Faktoriell

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 januari 2022; kontroller kräver 26 redigeringar .

Faktoriell är en funktion definierad på uppsättningen av icke-negativa heltal . Namnet kommer från lat. factorialis - agerar, producerar, multiplicerar; betecknas , uttalas en factorial . Faktorialen för ett naturligt tal definieras som produkten av alla naturliga tal från 1 till och med : $n!$ $n$ $n$

n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k

Till exempel,

5 ! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120

För tas som ett avtal att $n=0$

0!=1

. Faktorerna för alla tal utgör sekvensen A000142 i OEIS ; värden i vetenskaplig notation är avrundade

n	n !
0	ett
ett	ett
2	2
3	6
fyra	24
5	120
6	720
7	5040 _
åtta	40 320
9	362 880
tio	3 628 800
elva	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800 [1]
fjorton	87 178 291 200 [2]
femton	1 307 674 368 000 [ 3 ] _ _
16	20 922 789 888 000 [ 4 ] _ _
17	355 687 428 096 000 [5]
arton	6 402 373 705 728 000 [6]
19	121 645 100 408 832 000 [7]
tjugo	2 432 902 008 176 640 000 [8]
25	15 511 210 043 330 985 984 000 000 [9]
femtio	30 414 093 201 713 378 043 612 608 166 064 768 844 377 641 568 960 512 000 000 000 000 [10]
70	11 978 571 669 969 891 796 072 783 721 689 098 736 458 938 142 546 [11]
100	≈ 9,332621544⋅10 157
450	≈ 1,733368733⋅10 1000
1000	≈ 4,023872601⋅10 2567
3 249	≈ 6,412337688⋅10 10000
10 000 _	≈ 2,846259681⋅10 35659
25 206	≈ 1,205703438⋅10 100 000
100 000 _	≈ 2,824229408⋅10 456573
205 023	≈ 2,503898932⋅10 1000004
1 000 000 _ _	≈ 8,263931688⋅10 5565708
10 100	≈10 9,956570552⋅10 101
10 1000	≈10 10 1003
10 10 000	≈10 10 10 004
10 100 000	≈10 10 100 005
10 10 100	≈10 10 10 100

Faktorialen används aktivt i olika grenar av matematiken: kombinatorik , matematisk analys , talteori , funktionell analys , etc.

Factorial är en extremt snabbväxande funktion. Den växer snabbare än någon exponentialfunktion eller någon potensfunktion , och även snabbare än någon summa av produkterna av dessa funktioner. Exponentialfunktionen växer dock snabbare än faktorialen, liksom de flesta dubbla exponenter, som . ${\displaystyle n^{n))$ $e^{{e^{n}}}$

Egenskaper

Återkommande formel

Faktorialen kan ges med följande rekursiva formel :

n!= \begin{fall} 1 & n = 0,\\ n \cdot(n-1)! & n > 0. \end{cases}

Kombinatorisk tolkning

I kombinatorik tolkas faktorialet för ett naturligt tal n som antalet permutationer (ordningar) av en uppsättning av n element.

Till exempel, för en mängd { A , B , C , D } med 4 element, finns det 4! = 24 permutationer:

ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA

Den kombinatoriska tolkningen av faktorialen bekräftar avtalets ändamålsenlighet - antalet permutationer av den tomma uppsättningen är lika med en. Dessutom formeln för antalet placeringar av element med $0!=1$ $n$ $m$

A_{n}^{m}={\frac {n!}{(nm)!}}

när förvandlas till en formel för antalet permutationer av element (av ordning ), som är lika med . $n=m$ $n$ $n$ $n!$

Relation med gammafunktionen

Faktorialen är relaterad till gammafunktionen för ett heltalsargument genom relationen

n!=\Gamma (n+1)

Samma uttryck används för att generalisera begreppet faktoriell till mängden reella tal . Genom att använda den analytiska fortsättningen av gammafunktionen utökas även definitionsdomänen för faktorialet till hela det komplexa planet , exklusive singulära punkter vid . $n=-1,-2,-3\ldots$

En direkt generalisering av faktorialen till mängderna av reella och komplexa tal är pi-funktionen , som för kan definieras som $\Pi (z)=\Gamma (z+1)$ $\mathrm {Re} (z)>-1$

\Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{{z}}e^{{-t}}\,{\mathrm {d}}t

(integrerad definition).

