella sidor", eller som "en konvex fyrhörning med en symmetriaxel som går genom mittpunkterna på motsatta sidor".

Vinklar

I en likbent trapets är vinklarna vid baserna lika parvis. I figuren nedan är vinklarna ∠ABC och ∠DCB samma trubbiga vinklar, och vinklarna ∠BAD och ∠CDA är samma spetsiga vinklar .

Eftersom linjerna AD och BC är parallella är vinklarna som hör till motstående baser komplementära, det vill säga ∠ ABC + ∠ BAD = 180°.

Diagonaler och höjd

Diagonalerna för en likbent trapets är lika. Det vill säga, vilken likbent trapets som helst är en likdiagonal fyrhörning . Men diagonalerna för en likbent trapets är uppdelade i samma proportion. I figuren har diagonalerna AC och BD samma längd ( AC = BD ) och delar upp varandra i segment med samma längd ( AE = DE och BE = CE ).

Förhållandet i vilket diagonalerna är uppdelade är lika med förhållandet mellan längderna på de parallella sidorna, dvs.

{\frac {AE}{EC}}={\frac {DE}{EB}}={\frac {AD}{BC}}.

Längden på varje diagonal, enligt konsekvensen av Ptolemaios sats , ges av formeln

{\displaystyle p={\sqrt {ab+c^{2))))

där a och b är längden på de parallella sidorna AD och BC och c är längden på varje sida av AB och CD .

Höjden, enligt Pythagoras sats , ges av formeln

h={\sqrt {p^{2}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{2}} {\sqrt {4c^{2}-(ab)^{2}}}.

Avståndet från punkt E till basen AD ges av formeln

d={\frac {ah}{a+b))

där a och b är längden på baserna AD och BC , och h är trapetsens höjd.

Område

Arean av en likbent (liksom någon) trapets är lika med hälften av produkten av summan av baserna och höjden. I figuren, om vi tar AD \ u003d a , BC \ u003d b , och höjden h är lika med längden på segmentet mellan linjerna AD och BC (vinkelrätt mot dem), så ges arean K av formeln :

K={\frac {h}{2}}\left(a+b\right).

Om istället för trapetsens höjd är längderna på sidorna AB = CD = c kända , kan arean beräknas med hjälp av Brahmagupta-formeln för arean av de inskrivna fyrhörningarna. Likheten mellan de två sidorna förenklar formeln till

K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)^{2))},

var är trapetsens halvperimeter. Denna formel liknar Herons formel för att beräkna arean av en triangel. Samma formel kan skrivas om som $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+2c)$

K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b)^{2}(a-b+2c)(b-a+2c))).

Radie av den omskrivna cirkeln

Radien för den omskrivna cirkeln ges av formeln [6]

R=c{\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4c^{2}-(ab)^{2}}}}.

För en rektangel där a = b förenklas formeln till . $R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}$

Se även

Likbent omskriven trapets

Litteratur

George Bruce Halsted. Elementär syntetisk geometri. - J. Wiley & söner, 1896. .
William Dwight Whitney, Benjamin Eli Smith. Århundradets ordbok och Cyclopedia. — Century co., 1911. .

Anteckningar

↑ Michael de Villiers, Hierarchical Quadrilateral Tree [1] Arkiverad 22 december 2014 på Wayback Machine
↑ likbent trapets . Hämtad 25 september 2016. Arkiverad från originalet 26 augusti 2016. (obestämd)
↑ 12 Halsted , 1896 , sid. 49–53.
↑ Whitney och Smith, 1911 , sid. 1547.
↑ Mzone.mweb.co.za . Hämtad 25 september 2016. Arkiverad från originalet 19 juli 2011. (obestämd)
↑ Trapezoid på Math24.net: Formulas and Tables [2] Arkiverad 28 juni 2018 på Wayback Machine tillgänglig 1 juli 2014.

Länkar

Vissa tekniska formler som involverar likbenta trapetser