Euklids axiom för parallellism

Euklids axiom av parallellism , eller det femte postulatet , är ett av de axiom som ligger till grund för klassisk planimetri . Första gången i " Principles " av Euclid [1] :

Och om en linje som faller på två linjer bildar inre och på ena sidan vinklar mindre än två linjer , då kommer dessa linjer förlängda på obestämd tid att mötas på den sida där vinklarna är mindre än två linjer.

Originaltext  (gammalgrekiska)[ visaDölj] Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες. — ΣTOIXEIA EΥKΛEI∆OΥ

Euklid använder begreppen postulat och axiom utan att förklara deras skillnader; i olika manuskript av Euklids "Begynnelser" är uppdelningen av uttalanden i axiom och postulat olika, precis som deras ordning inte sammanfaller. I Geibergs klassiska upplaga av Principia är det angivna uttalandet det femte postulatet.

I modernt språk kan Euklides text omformuleras enligt följande [2] :

Om [på planet] vid skärningspunkten mellan två linjer i den tredje summan av de inre ensidiga vinklarna är mindre än 180 °, så skär dessa linjer med tillräcklig fortsättning, och dessutom på den sida från vilken denna summa är mindre än 180°.

Förtydligandet på vilken sida linjerna skär, tillade Euklid, troligen för tydlighetens skull - det är lätt att bevisa att det följer av själva det faktum att skärningspunkten existerar [2] .

Det femte postulatet skiljer sig extremt från de andra postulaten av Euklid, som är enklare och mer uppenbara (se Elements of Euclid ). Därför, under två årtusenden, slutade inte försöken att utesluta det från listan över axiom och härleda det som ett teorem . Alla dessa försök slutade i misslyckande. "Det är förmodligen omöjligt att hitta en mer spännande och dramatisk berättelse inom vetenskapen än historien om Euklids femte postulat" [3] . Trots det negativa resultatet var dessa sökningar inte förgäves, eftersom de i slutändan ledde till en revidering av vetenskapliga idéer om universums geometri [4] .

Motsvarande formuleringar av parallellpostulatet

I moderna källor ges vanligtvis en annan formulering av parallellpostulatet, motsvarande V-postulatet och tillhörande Proclus [5] (det kallas ibland Playfairs axiom ):

I ett plan , genom en punkt som inte ligger på en given linje , kan en och endast en linje dras parallellt med den givna linjen.

I denna formulering ersätts orden "en och endast en" ofta med "bara en" eller "inte mer än en", eftersom förekomsten av åtminstone en sådan parallell följer omedelbart av satserna 27 och 28 i Euklids element.

I allmänhet har det femte postulatet ett stort antal likvärdiga formuleringar, av vilka många i sig verkar ganska uppenbara. Här är några av dem [6] [7] [8] .

Deras likvärdighet innebär att alla av dem kan bevisas om vi accepterar V-postulatet, och vice versa, genom att ersätta V-postulatet med något av dessa påståenden, kan vi bevisa det ursprungliga V-postulatet som ett teorem.

Om vi ​​istället för V-postulatet antar att för ett par punkter - en rät linje, är V-postulatet felaktigt, då kommer det resulterande systemet av axiom att beskriva Lobachevskys geometri . Det är uppenbart att i Lobachevskys geometri är alla ovanstående motsvarande påståenden falska.

Det femte postulatet skiljer sig skarpt från andra, ganska uppenbart, det ser mer ut som ett komplext, icke-uppenbart teorem. Euklid var förmodligen medveten om detta, och därför bevisas de första 28 meningarna i Elementen utan hans hjälp.

