Partikel i en periodisk potential

Inom kvantmekaniken är problemet med en partikel i en endimensionell periodisk potential ett idealiserat problem som kan lösas exakt (för någon speciell sorts potentialer), utan förenklingar. Det antas att potentialen är given på hela det oändliga utrymmet och är periodisk, det vill säga den har translationssymmetri , vilket generellt sett inte är sant för riktiga kristaller , där det alltid finns minst en defekt - ytan (detta leder till ett annat problem om yttillstånd eller Tamm-nivåer ).

Allmän bild av spektrumet

Periodiskt problem

Betrakta ett endimensionellt gitter av joner, vars avstånd är . Potentialen blir då periodisk. Tänk först på det idealiserade fallet med en oändlig kristall. Schrödinger-ekvationen har formen: $a$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi (x)}{\partial x^{2}}}+V_{a}(x) \psi(x)=E\psi(x)

med en periodisk potential Spektrum definieras som uppsättningen av de energier vid vilka ekvationen har lösningar bundna (som inte tenderar till noll eller oändlighet) på hela den reella axeln. Schrödinger-ekvationen är av andra ordningen, så lösningsutrymmet är tvådimensionellt. Låta vara linjärt oberoende lösningar av ekvationen. Sedan, när de förskjuts med en period, på grund av problemets periodicitet, omvandlas de genom varandra: $V_{a}(x)=V_{a}(x+a).$ $\psi_{{1,2}}$

\left({\begin{matrix}\psi _{1}(x+a)\\\psi _{2}(x+a)\end{matrix}}\right)={\mathrm {T}} \left({\begin{matrix}\psi _{1}(x)\\\psi _{2}(x)\end{matrix}}\right)

var finns någon matris ( monodromi matris ). Med tanke på Wronskian är det lätt att visa det och är enhetligt . Detta innebär att den på något sätt har formen $\mathrm{T}$ $\mathrm{T}$ $\det {\mathrm {T}}=1$

\mathrm {T} =\left({\begin{matrix}e^{\mathrm {i} ka}&0\\0&e^{-\mathrm {i} ka}\end{matrix}}\right )

Detta innebär Blochs sats : motsvarande egenfunktioner är av formen

\psi _{{1,2}}(x)=e^{({\mathrm {i}}kx}}\phi _{{1,2}}(x),

var finns periodiska funktioner. Observera att för nu . Uppenbarligen motsvarar spektrumet , vilket är ekvivalent (med hänsyn till enhetligheten) till tillståndet på spåret av monodromimatrisen $\phi _{{1,2}}(x)$ $k\in \mathbb {C}$ $k\in \mathbb{R}$

{\mathrm {Tr}}\ {\mathrm {T}}=2\cos(kx)\in [-2;2]

Det är lätt att visa att det finns en smidig funktion. Detta antyder bandstrukturen för spektrumet : för en partikel i en periodisk potential är de tillåtna energinivåerna någon, vanligtvis oändlig, uppsättning segment på den reella axeln. För en potential av generell form har spektrumet inte isolerade punkter, med en liten störning av potentialen försvinner de antingen eller förvandlas till zoner med liten bredd. Observera att de extrema segmenten av spektrumet i princip kan vara obegränsade, medan alla energinivåer, från en viss, är tillåtna, och det totala antalet zoner är ändligt (se finita gap integration ). I en sådan formulering medger problemet en fullständig och enkel lösning i theta-funktioner . ${\mathrm {Tr}}({\mathrm {T}})(E)$

k kallas kvasi -momentum , i analogi med vågfunktionen för en partikel med ett visst momentum k . Som du kan se bestäms hela vågfunktionen av värdet på k och valfri sektion av funktionen av längden a . $e^{{{\mathrm {i}}kx}}$

På liknande sätt finns det energiband i gitter av högre dimensioner.