Pi-funktionen för ett naturligt tal eller noll sammanfaller med dess faktorial: . Liksom faktorialen uppfyller pi-funktionen återfallsrelationen . $\Pi (n)=n!$ $\Pi (z)=z\Pi (z-1)$

Stirlings formel

Stirlingformeln är en asymptotisk formel för beräkning av faktorn:

n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{ \frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+{\frac {163879} {209018880n^{5}}}+{\frac {5246819}{75246796800n^{6}}}+O\left(n^{{-7}}\right)\right),

se O-stor [12] .

I många fall, för en ungefärlig beräkning av fakulteten, räcker det att endast överväga huvudtermen i Stirling-formeln:

n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.

Samtidigt kan man hävda att

\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^ne^{1/(12n+1)}< n! < \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^ne^{1/(12n)}.

Stirlings formel låter dig få ungefärliga värden på fakulteten av stora tal utan att direkt multiplicera en sekvens av naturliga tal. Till exempel, med hjälp av Stirling-formeln, är det lätt att beräkna det

100! ≈ 9,33x10157 ;
1000! ≈ 4,02 x 10 2567 ;
10 000! ≈ 2,85×10 35 659 .

Primfaktorisering

Varje primtal p kommer in i expansionen av n ! med primtal till den potens som definieras av följande formel:

\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3} \höger\rgolv + \ldots.

På det här sättet,

n! = \prod_{p} p^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor + \lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor +\ldots},

där produkten tas över alla primtal. Det kan ses att för varje primtal p större än n är motsvarande faktor i produkten 1; därför kan produkten endast tas över primtal p som inte överstiger n .

Anslutning med derivatan av en potensfunktion

För ett icke-negativt heltal n :

\left(x^{n}\right)^{{(n)}}=n!

Till exempel:

\left( x^5 \right)^{(5)} = \left( 5 \cdot x^4 \right)^{(4)} = \left( 5 \cdot 4 \cdot x^3 \right) ''' = \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot x^2 \right)'' = \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot x \right)' = {5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5!

Andra egenskaper

För ett naturligt tal :

n

n!^{2}\geqslant n^{n}\geqslant n!\geqslant n

För vem som helst :

n>1

n!

är inte en kvadrat av ett heltal; För vem som helst :

n>4

n!

slutar på 0; För vem som helst :

n>9

n!

slutar med 00. Om ett primtal:

n

(n-1)!+1

är delbar med ( Wilsons sats )

n

Historik

Faktoriella uttryck dök upp i tidig forskning om kombinatorik , även om den franske matematikern Christian Kramp föreslog en kompakt notation först 1808 [13] . En viktig milstolpe var upptäckten av Stirlings formel , som James Stirling publicerade i sin avhandling The Differential Method ( lat. Methodus differentialis , 1730). Lite tidigare publicerades nästan samma formel av Stirlings vän Abraham de Moivre , men i en mindre komplett form (istället för en koefficient fanns en obestämd konstant) [14] . $n!$ ${\sqrt {2\pi ))$

Stirling studerade egenskaperna hos faktorial i detalj, fram till att klargöra frågan om det är möjligt att utvidga detta koncept till godtyckliga reella tal. Han beskrev flera möjliga sätt att implementera denna idé och menade att:

\left({1 \over 2}\right)!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}

Stirling visste inte att Leonhard Euler redan hade hittat en lösning på problemet ett år tidigare . I ett brev till Christian Goldbach beskrev Euler den nödvändiga generaliseringen [15] :

x!=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{x}m!}{(x+1)(x+2)\dots (x+m)))

Genom att utveckla denna idé introducerade Euler nästa år, 1730, konceptet med gammafunktionen i form av en klassisk integral. Han publicerade dessa resultat i tidskriften för St. Petersburgs vetenskapsakademi 1729-1730.

Generaliseringar

Dubbelfaktoriell

Dubbelfaktorialen för ett tal n betecknas n ‼ och definieras som produkten av alla naturliga tal i segmentet [1, n ] som har samma paritet som n .

