Axiell vektor

Axialvektor , eller pseudovektor , är en storhet vars komponenter transformeras som komponenter i en vanlig (sann) vektor när koordinatsystemet roteras , men ändrar sitt tecken motsatt hur vektorkomponenterna beter sig med någon inversion (teckenvändning) av koordinater som ändrar basens orientering (i tredimensionellt utrymme från höger till vänster eller vice versa; en sådan transformation kan till exempel vara en spegelbild, i det enklaste fallet en spegelbild av en koordinataxel). [1] Det vill säga, pseudovektorn vänder riktningen samtidigt som den bibehåller det absoluta värdet (multiplicerat med "-1") för varje sådan inversion av koordinatsystemet.

Den grafiskt avbildade pseudovektorn med en sådan förändring i koordinater ändrar riktning till motsatt.

För att understryka skillnaden mellan en reell vektor, vars koordinater alltid transformeras på samma sätt som koordinaterna för en förskjutningsvektor, kallas en reell vektor en sann, eller polär, vektor .

Det enklaste exemplet på en axiell vektor i tredimensionellt rymden är korsprodukten av två polära vektorer, till exempel i mekanik  - impulsmoment och kraftmoment , i fyrdimensionellt rymd  - axiell ström .

Inom ramen för extern algebra representeras en pseudovektor av en (n-1)-vektor i ett n-dimensionellt utrymme. En geometriskt enkel (n-1)-vektor är ett orienterat delrum vinkelrätt mot någon axel. Sålunda, i tredimensionellt rymd, är en pseudovektor en bivector , som i sin tur kan representeras som ett orienterat plan.

Grundläggande information

Vid transformering av koordinater multipliceras koordinaterna för den axiella vektorn med ytterligare en faktor (-1) jämfört med koordinattransformationen för sanna (annars kallade polära) vektorer, om basen ändrar orientering (till exempel om basen utsätts för spegel reflexion). Således är den axiella vektorn, liksom pseudoskalären , ett specialfall av pseudotensoren . Den grafiskt avbildade pseudovektorn med en sådan förändring i koordinater ändrar riktning till motsatt.

• Inom geometri kan den vanligaste användningen av en pseudovektor vara att representera en tredimensionell infinitesimal rotation med dess hjälp . Förmodligen (?), kommer termen axialvektor just härifrån, eftersom pseudovektorn bestämmer rotationsaxeln (dess riktning), men bara upp till en faktor (±1), med rotationsriktningen är associerad med ett villkorligt godtyckligt val av rätt grund ur matematiksynpunkt. [2] I motsats till den sanna (polära) vektorn, som representerar ett riktat segment (eller parallell translation ) helt definitivt och otvetydigt givet av start- och slutpunkterna.
• Inom mekaniken - i kinematik - i direkt anslutning till den ovan nämnda representationen av en oändlig rotation - är den vanligaste pseudovektorstorheten vinkelhastighetsvektorn . Den sanna hastighetsvektorn erhålls från vinkelhastighetspseudovektorn genom en pseudovektoroperation . Inom statik och dynamik är dessa först och främst det ovan nämnda kraftmomentet och impulsmomentet.

Det vanliga sättet att generera pseudo-vektorer är pseudovektoroperationer, den vanligaste, om inte den enda som används i det tredimensionella fallet, är vektorprodukten (eftersom den inkluderar Levi-Civita-pseudotensorn i den vanliga koordinatnotationen ) och operationer som innehåller vektorprodukten (till exempel rotor , etc.) n.) [3] eller ett udda antal av dem. Pseudovektoroperationen genererar pseudovektorer och pseudoskalärer från sanna vektorer och skalärer.

Så när man multiplicerar en sann vektor med en sann vektor, erhålls en sann skalär i skalärprodukten och en pseudovektor i vektorprodukten. När en sann vektor multipliceras med en pseudovektor erhålls en pseudoskalär i skalärprodukten och en sann vektor i vektorprodukten. När två pseudovektorer multipliceras erhålls en sann skalär i skalärprodukten respektive en pseudovektor i vektorprodukten.

I fysikaliska teorier, med undantag för de där det finns en explicit och i princip observerbar kränkning av rymdens spegelsymmetri, kan pseudovektorer vara närvarande i mellanvärden, men i ändliga, observerbara, faktorerna (-1) i fallet med spegelreflexioner av koordinater måste förstöras, förekommer i produkter av jämnt antal gånger (ett jämnt antal pseudovektor + pseudoskalär + andra pseudotensorfaktorer).

• Till exempel, i klassisk elektrodynamik är magnetfältsinduktionen  en pseudovektor, eftersom den genereras av en pseudovektoroperation, till exempel i Biot-Savart-lagen , men detta värde i sig (pseudovektor) definieras i princip upp till en betingad faktor , som kan väljas +1 eller −1. Emellertid innehåller det faktiska observerade värdet - accelerationen av en laddning under påverkan av ett magnetfält - i sin beräkning ytterligare en pseudovektoroperation i uttrycket för Lorentz-kraften , vilket ger ytterligare en betingad faktor ±1, lika med den första. , medan godtyckligheten försvinner i svaret, eftersom produkten ±1 (±1) bara ger 1.

Se även

• Symmetri
• Skalär

Anteckningar

1. ↑ Vi talar om transformationen av basvektorer med en transformationsmatris som har en negativ determinant. Detta är en viktig punkt för att förstå sakens kärna, eftersom till exempel när tecknet för alla koordinater ändras, är transformationen ekvivalent med en rotation (med 180 °) och inte ändrar orienteringen av basen, respektive , och pseudovektorn med en sådan koordinattransformation kommer att transformeras på samma sätt som en sann vektor, den kommer inte att ändra tecken jämfört med med honom.
2. ↑ Det betyder att ur matematikens synvinkel är den högra grunden omöjlig att skilja från den vänstra (medan man ur fysikens synvinkel kan hitta skillnader i den verkliga fysiska världen - men ur en matematisk synvinkel är detta den verkliga fysiska världen pekas inte ut i förhållande till den hypotetiska antivärlden med en spegelreflektion, så att om en ersattes av en annan, skulle vi helt enkelt inte märka någonting. Detsamma gäller för att koppla den rätta grunden till biologisk asymmetri (hjärtat) är till vänster i de flesta människor, de flesta är högerhänta, etc. Den matematiska synvinkeln kommer alltså ner på det faktum att vi pekar ut någon grund initialt, så att säga, godtyckligt, kallar den villkorligt höger, och sedan alla andra baser kan klassificeras i höger och vänster med avseende på det.
3. ↑ I vissa fall kan vissa av definitionerna av sådana operationer implicit innehålla vektorproduktoperationen, men dess formella närvaro är vanligtvis lätt att upptäcka när den omformuleras. Och, naturligtvis, är det möjligt att visa dess pseudo-vektor natur direkt, utan att involvera konceptet med en vektorprodukt.