Inflytande av gränser

I en riktig kristall är antalet tillåtna tillstånd mycket stort. Den resulterande ytterligare begränsningen av storleken på kvasi-momentet uppstår från randvillkoren för vågfunktionen på kristallytan. I det här fallet, i stället för kontinuerliga zoner, visas regioner med tätt fördelade diskreta energinivåer ( tillåtna zoner ) och regioner där det inte finns några tillstånd alls ( förbjudna zoner ). Låt oss uppskatta avståndet mellan energinivåerna i de tillåtna zonerna.

Istället för att överväga tillåtna energinivåer (vilket skulle kräva ytterligare information, såsom spridningsförhållandet och kristallens exakta struktur), låt oss överväga tillåtna värden för kvasi-momentet. När man betraktar en isolerad kristall, övervägs vanligtvis periodiska randvillkor för vågfunktionen. Detta antagande är motiverat, eftersom de exakta randvillkoren i en verklig kristall består i att elektronvågsfunktionen försvinner vid dess gräns. För en endimensionell kristall betyder detta att vågfunktionen är jämn (0 är i mitten av kristallen). Om gränsernas inflytande på vågfunktionen är liten, kan man ungefär glömma det exakta värdet av vågfunktionen vid gränsen, och bara behålla symmetriegenskapen - paritet.

Tänk på en endimensionell kristall av längd . Gränsvillkoret har formen $L$

\psi (0)=\psi (L)

Med tanke på Blochs teorem följer det

kL=2\pi n,\;n\in \mathbb{Z }

Således är avståndet mellan angränsande tillåtna värden av kvasi-momentet lika med

\Delta k={\frac {2\pi n}{L}}

På liknande sätt, i det allmänna fallet, för ett kubiskt gitter:

\Delta k_{{x,y,z}}={\frac {2\pi n}{L_{{x,y,z}}}}

Kronig-Penny-modellen

För att förenkla problemet approximeras potentialen med en rektangulär: med hjälp av Blochs teorem . De hittar vågfunktionen i hela rymden, men först studerar de lösningen under en period och gör den jämn i kanterna, det vill säga de "sy" värdena för närliggande funktioner och deras derivator. Tänk på en period av potentialen [1] :
Vi har två oberoende områden som vi kommer att hitta lösningar för:

0<x<ab:{-\hbar ^{2} \over 2m}\psi _{xx}=E\psi \Rightarrow \psi =Ae^{i\alpha x}+A'e^{ -i\alpha x}\quad \left(\alpha ^{2}={2mE \over \hbar ^{2}}\right)

-b<x<0:{-\hbar ^{2} \over 2m}\psi _{xx}=(E+V_{0})\psi \Rightarrow \psi =Be^{i\beta x}+B'e^{-i\beta x}\quad \left(\beta ^{2}={2m(E+V_{0}) \over \hbar ^{2}}\right)

För att hitta u ( x ) i varje område måste du göra följande transformationer:

\psi (0<x<ab)=Ae^{{i\alpha x}}+A'e^{{-i\alpha x}}=e^{{ikx}}\cdot \left(Ae^{ {i(\alpha -k)x}}+A'e^{{-i(\alpha +k)x}}\right)

\Rightarrow u(0<x<ab)=Ae^{{i(\alpha -k)x}}+A'e^{{-i(\alpha +k)x}}

På samma sätt får vi

u(-b<x<0)=Be^{{i(\beta -k)x}}+B'e^{{-i(\beta +k)x}}\;

För att hitta den kompletta lösningen måste vi se till att den önskade funktionen är smidig på gränserna:

\psi (0^{{-}})=\psi (0^{{+}})\quad \psi '(0^{{-}})=\psi '(0^{{+}})

och periodiciteter u ( x ) och u' ( x )

u(-b)=u(ab)\quad u'(-b)=u'(ab).