För jämnt n :

n!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n = \prod_{i=1}^{\frac{n}{2)) 2i = 2^{{\color{vit}1}^{\ !\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!

För udda n :

n!!={1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot n}=\prod _{{i=0}}^{{{\frac {n-1}{2}}}}(2i +1)={\frac {n!}{2^{{{\color {vit}1}^{{\!\!\!\!{\frac {n-1}{2))))} }\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\höger)!}}

Förhållandet mellan de dubbla faktorerna för två intilliggande icke-negativa heltal och den vanliga faktorialen för ett av dem.

n!!={\frac {n!}{(n-1)!!}}

Härledning av formler

Formel för jämnt n :

n!! = 2^{{\color{vit}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!

Härledning av formeln: $\begin{align}n!! & = {\color{Grå}\underbrace{\color{Svart}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n}_{\color{Svart}\tfrac{n}{2}}} = { \color{Grå}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Svart}\tfrac{n}{2}}} \; \cdot\; \frac{\; 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n \;}{\color{Grå}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color {Svart}\tfrac{n}{2}}} = \\ & = {2^{{\color{vit}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \frac{n}{2} \right )} = 2^{{\color{vit} 1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )! \end{align}$

Ett exempel som illustrerar härledningen av formeln som används ovan:

\begin{align} 14!! & = 2^{\frac{14}{2}} \cdot \left ( \frac{14}{2} \right )! = 2^7 \cdot 7! = \\ & = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7) = \\ & = (2 \cdot 1) (2 \cdot 2) (2 \cdot 3) (2 \cdot 4) (2 \cdot 5) (2 \cdot 6) (2 \cdot 7) = \\ & = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 14 = 645120 \end{align}

Formel för udda n :

n!! = \frac{n!}{2^{{\color{vit}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}

Härledning av formeln: $\begin{align}n!! & = {\color{Grå}\underbrace{{\color{Svart}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot n}}_{\color{Svart}\frac{n+1}{2} )) = \frac{{\color{Grå}\overbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}^{\color{Svart}\frac{n -1}{2))} \cdot {\color{Grå}\overbrace{\color{Svart}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot n}^ {\color{Svart}\frac{n+1}{2}}}} {\color{Grå}\underbrace{{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n- 1)))_{\color{Svart}\frac{n-1}{2}}} = \\ & = \frac{\color{Grå}\overbrace{\color{Svart}1 \cdot {\color {OliveGreen}2} \cdot 3 \cdot {\color{OliveGreen}4} \cdot 5 \cdot {\color{OliveGreen}6} \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot {\color {OliveGreen}(n-1)} \cdot n}^{\color{Svart}n}} {\color{Grå}\underbrace{{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \ cdot (n-1)}}_{\color{Svart}\frac{n-1}{2}}} = \frac{n!}{\color{Grå}\underbrace{{\color{Svart}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}}_{\color{Svart}\frac{n-1}{2}}} = \frac{n!}{(n-1 )!!} \end{align}$ Således är det möjligt att visa sambandet mellan de dubbla faktorerna för två intilliggande icke-negativa heltal genom den vanliga faktorialen för en av dem. Därefter fortsätter vi att härleda formeln för dubbelfaktorialet av udda n . Låt oss gå tillbaka ett steg (före det explicita utseendet på ( n -1)!! ) och utföra några identiska algebraiska transformationer på nämnaren: $\begin{align}& {\color{Grå}\underbrace{{\color{Svart}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)))_{\color{Svart}\frac {n-1}{2))} = {\color{Grå}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Svart}\tfrac{ n-1}{2}}} \; \cdot\; \frac{\; 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1) \;}{\color{Grå}\underbrace{\color{Olivgrön}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2} _{\color{Svart}\tfrac{n-1}{2}}} = \\ & = {2^({\color{vit}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2))} \cdot \left ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \frac{n-1}{2} \right )} = 2^{{\ färg{vit}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )! \end{align}$ Vi ersätter det resulterande uttrycket för nämnaren tillbaka i formeln för : $n!!$ $n!! = \frac{n!}{2^{{\color{vit}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}$

Ett exempel som illustrerar härledningen av formeln som används ovan:

{\begin{aligned}15!!&={\frac {15!}{2^{({\color {vit}1}^{{\!\!\!\!{\frac {15-1} {2))))))\cdot \left({\frac {15-1}{2}}\right)!}}={\frac {15!}{2^{({\color {vit} 1}^{{\!\!\!7))))\cdot 7!))=\\&={\color {vit}\overbrace {\color {Svart}{\frac {1\cdot 2\ cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15}{(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7)))))=\\&={\färg {vit}\ overbrace {\color {Svart}{\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15}{(2\cdot 1)(2\cdot 2)(2\cdot 3)(2\cdot 4)(2\cdot 5)(2\cdot 6)(2\cdot 7)}} }}=\\&={\color {vit}\overbrace {\color {Svart}{\frac {1\cdot {\color {OliveGreen}2}\cdot 3\cdot {\color {OliveGreen}4}\ cdot 5\cdot {\color {OliveGreen}6}\cdot 7\cdot {\color {OliveGreen}8}\cdot 9\cdot {\color {OliveGreen}10}\cdot 11\cdot {\color {OliveGreen}12 }\cdot 13\cdot {\color {OliveGreen}14}\cdot 15}{\color {Ol iveGreen}2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10\cdot 12\cdot 14))))=\\&={\color {white}\overbrace {\color {Black}1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}=2027025\end{aligned}}

Efter att ha gjort ersättningen för jämnt n respektive udda n , där är ett icke-negativt heltal, får vi: $n=2k$ $n=2k+1$ $k$

för ett jämnt tal:

(2k)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2k=\prod _{{i=1}}^{{k}}2i=2^{k}\cdot k!

för ett udda tal:

(2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2k+1)=\prod _{{i=0}}^{{k}}(2i+1)={ \frac {(2k+1)!}{2^{k}\cdot k!}}

Efter överenskommelse : Även denna jämlikhet gäller naturligtvis: $0!! = 1$

0!! = 2^0 \cdot 0! = 1 \cdot 1 = 1

Den dubbla faktorialen, liksom den vanliga faktorialen, definieras endast för icke-negativa heltal.

Sekvensen av värden n !! börjar så här [16] :

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, 46080, 135135, 645120, 2027025, 10321920, 34459425, 185794560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 753.

Multipel faktoriell

Den m -faldiga faktorntal n betecknasoch definieras enligt följande. Låt talet n representeras somdärDå [17] $\textstyle n\underbrace{!!\ldots !}_m$ $n=mk-r,$ $k\in {\mathbb {Z}),$ $r \i \{0,1,\ldots ,m-1\}.$

n\underbrace{!!\ldots !}_m = \prod_{i=1}^k (mi-r)

De ordinarie och dubbla faktorerna är specialfall av m -faldig faktorial för m = 1 respektive m = 2 .

Multipelfaktorialen är relaterad till gammafunktionen genom följande förhållande [18] :

n\underbrace {!!\ldots !}_{m}=\prod _{{i=1}}^{{k}}(mi-r)=m^{k}\cdot {\frac {\Gamma \left(k-{\frac {r}{m}}+1\höger)}{\Gamma \left(1-{\frac {r}{m}}\höger))).

Det är också möjligt att skriva multipla faktorial i en förkortad form . $\textstyle n\underbrace{!!\ldots !}_m$ ${\displaystyle n!_{(m)))$

Ofullständig faktoriell

Minskande faktoriell

Den minskande faktorn är uttrycket

(n)_k = n^{\underlinje{k)) = n^{[k]}= n\cdot (n-1)\cdot \ldots\cdot (n-k+1) = \frac{n! }{(nk)!} = \prod_{i=n-k+1}^ni

Till exempel:

n = 7; k = 4 ( n − k ) + 1 = 4, nk = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Den minskande faktorn ger antalet placeringar från n till k .

Ökar faktoriell

En ökande faktorial är ett uttryck

n^{(k)} = n^{\överlinje{k)) = n\cdot (n+1)\cdot \ldots\cdot (n+k-1) = \frac{(n+k-1) !}{(n-1)!}=\prod_{i=n}^{(n+k)-1} i.