"Euklid måste verkligen ha känt till de olika formerna av parallellpostulatet" [5] . Varför valde han reducerat, komplext och krångligt? Historiker har spekulerat om orsakerna till detta val. V.P. Smilga trodde att Euklid med en sådan formulering indikerade att denna del av teorin var ofullständig [10] . M. Kline uppmärksammar det faktum att Euklids femte postulat har en lokal karaktär, det vill säga det beskriver en händelse på ett begränsat område av planet, medan till exempel Procluss formulering hävdar faktumet av parallellism, vilket kräver övervägande av hela den oändliga linjen [11] . Det måste göras klart att forntida matematiker undvek att använda faktisk oändlighet ; till exempel hävdar inte Euklids andra postulat linjens oändlighet, utan bara att "linjen kan förlängas kontinuerligt". Ur forntida matematikers synvinkel kunde ovanstående motsvarigheter till parallellpostulatet verka oacceptabla: de hänvisar antingen till den faktiska oändligheten eller det (ännu inte introducerade) mätbegreppet, eller så är de inte heller särskilt uppenbara. En annan version lades fram av historikern Imre Toth [12] : den euklidiska formuleringen kan ha varit en (felaktigt bevisad) sats från en av Euklids föregångare, och när de var övertygade om att den inte kunde bevisas, var statusen för satsen höjdes till ett postulat, utan att ändra formuleringen.

Absolut geometri

Om V-postulatet utesluts från listan över axiom, kommer det resulterande systemet av axiom att beskriva den så kallade absoluta geometrin . Särskilt de första 28 satserna i Euklids "Principer" bevisas utan att använda V-postulatet och hänvisar därför till absolut geometri. För vad som följer, noterar vi två satser om absolut geometri:

Försök att bevisa

Matematiker har länge försökt att "förbättra Euklid" - antingen att utesluta det femte postulatet från antalet initiala påståenden, det vill säga att bevisa det, förlita sig på resten av postulaten och axiomen, eller att ersätta det med ett annat, som självklart som andra postulat. Hoppet om uppnåendet av detta resultat stöddes av det faktum att Euklids IV-postulat ( alla räta vinklar är lika ) verkligen visade sig vara överflödigt - det bevisades rigoröst som ett teorem och uteslöts från listan över axiom [6] .

Under loppet av två årtusenden föreslogs många bevis för det femte postulatet, men förr eller senare upptäcktes ett logiskt fel i var och en av dem ("en ond cirkel i bevis "): det visade sig att bland de explicita eller implicita premisserna fanns var ett påstående som inte kunde bevisas utan att använda samma femte postulat.

Proclus ( 5:e århundradet e.Kr.) rapporterar i sin "Commentary on Book I of Euclid's Elements" att Claudius Ptolemaios erbjöd ett sådant bevis , kritiserar hans bevis och erbjuder sina egna [13] . I något förenklad form kan det beskrivas så här: låt linjen passera genom en given punkt parallell med linjen ; vi kommer att bevisa att vilken annan linje som helst genom samma punkt skär linjen . Som nämnts ovan ökar avståndet mellan linjerna från skärningspunkten på obestämd tid (vi betonar än en gång att beviset för denna sats inte är baserat på V-postulatet). Men då, i slutändan, kommer avståndet mellan och att överstiga avståndet mellan de parallella linjerna, det vill säga linjerna och kommer att skära varandra.

Ovanstående bevis bygger på antagandet att avståndet mellan två parallella linjer är konstant (eller åtminstone begränsat). Därefter visade det sig att detta antagande är likvärdigt med det femte postulatet.

Posidonius (I århundradet f.Kr.) föreslog att definiera parallella som raka linjer, lika långt från varandra över hela sin längd. Från denna definition är det femte postulatet lätt att härleda. Definitionen av Posidonius är dock felaktig: det följer inte från någonstans att en linje på samma avstånd från en given linje är en linje [14] .

Efter den antika kulturens nedgång togs postulatet V upp av matematikerna i islams länder. Beviset för al-Jawhari , en elev av al-Khwarizmi ( IX århundradet ) [15] , implicit underförstått: om vid skärningspunkten mellan två linjer av någon tredjedel, de tvärliggande vinklarna är lika, så sker detsamma när samma två linjer skär alla andra. Och detta antagande är ekvivalent med det femte postulatet.

Thabit ibn Qurra ( 800-talet ) gav två bevis; i den första förlitar han sig på antagandet att om två linjer rör sig bort från varandra på ena sidan, måste de nödvändigtvis närma sig på den andra sidan. I den andra, liksom Posidonius, utgår han från förekomsten av ekvidistanta räta linjer, och Ibn Kurra försöker härleda detta faktum från begreppet "enkel rörelse", det vill säga enhetlig rörelse på ett fast avstånd från den räta linjen (det verkar uppenbart för honom att banan för en sådan rörelse också är en rät linje) [16] . Vart och ett av de två nämnda uttalandena av Ibn Qurra motsvarar det femte postulatet.