Dessa villkor ger följande matris:

{\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\alpha &-\alpha &-\beta &\beta \\e^{i(\alpha -k)(ab)}&e^{-i (\alpha +k)(ab)}&-e^{-i(\beta -k)b}&-e^{i(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{ i(\alpha -k)(ab)}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(ab)}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\A'\\B\\B'\end {pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\0\\0\end{pmatrix}}

För att en icke-trivial lösning ska existera måste determinanten för denna matris vara noll. Efter några förändringar får vi:

\cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (ab)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \över 2\alpha \beta}\sin(\beta b)\sin[\alpha (ab)].\qquad (*)

För ytterligare förenkling kommer vi att utföra följande transformationer, vars betydelse är övergången till deltaliknande potentialer ( Dirac comb ):

b\högerpil 0\ ;\ V_{0}\högerpil \infty \ ;\ V_{0}b={\mathrm {konstant))

\Högerpil \beta b\högerpil 0\ ;\ \beta ^{2}b={\mathrm {konstant))\ ;\ \alpha ^{2}b\högerpil 0\ ;\ \sin(\beta b)\ högerpil \beta b\ ;\ \cos(\beta b)\högerpil 1

Då blir det slutgiltiga svaret:

\cos(ka)=\cos(\alpha a)-P{\sin(\alpha a) \over \alpha a}\qquad \left(P={\beta ^{2}ab \over 2}\right )

Programkod

Kod för Maple

Följande kod är skriven i Maple (9.5). Det är bara en grafisk lösning . $(*)$

omstart; med(plott): med(stats[statplots]): ekv:=cos(k*a)=cos(beta*b)*cos(alfa*(ab)) - (alfa^2+beta^2)/(2*alfa*beta)*sin(beta*b) *sin(alfa*(ab)); alpha:=sqrt(8*Pi^2*m*(E)*e/h^2): beta:=sqrt(8*Pi^2*m*(E+V)*e/h^2): e:=1,6*1e-19: a:=0,54310*1e-9: m:=0,19*9,1*1e-31: b:=1/5*a: h:=6,6*1e-34: k(E,V):=arccos(rhs(evalf(eq)))/a; #Schema p:=plot({subs(V=10,k(E,V)),subs(V=10,-k(E,V))},E=-5..50,etiketter=[ka, E ],färg=blå): xyexchange(p); #Animation, beroende på gropens djup p:=animate( plot, [{k(E,V),-k(E,V)},E=-10..50, color=blå,etiketter=[ka, E]], V=0. .trettio ): xyexchange(p);

Figurerna visar grafiska lösningar av ekvationen ( * ).

Den högra figuren visar hur, vid ett visst värde av potentiell energi, bildandet av en endimensionell gapfri halvledare är möjlig .

Kod för Scilab

Koden nedan är faktiskt en översättning av det tidigare programmet till Scilab , förutom att den också illustrerar fallet med att gå till Dirac-kammen.

rensa allt global Pi e a m b h Pi = 3,1415926 ; steg = 0,1 ; e = 1,6 * le-19 ; a = 0,54310 * le-9 ; m = 0,19 * 9,1 * le-31 ; b = 1/5 * a ; _ _ h = 6,6 * le-34 ; funktion [alfa, beta] = ab ( V, E ) alfa = sqrt ( 8 * Pi ^ 2 * m * ( E ) * e / h ^ 2 ); beta = sqrt ( 8 * Pi ^ 2 * m * ( E + V ) * e / h ^ 2 ); slutfunktion funktion r=kronigpenney(V, E) [ alfa , beta ] = ab ( V , E ); r = 1 / a * acos (( cos ( beta * b ) .* cos ( alfa * ( a - b )) ) - ( alfa .^ 2 + beta .^ 2 ) ./ ( 2 * alfa .* beta ) .* sin ( beta * b ) .* sin ( alfa * ( a - b ))); slutfunktion funktion r=dirac(V,E) [ alfa , beta ] = ab ( V , E ); r = 1 / a * acos ( cos ( alfa * a ) - ( beta .^ 2 * b * a ) ./ 2 .* sin ( alfa * a ) ./ ( alfa * a )); slutfunktion E = [ le-3 : steg : 50 ]; k = kronigpenney ( 10 , E ); plot ( k , E , 'b' ); plot ( -k , E , ' b' ); k = dirac ( 10 , E ); plot ( k , E , 'r' ); plot ( -k , E , ' r' );