Primorial eller primorial

Primorial eller primorial ( eng. primorial ) av ett tal n betecknas med p n # och definieras som produkten av de första n primtalen. Till exempel,

p_{5}\#=2\ gånger 3\ gånger 5\ gånger 7\ gånger 11=2310

Ibland är ett primtal ett tal definierat som produkten av alla primtal som inte överstiger ett givet n . $n\#$

Sekvensen av primorials (inklusive ) börjar så här [19] : ${\textstyle{1\# \equiv 1}}$

1 , 2 , 6 , 30 , 210 , 2310 , 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 400, 32 589 158 477 190 046 000, 1 922 760 350 154 202 000, …

Fibonorial eller fibonaccial

Produkten av de första Fibonacci-talen. Skrivet n ! F. _

Till exempel: 6! F = . $1\ gånger 1\ gånger 2\ gånger 3\ gånger 5\ gånger 8=240$

Superfactorials

Neil Sloane och Simon Plouffet definierade 1995 superfaktorialet som produkten av de första n faktorialerna . Enligt denna definition är överfaktorn av fyra lika med

\operatorname {sf} (4)=1!\ gånger 2!\ gånger 3!\ gånger 4!=288

(eftersom det inte finns någon etablerad beteckning används en funktionell sådan).

Allt som allt

\operatörsnamn{sf}(n) =\prod_{k=1}^nk! =\prod_{k=1}^nk^{n-k+1} =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n ^1.

Sekvensen av superfaktoriella tal börjar så här [20] : $n \geqslant 0$

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 737 000 000 000 000 000 000, 2655, 2651 , 265 790 267 296 391 960,000,000,000,000,000,000

Idén generaliserades 2000 av Henry Bottomley , vilket ledde till hyperfaktoriella faktorer ( eng. Hyperfaktoriella ), som är produkten av de första n superfaktorerna. Sekvensen av hyperfaktoriella tal börjar så här [21] : $n \geqslant 0$

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 800 000 000 000, 3 769 447 945 987 085 600 000 000 000 000 000 000 000 000, 6 916 686 207 999 801 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000, …

Fortsätter man återkommande kan man definiera multipelnivåfaktorialen , eller m -nivåfaktorialen för n , som produkten av ( m − 1)-nivåfaktorialerna av talen 1 till n , dvs.

\operatörsnamn {mf}(n,m)=\operatörsnamn {mf}(n-1,m)\operatörsnamn {mf}(n,m-1)=\prod _{{k=1}}^{n} k^{{n-k+m-1 \välj nk}},

var för och $\operatörsnamn{mf}(n,0)=n$ $n>0$ $\operatörsnamn{mf}(0,m)=1.$

Subfaktoriell

Subfaktoriellt ! n definieras som antalet permutationer av ordningen n , det vill säga permutationer av en n - elementuppsättning utan fixpunkter .