Ibn al-Haytham gjorde ett liknande misstag , men han övervägde först figuren, som senare blev känd som " Lambert-fyrhörningen " - en fyrhörning med tre inre vinklar som är rätta. Han formulerade tre möjliga alternativ för den fjärde vinkeln: spetsig, rak, trubbig. Diskussionen om dessa tre hypoteser, i olika versioner, har upprepade gånger uppkommit i senare studier.

Poeten och matematikern Omar Khayyam kritiserade försök att introducera mekanisk rörelse i geometrin. Han föreslog att ersätta V-postulatet med ett annat, enklare: två konvergerande linjer skär varandra, och det är omöjligt för två konvergerande linjer att divergera i konvergensriktningen. Var och en av de två delarna av detta uttalande motsvarar Euklids postulat [17] .

Al-Abhari erbjöd ett bevis liknande det från al-Jawhari . Al-Samarkandi citerar detta bevis i sin bok , och ett antal forskare ansåg att det var författaren till al-Samarkandi själv. Beviset utgår från påståendet, sant i absolut geometri, att för varje linje som skär sidorna av en given vinkel, kan ytterligare en linje konstrueras som skär sidorna av samma vinkel och är längre bort från dess spets än den första. Men från detta påstående drar författaren den logiskt ogrundade slutsatsen att genom vilken punkt som helst inom en given vinkel är det möjligt att dra en linje som skär båda sidorna av denna vinkel - och baserar på detta sista påstående, som är ekvivalent med V-postulatet, allt vidare bevis.

Nasir ad-Din at-Tusi föreslog en konstruktion liknande den av Omar Khayyam [18] . Observera att verken av at-Tusi blev kända för John Vallis , och därmed spelade en roll i utvecklingen av forskning om icke-euklidisk geometri i Europa.

Det första försöket i Europa som vi känner till att bevisa axiomet för Euklids parallellism föreslogs av Gersonides (alias Levi ben Gershom, XIV-talet ), som bodde i Provence (Frankrike ). Hans bevis baserades på påståendet om existensen av en rektangel [19] .

Bevisen från jesuitforskaren Christopher Clavius ​​​​går tillbaka till 1500-talet . Hans bevis, som ibn Qurra, baserades på påståendet att en linje på samma avstånd från en rät linje är också en rät linje [20] .

Wallis 1693 återger i ett av sina verk översättningen av al-Tusis verk och erbjuder en likvärdig men enklare formulering: det finns liknande men inte lika siffror [21] . Claude Clairaut tog i sin " Geometryprinciper " ( 1741 ), liksom Gersonides, istället för V-postulatet sin motsvarighet "det finns en rektangel".

Generellt kan man säga att alla ovanstående försök har medfört avsevärda fördelar: ett samband etablerades mellan V-postulatet och andra uttalanden, två alternativ till V-postulatet var tydligt formulerade - hypoteserna för spets och trubbig vinkel.

Första skisser av icke-euklidisk geometri

En djupgående studie av det femte postulatet, baserat på en helt original princip, genomfördes 1733 av en italiensk jesuitmunk, matematikläraren Girolamo Saccheri . Han publicerade ett verk med titeln " Euklid, renad från alla fläckar, eller ett geometriskt försök att fastställa de allra första principerna för all geometri ." Saccheris idé var att ersätta V-postulatet med det motsatta påståendet, att härleda så många konsekvenser som möjligt av det nya axiomsystemet, och därigenom konstruera en "falsk geometri", och att hitta motsägelser eller uppenbart oacceptabla bestämmelser i denna geometri. Då kommer giltigheten av V-postulatet att bevisas genom motsägelse [22] .

