Fältförlängning

Fältförlängning (termen superfält är mindre vanligt förekommande )  är ett fält som innehåller det givna fältet som ett underfält. Studiet av förlängningar är en viktig uppgift inom fältteorin , eftersom all fälthomomorfism är en förlängning.

Grundläggande definitioner

Om  är ett fält , är dess underfält  dess delmängd stängd under addition och multiplikation , tar de inversa och motsatta elementen och innehåller enheten, på vilken samma operationer introduceras som i fältet . I det här fallet, kallat fälttillägget , betecknas vanligtvis den givna tillägget (notationen och används också ). Varje fälthomomorfism är injektiv , det vill säga det är en inbäddning . Det följer av detta att specificering av en viss förlängning är likvärdig med att specificera en homomorfism .

Givet en förlängning och en delmängd av fältet , då det minsta underfältet som innehåller och betecknas och kallas det fält som genereras av uppsättningen över fältet . Tillägg som genereras av ett enda element kallas enkla tillägg , och tillägg som genereras av en ändlig uppsättning kallas ändligt genererade tillägg . Ett element som ger upphov till en enkel förlängning kallas ett primitivt element .

För varje förlängning, är ett vektorutrymme över ett fält . I denna situation kan element förstås som "vektorer" och element  som "skalärer", multiplikationen av en vektor med en skalär ges av multiplikationsoperationen i fältet . Dimensionen av detta vektorutrymme kallas graden av förlängning och betecknas med . En förlängning av grad 1 kallas trivial , förlängningar av grad 2 och 3 kallas kvadratisk respektive kubisk . En förlängning av en finit grad kallas finit , annars kallas den oändlig.

Exempel

Fältet för komplexa tal är en förlängning av fältet för reella tal . Denna förlängning är finit: , eftersom den är en bas. I sin tur är fältet för reella tal en förlängning av fältet för rationella tal; graden av denna expansion är lika med kraften i kontinuumet , så denna expansion är oändlig.

Uppsättningen är en förlängning av fältet , vilket uppenbarligen är enkelt. Finita förlängningar kallas algebraiska talfält och är ett viktigt studieobjekt inom algebraisk talteori .

Det vanliga förfarandet för att konstruera en förlängning av ett givet fält, vilket gör det möjligt att lägga till en polynomrot till det  , är att ta faktorringen av polynomringen med det huvudsakliga idealet som genereras av . Låt till exempel fältet inte innehålla roten av ekvationen . Därför är polynomet irreducible i , Därför är idealet  maximal , och därför är kvotringen ett fält. Detta fält innehåller roten av ekvationen ,  bilden av polynomet i faktoriseringsmappingen. Genom att upprepa denna procedur flera gånger kan du få sönderdelningsfältet för ett givet polynom, det vill säga fältet där detta polynom bryts upp i linjära faktorer.

Algebraicitet och transcendens

Låt vara  en förlängning av området . Ett element kallas algebraiskt över om det är en rot av ett polynom som inte är noll med koefficienter i . Element som inte är algebraiska kallas transcendentala . Till exempel, för en förlängning är den imaginära enheten ett algebraiskt tal, eftersom den uppfyller ekvationen .

Specialfallet med tillägg är särskilt viktigt : termerna algebraiskt tal och transcendentalt tal (utan att ange huvudfältet) används just för fallet med en given tillägg.

Om varje element i en förlängning är algebraisk över kallas det en algebraisk förlängning . Icke-algebraiska förlängningar kallas transcendentala.

En delmängd av ett fält kallas algebraiskt oberoende över om det inte finns något polynom som inte är noll (i ett ändligt antal variabler) med koefficienter så att substitution av en ändlig delmängd av tal i den kommer att resultera i noll. Den största kardinaliteten av en algebraiskt oberoende mängd kallas graden av transcendens av en given förlängning. För vilken förlängning som helst kan man hitta en algebraiskt oberoende uppsättning som är en algebraisk förlängning. Den uppsättning som uppfyller detta villkor kallas transcendensbasen för den givna förlängningen. Alla transcendensbaser har samma kardinalitet, lika med graden av transcendens av förlängningen.

En enkel förlängning är finit om den genereras av ett algebraiskt element. Annars är de enda elementen som är algebraiska över  själva elementen .

Galois-tillägg

En algebraisk förlängning kallas normal om varje irreducerbart polynom över , som har minst en rot i , sönderdelas i linjära faktorer.

En algebraisk förlängning sägs vara separerbar om varje element är separerbart, det vill säga dess minimala polynom har inga multipla rötter. I synnerhet säger primitiva elementsatsen att varje finit separerbar förlängning har ett primitivt element (dvs. är en enkel förlängning). En Galois-förlängning  är en förlängning som är både separerbar och normal.

För varje förlängning kan man överväga gruppen av automorfismer av fältet som agerar identiskt på fältet . När en anknytning är en Galois-tillägg kallas denna grupp Galois-gruppen för den givna anknytningen.

För ett tillägg är det ofta användbart att beskriva mellanliggande fält (det vill säga underfält som innehåller ). Grundsatsen i Galois-teorin säger att det finns en bijektion mellan uppsättningen av mellanliggande fält och uppsättningen av undergrupper av Galois-gruppen som vänder ordningen genom inkludering.

Litteratur