Sfärisk polyeder

En sfärisk polyeder eller sfärisk plattsättning  är den plattsättning på en sfär där ytan är uppdelad av stora bågar i avgränsade områden som kallas sfäriska polygoner. Mycket av teorin om symmetriska polyedrar använder sfäriska polyedrar.

Det mest kända exemplet på en sfärisk polyeder är en fotboll , som kan förstås som en stympad icosahedron .

Vissa "olämpliga" polyedrar, såsom osohedra och deras dubbla dihedra , existerar endast som sfäriska polyedrar och har inga flata motsvarigheter. I tabellen med exempel nedan är {2, 6} en osohedron och {6, 2} är dess dubbla dihedron.

Historik

De första kända konstgjorda polyedrarna är sfäriska polyedrar huggna i sten. Många av dessa har hittats i Skottland och härstammar från den neolitiska perioden .

Under den europeiska " mörka medeltiden " skrev den islamiska forskaren Abul-Wafa al-Buzjani det första seriösa arbetet om sfäriska polyedrar.

För tvåhundra år sedan, i början av 1800-talet, använde Poinsot sfäriska polyedrar för att upptäcka fyra vanliga stjärnpolyedrar .

I mitten av 1900-talet använde Coxeter dem för att räkna upp alla (utom en) enhetliga polyedrar , med hjälp av en kalejdoskopisk konstruktion ( Withoff-konstruktion ).

Exempel

Alla vanliga , halvregelbundna polyedrar och deras dualer kan projiceras på sfären som en plattsättning. Tabellen nedan visar Schläfli-symbolerna {p, q} och schemat för vertexfiguren abc...:

Schläfli symbol {p, q} t{p, q} r{p, q} t{q, p} {q, p} rr{p, q} tr{p, q} sr{p, q}
Vertex figur p q q.2p.2p pqpq sid. 2q.2q qp _ q.4.p. fyra 4.2q.2p 3.3.q.3.p
Tetraedrisk
(3 3 2)
3 3
3.6.6
3.3.3.3
3.6.6
3 3
3.4.3.4
4.6.6
3.3.3.3.3

V3.6.6
V3.3.3.3
V3.6.6
V3.4.4.4
V4.6.6
V3.3.3.3.3
Octahedral
(4 3 2)
4 3
3.8.8
3.4.3.4
4.6.6
3 4
3.4.4.4
4.6.8
3.3.3.3.4

V3.8.8
V3.4.3.4
V4.6.6
V3.4.4.4
V4.6.8
V3.3.3.3.4
Icosahedral
(5 3 2)
5 3
3.10.10
3.5.3.5
5.6.6
3 5
3.4.5.4
4.6.10
3.3.3.3.5

V3.10.10
V3.5.3.5
V5.6.6
V3.4.5.4
V4.6.10
V3.3.3.3.5
Dihedriska
exempel=6
(2 2 6)
6 2
2.12.12
2.6.2.6
6.4.4
26 _
4.6.4
4.4.12
3.3.3.6
Klass 2 3 fyra 5 6 7 åtta tio
Prisma
(2 2 p)
Bipyramid
(2 2 p)
antiprisma
trapezoeder

Oregelbundna fall

Sfäriska plattsättningar tillåter fall som är omöjliga för polyedrar, nämligen osohedra , reguljära figurer {2,n} och dihedra , regelbundna figurer {n,2}.

Familj av vanliga getingar
Bild
Schläfli {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} {2,7} {2,8}...
coxeter CDel nod 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel8.pngCDel node.png
Ytor och
kanter 		2 3 fyra 5 6 7 åtta
Toppar 2
Vanliga dihedrar: (sfäriska plattor)
Bild
Schläfli {2,2} {3,2} {4,2} {5,2} {6,2}...
coxeter CDel nod 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png
Fasett 2 {2} 2 {3} 2 {4} 2 {5} 2 {6}
Kanter och
toppar 		2 3 fyra 5 6

Anslutning med plattsättningar på det projektiva planet

Eftersom sfären är en tvåskiktad täckning av det projektiva planet, motsvarar de projektiva polytoperna den dubbla täckningen av sfäriska polytoper som har central symmetri .

De mest kända exemplen på projektiva polyedrar är regelbundna projektiva polyedrar bildade av centralt symmetriska reguljära polyedrar , såväl som från oändliga familjer av jämna dihedrar och osohedrar : [1]

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Coxeter, 1966 , sid. 547-552 §3 Rätta kort.

Litteratur