Saccheri betraktar alla samma tre hypoteser om den fjärde vinkeln på Lamberts fyrhörning. Han förkastade omedelbart den trubbiga vinkelhypotesen av formella skäl. Det är lätt att visa att i det här fallet i allmänhet skär alla linjer, och då kan vi dra slutsatsen att Euklids postulat V är sant – trots allt konstaterar han bara att under vissa förhållanden skär linjerna varandra. Härifrån dras slutsatsen att "den trubbiga vinkelhypotesen alltid är helt falsk, eftersom den förstör sig själv " [23] .

Därefter fortsätter Saccheri att motbevisa "hypotesen för spetsvinkeln", och här är hans studie mycket mer intressant. Han medger att det är sant, och en efter en bevisar han en hel rad följder. Utan att veta om det går han ganska långt i konstruktionen av Lobatsjovskijs geometri . Många av satserna som bevisats av Saccheri verkar intuitivt oacceptabla, men han fortsätter kedjan av satser. Slutligen bevisar Saccheri att i "falsk geometri" alla två linjer antingen skär eller har en gemensam vinkelrät, på vars båda sidor de rör sig bort från varandra, eller rör sig bort från varandra på ena sidan och närmar sig obegränsat på den andra. Vid denna tidpunkt gör Saccheri en oväntad slutsats: " hypotesen om en spetsig vinkel är helt falsk, eftersom den motsäger naturen hos en rät linje " [24] .

Tydligen kände Saccheri grundlösheten i detta "bevis", eftersom studien pågår. Han betraktar det ekvidistanta  - platsen för punkter i planet, på samma avstånd från den räta linjen; till skillnad från sina föregångare förstår Saccheri att det i det här fallet inte är en rak linje alls. Men när han beräknar längden på dess båge, gör Saccheri ett misstag och kommer till en verklig motsägelse, varefter han avslutar studien och förklarar med lättnad att han " rotat upp denna skadliga hypotes ". Tyvärr väckte inte Saccheris banbrytande arbete, publicerat postumt, uppmärksamhet från matematiker som det förtjänade, och först 150 år senare ( 1889 ) upptäckte hans landsman Beltrami detta bortglömda verk och uppskattade dess historiska betydelse.

Under andra hälften av 1700-talet publicerades mer än 50 arbeten om teorin om paralleller. I en genomgång av dessa år ( G. S. Klugel ) undersöks mer än 30 försök att bevisa det femte postulatet och deras felaktighet bevisas. Den berömda tyske matematikern och fysikern J. G. Lambert , som Klugel korresponderade med, blev också intresserad av problemet; hans "Theory of Parallel Lines" publicerades (som Saccheris verk, postumt) 1786 .

Lambert var den första som upptäckte att "trubbig vinkelgeometri" realiseras på en sfär , om vi med raka linjer menar storcirklar . Han, liksom Saccheri, härledde många konsekvenser från "hypotesen för spetsvinkeln", och han gick mycket längre än Saccheri; i synnerhet fann han att tillägget av summan av vinklarna i en triangel till 180° är proportionell mot arean av triangeln.

I sin bok noterade Lambert skarpsinnigt [25] :

Det förefaller mig mycket anmärkningsvärt att den andra hypotesen [om en trubbig vinkel] är motiverad om vi istället för platta trianglar tar sfäriska. Jag borde nästan behöva dra en slutsats av detta - slutsatsen att den tredje hypotesen gäller någon imaginär sfär . Det måste i alla fall finnas en anledning till att det långt ifrån är så lätt att vederlägga på planet som det skulle kunna göras med avseende på den andra hypotesen.

Lambert fann ingen motsägelse i spetsvinkelhypotesen och kom till slutsatsen att alla försök att bevisa V-postulatet var hopplösa. Han uttryckte inga tvivel om falskheten i "geometrin för en spetsig vinkel", men att döma av hans andra insiktsfulla anmärkning, tänkte Lambert på den möjliga fysiska verkligheten av icke-euklidisk geometri och på konsekvenserna av detta för vetenskapen [ 26] :

Det är något beundransvärt med detta som får en att önska att den tredje hypotesen skulle vara sann. Och ändå skulle jag vilja <...> att det inte var så, eftersom det skulle vara förenat med ett antal <...> olägenheter. Trigonometriska tabeller skulle bli oändligt omfångsrika, likhet och proportionalitet mellan figurer skulle inte existera alls <...>, astronomi hade varit dålig.