Kod för Matlab

Koden nedan är en Matlab - översättning av det tidigare programmet .

funktion KronigPenneyM % Rensa alla % global Pi eambh Pi = 3,1415926 ; steg = 0,1 ; e = 1,6 * le-19 ; a = 0,54310 * le-9 ; m = 0,19 * 9,1 * le-31 ; b = 1/5 * a ; _ _ h = 6,6 * le-34 ; E = [ 0 : steg : 50 ]; N = 3 ; håll ut ; k = kronigpenney ( N , E ); plot ([ verklig ( k ) NaN , - verklig ( k )], [ E NaN E ], 'b' ); k = dirac ( N , E ); plot ([ verklig ( k ) NaN , - verklig ( k )], [ E NaN E ], 'r' ); funktion [alfa, beta] = ab ( V, E ) alfa = sqrt ( 8 * Pi ^ 2 * m * ( E ) * e / h ^ 2 ); beta = sqrt ( 8 * Pi ^ 2 * m * ( E + V ) * e / h ^ 2 ); slutet funktion r = kronigpenney ( V, E ) [ alfa , beta ] = ab ( V , E ); r = 1 / a * acos (( cos ( beta * b ) .* cos ( alfa * ( a - b )) ) - ( alfa .^ 2 + beta .^ 2 ) / ( 2 * alfa .* beta ) . * sin ( beta * b ) .* sin ( alfa * ( a - b ))); slutet funktion r = dirac ( V,E ) [ alfa , beta ] = ab ( V , E ); r = 1 / a * acos ( cos ( alfa * a ) - ( beta .^ 2 * b * a ) / 2 .* sin ( alfa * a ) / ( alfa * a )); slutet slutet

Länkar

Problem inom kvantmekaniken. Del 1. Galitsky, Karnakov, Kogan.
1-D periodisk potentiell applet

Anteckningar

↑ R. de L. Kronig och W. G. Penney. Kvantmekanik för elektroner i kristallgitter // Proc. R. Soc. Lond. A. - 1931. - T. 130 . - S. 499-513 . - doi : 10.1098/rspa.1931.0019 .

Se även

Modeller av kvantmekanik
Endimensionell utan snurr	fri partikel Grop med ändlösa väggar Rektangulär kvantbrunn deltapotential Triangulär kvantbrunn Harmonisk oscillator Potentiell språngbräda Pöschl-Teller potential väl Modifierad Pöschl-Teller potentialbrunn Partikel i en periodisk potential Dirac potentialkam Partikel i ringen
Flerdimensionell utan snurr	cirkulär oscillator Vätemolekyljon Symmetrisk topp Sfäriskt symmetriska potentialer Woods-Saxon potential Keplers problem Yukawa potential Morsepotential Hulthen potential Kratzers molekylära potential Exponentiell potential
Inklusive spinn	väteatom Hydridjon heliumatom

Metoder för att beräkna den elektroniska strukturen
Teori om valensbindningar	Hybridisering av orbitaler Resonans teori Två-elektron tre-center bindning dubbelbindning trippelbindning
Teori om molekylära orbitaler	Metod för linjära kombinationer av atomära orbitaler Hartree-Fock metod Länkad klustermetod Quantum Monte Carlo-metoden
Zonteori	kp-metoden pseudopotentiell metod Approximation av starkt bundna elektroner Approximation av nästan fria elektroner Förstärkt planvågsmetod Greens funktionsmetod Densitet funktionell teori MT potential