Se även

Factorion

Anteckningar

↑ Sex miljarder tvåhundratjugosju miljoner tjugo tusen åttahundra
↑ Åttiosju miljarder hundra sjuttioåtta miljoner två hundra nittiotusen tvåhundra
↑ En biljon trehundrasju miljarder sexhundrasjuttiofyra miljoner trehundrasextioåtta tusen
↑ Tjugo biljoner nio hundra tjugotvå miljarder sju hundra åttionio miljoner åtta hundra åttioåtta tusen
↑ Trehundrafemtiofem biljoner sex hundra åttiosju miljarder fyra hundra tjugoåtta miljoner nittiosex tusen
↑ Sex kvadrillioner fyra hundra två biljoner tre hundra sjuttiotre miljarder sju hundra fem miljoner sju hundra tjugoåtta tusen
↑ Etthundratjugoen kvadriljon sex hundra fyrtiofem biljoner etthundra miljarder fyra hundra åtta miljoner åtta hundra trettiotvå tusen
↑ Två kvintiljoner fyra hundra trettiotvå kvadriljoner nio hundra två biljoner åtta miljarder etthundrasjuttiosex miljoner sex hundra fyrtio tusen
↑ Femton septiljoner femhundra elva sextiljoner tvåhundratio tio kvintiljoner fyrtiotre kvadriljoner tre hundra trettio biljoner nio hundra åttiofem miljarder nio hundra åttiofyra miljoner
↑ Тридцать вигинтиллионов четыреста четырнадцать новемдециллионов девяносто три октодециллиона двести один септдециллион семьсот тринадцать седециллионов триста семьдесят восемь квиндециллионов сорок три кваттуордециллиона шестьсот двенадцать тредециллионов шестьсот восемь додециллионов сто шестьдесят шесть ундециллионов шестьдесят четыре дециллиона семьсот шестьдесят восемь нониллионов восемьсот сорок четыре октиллиона триста семьдесят семь септиллионов шестьсот сорок один sextillion fem hundra sextioåtta kvintiljoner nio hundra sextio kvadrillioner fem hundra tolv biljoner
↑ Одиннадцать дуотригинтиллионов девятьсот семьдесят восемь антригинтиллионов пятьсот семьдесят один тригинтиллион шестьсот шестьдесят девять новемвигинтиллионов девятьсот шестьдесят девять октовигинтиллионов восемьсот девяносто один септемвигинтиллион семьсот девяносто шесть сексвигинтиллионов семьдесят два квинвигинтиллиона семьсот восемьдесят три кватторвигинтиллиона семьсот двадцать один тревигинтиллион шестьсот восемьдесят девять дуовигинтиллионов девяносто восемь анвигинтиллионов семьсот тридцать шесть вигинтиллионов четыреста femtioåtta novemdecillion nio hundra trettioåtta oktodecillioner etthundrafyrtiotvå septdecillion femhundrafyrtiosex cedecillion fyra hundra tjugofem quindecillion åttahundrafemtiosju quattuordecillion femhundra och femtiofem trehundra och femtiofem -två dodeciljoner åttahundrasextiofyra undeciljoner sexhundratjugoåtta decillioner nio nonmiljoner femhundraåttiotvå oktillioner sjuhundraåttionio septi miljon åttahundrafyrtiofem sextiljoner trehundranitton kvintiljoner sexhundraåttiokvadrillioner
↑ Koefficienterna för denna expansion ger A001163 (täljare) och A001164 (nämnare)
↑ Crump, Christian . Hämtad 19 september 2016. Arkiverad från originalet 19 september 2016. (obestämd)
↑ Pearson, Karl (1924), Historisk anteckning om ursprunget för den normala felkurvan , Biometrika vol 16: 402–404 [s. 403] , DOI 10.2307/2331714 : “Stirling visade bara att den aritmetiska konstanten i De Moivres formel är . Jag tror att detta inte gör honom till teoremets författare." ${\sqrt {2\pi ))$
↑ Donald Knuth . Konsten att programmera, volym I. Grundläggande algoritmer. - M .: Mir , 1976. - S. 79-81. — 736 sid.
↑ OEIS - sekvens A006882 _
↑ "Encyclopedia for Children" Avanta +. Matte.
↑ wolframalpha.com Arkiverad 1 november 2013 på Wayback Machine .
↑ Sekvens A002110 i OEIS
↑ OEIS - sekvens A000178 _
↑ OEIS - sekvens A055462 _

Matematiska tecken

Plus ( + )
Minus ( - )
Multiplikationstecken ( · eller × )
Divisionsskylt ( : eller / )
Obelus ( ÷ )
Rottecken ( √ )
Faktoriell ( ! )
Heltecken ( ∫ )
Nabla ( ∇ )
Likhetstecken ( = , ≈ , ≡ etc. )
Ojämlikhetstecken ( ≠ , > , < etc. )
Proportionalitet ( ∝ )
Hakparenteser ( ( ) , [ ] , ⌈ ⌉ , ⌊ ⌋ , { } , ⟨ ⟩ )
Vertikal streck ( | )
snedstreck, snedstreck ( / )
Omvänt snedstreck, omvänt snedstreck ( \ )
Oändlighetstecken ( ∞ )
Gradtecken ( ° )
Stroke ( ′ , ″ , ‴ , ⁗ )
Asterisk ( * )
Procent ( % )
Ppm ( ‰ )
Tilde ( ~ )
Karet ( ^ )
Circumflex ( ˆ )
Plus-minus ( ± )
Minustecken ( ∓ )
Decimalavgränsare ( , eller . )
Slut på bevistecken ( ∎ )