Lamberts anmärkningsvärda arbete, liksom Saccheris bok, var långt före sin tid och väckte inte de dåvarande matematikernas intresse. Samma öde drabbade " astralgeometrin " för de tyska matematikerna F.K.

Under tiden fortsatte försöken att "tvätta bort fläckarna" från Euclid (Louis Bertrand, Legendre , Semyon Guryev och andra). Legendre gav så många som tre bevis på det femte postulatet, vars felaktighet snabbt visades av hans samtida [27] . Han publicerade sitt sista "bevis" 1823, tre år före Lobatsjovskijs första rapport om den nya geometrin.

Upptäckt av icke-euklidisk geometri

Under första hälften av 1800-talet följde K. F. Gauss , J. Bolyai , N. I. Lobachevsky och F. K. Schweikart den väg som Saccheri lagt . Men deras mål var redan annorlunda - inte att avslöja icke-euklidisk geometri som omöjlig, utan tvärtom, att bygga en alternativ geometri och ta reda på dess möjliga roll i den verkliga världen. På den tiden var det en helt kättersk idé; ingen av forskarna tvivlade tidigare på att det fysiska rummet är euklidiskt. Det är intressant att Gauss och Lobatsjovskij i sin ungdom undervisades av samma lärare - Martin Bartels , som dock inte själv studerade icke-euklidisk geometri.

Den första var Schweikart. 1818 skickade han ett brev till Gauss med en seriös analys av den icke-euklidiska geometrins grunder, men avstod från att föra sina åsikter till offentlig diskussion. Gauss vågade inte heller publicera ett verk om detta ämne, men hans utkast till anteckningar och flera brev bekräftar tydligt en djup förståelse för icke-euklidisk geometri. Här är några karakteristiska utdrag ur Gauss bokstäver, där termen " icke-euklidisk geometri " förekommer för första gången inom vetenskapen [28] :

Antagandet att summan av en triangels tre vinklar är mindre än 180° leder till en egendomlig, helt olik vår [euklidiska] geometri; denna geometri är helt konsekvent, och jag har utvecklat den för mig själv ganska tillfredsställande; Jag har möjlighet att lösa alla problem i denna geometri, förutom bestämning av en viss konstant [29] , vars värde inte kan fastställas a priori.

Ju mer värde vi ger denna konstant, desto närmare kommer vi den euklidiska geometrin, och dess oändligt stora värde leder till att båda systemen sammanfaller. Förslagen i denna geometri förefaller delvis paradoxala och till och med absurda för en ovan person; men med strikt och lugn eftertanke visar det sig att de inte innehåller något omöjligt. Så till exempel kan alla tre vinklarna i en triangel göras godtyckligt små, om bara tillräckligt stora sidor tas; arean av en triangel kan inte överstiga, kan inte ens nå en viss gräns, hur stora dess sidor än kan vara. Alla mina ansträngningar att hitta en motsägelse eller inkonsekvens i denna icke-euklidiska geometri har varit fruktlösa, och det enda som motsätter oss vårt förnuft i detta system är att i rymden, om detta system var giltigt, skulle det behöva finnas något självbestämt (även om det är okänt för oss) är en linjär storhet. Men det förefaller mig som om vi, förutom metafysikernas verbala visdom som inte uttrycker något, väldigt lite eller till och med ingenting vet om rummets väsen. (Från ett brev till Taurinus , 1824 )

År 1818, i ett brev till den österrikiske astronomen Gerling, uttryckte Gauss sin oro [30] :

Jag gläds åt att du har modet att säga ifrån som om du erkänner falskheten i vår teori om paralleller, och samtidigt i all vår geometri. Men getingarna vars bo du stör kommer att flyga på ditt huvud.

Efter att ha bekantat sig med Lobatsjovskijs arbete "Geometriska undersökningar i teorin om paralleller", vädjar Gauss energiskt om valet av den ryska matematikern som en utländsk motsvarande medlem av Royal Society of Göttingen (vilket skedde 1842 ).

