Blandad produkt

Den blandade produkten av vektorer  är skalärprodukten av en vektor och vektorprodukten av vektorer och :

Det kallas ibland trippelpunktprodukten av vektorer, uppenbarligen på grund av att resultatet är en skalär (mer exakt en pseudoskalär ).

Geometrisk betydelse: modulen för den blandade produkten är numeriskt lika med volymen av parallellepipeden som bildas av vektorerna .

Egenskaper

• Den blandade produkten är skevsymmetrisk med avseende på alla dess argument:

• Den blandade produkten i det högra kartesiska koordinatsystemet (i den ortonormala basen) är lika med determinanten för matrisen som består av vektorerna och :

• Den blandade produkten i det vänstra kartesiska koordinatsystemet (på ortonormal basis) är lika med determinanten för matrisen som består av vektorer och tas med ett minustecken:

• Om två vektorer är kolinjära, bildar de med vilken tredje vektor som helst en blandad produkt lika med noll.
• Om tre vektorer är linjärt beroende (d.v.s. i samma plan, ligger i samma plan), så är deras blandade produkt noll.
• Geometrisk betydelse - Den blandade produkten i absolut värde är lika med volymen av parallellepipeden (se figur) som bildas av vektorerna och ; tecknet beror på om denna trippel av vektorer är höger eller vänster.
• Kvadraten av den blandade produkten av vektorer är lika med Gram- determinanten som definieras av dem [1] :215 .

• Den blandade produkten är bekvämt skriven med Levi-Civita-symbolen (tensor) :

(i den sista formeln på ortonormal basis kan alla index skrivas som lägre; i detta fall upprepar denna formel formeln med en determinant ganska direkt, men detta resulterar automatiskt i en faktor (-1) för vänster baser) .

Generalisering

I det dimensionella rummet är en naturlig generalisering av den blandade produkten, som har betydelsen av en orienterad volym, bestämningsfaktorn för en matris som består av rader eller kolumner fyllda med vektorkoordinater. Innebörden av denna kvantitet är en orienterad -dimensionell volym (en standardbas och en trivial metrisk antyds).

I en godtycklig grund av godtycklig dimension skrivs den blandade produkten bekvämt med Levi-Civita-symbolen (tensor) för motsvarande dimension:

I tvådimensionellt rymd är detta den pseudoskalära produkten .

Se även

• Dubbelkorsprodukt
• vektor produkt
• Skalär produkt
• Pseudoskalär produkt

Anteckningar

1. ↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektoralgebra i exempel och problem . - M . : Högre skola , 1985. - 232 sid.

Länkar

• Blandad produkt av vektorer och dess egenskaper. Exempel på problemlösning