Lobatsjovskij och Bolyai visade mer mod än Gauss och nästan samtidigt (Lobatjovskij - i rapporten 1826 och publiceringen 1829 ; Bolyai - i brevet 1831 och publiceringen 1832 ), oberoende av varandra, publicerade en presentation av vad kallas nu geometri Lobatsjovskij . Lobatsjovskij kom längst i studiet av ny geometri, och den bär för närvarande hans namn. Men hans främsta förtjänst ligger inte i detta, utan i det faktum att han trodde på den nya geometrin och hade modet att försvara sin övertygelse (han föreslog till och med att experimentellt verifiera V-postulatet genom att mäta summan av vinklarna i en triangel) [31 ] .

I inledningen till sin bok New Principles of Geometry, säger Lobatsjovskij beslutsamt [32] :

Alla vet att inom geometrin har teorin om paralleller hittills förblivit ofullkomlig. Fåfänga ansträngningar sedan Euklids tid, under loppet av två tusen år, fick mig att misstänka att själva begreppen ännu inte innehåller den sanning som de ville bevisa och som, liksom andra fysiska lagar, bara kan verifieras genom experiment, som t.ex. som t.ex. astronomiska observationer.< …> Huvudslutsatsen <...> medger att geometri existerar i en vidare mening än vad den presenterades för oss av den första Eukliden. I denna utökade form gav jag vetenskapen namnet Imaginary Geometry, där Användbar Geometry kommer in som ett specialfall.

Det tragiska ödet för Lobatsjovskij, som var utfryst i den vetenskapliga världen och officiella miljön för alltför djärva tankar, visade att Gauss rädsla inte var förgäves. Men hans kamp var inte förgäves. Ironiskt nog säkerställdes (postumt) segern för Lobatsjovskijs djärva idéer av den försiktige Gauss. På 1860-talet publicerades Gauss korrespondens, inklusive flera strålande recensioner av Lobatsjovskijs geometri, och detta uppmärksammade den ryske matematikerns verk. År 1868 publicerades en artikel av E. Beltrami , som visade att Lobachevsky-planet har en konstant negativ krökning (det euklidiska planet har noll krökning, sfären har  positiv); mycket snabbt fick icke-euklidisk geometri en juridisk vetenskaplig status, även om den fortfarande betraktades som rent spekulativ [33] .

I slutet av 1800-talet-början av 1900-talet satte först matematiker ( Bernhard Riemann , William Kingdon Clifford ), och sedan fysiker ( Allmän relativitetsteori , Einstein ), slutligen stopp för dogmen om det fysiska rummets euklidiska geometri [4 ] .

Om beviset på oberoende

Det femte postulatets oberoende innebär att dess negation inte motsäger resten av geometrins axiom (förutsatt att Euklids geometri är konsekvent). Samtidigt betyder detta konsekvensen av Lobatsjovskijs geometri . Faktum är att följande sats är sann [34] .

Sats. Lobachevsky-geometrin är konsekvent om och endast om den euklidiska geometrin är konsekvent.

För att bevisa detta teorem i modern matematik används modeller av en geometri i en annan. I modellen för punkter, linjer och andra objekt i den första geometrin konstrueras objekt inom ramen för den andra geometrin så att de förstas axiom uppfylls för de konstruerade objekten. Således, om en motsägelse hittades i det första systemet av axiom, så skulle det finnas i det andra.

Det är svårt att ange exakt vem och när som bevisade detta teorem.

På sätt och vis kan vi anta att detta redan gjordes av Lobatsjovskij. Faktum är att Lobatsjovskij märkte att geometrin hos orosfären i Lobatjovskij-rymden inte är något annat än det euklidiska planet; sålunda skulle förekomsten av en motsägelse i den euklidiska geometrin innebära en motsägelse i Lobatsjovskijs geometri [35] . På modernt språk byggde Lobachevsky en modell av det euklidiska planet i Lobatsjovskij-rymden. I motsatt riktning fortskred dess konstruktion analytiskt, och konsistensen i Lobatsjovskijs geometri följde av konsistensen av verklig analys.

Trots att de hade dessa verktyg, angav Lobachevsky inte själva konsistenssatsen . För dess rigorösa formulering behövdes en logisk analys av geometrins grunder , som senare gjordes av Pash , Hilbert och andra [34] .

Vi är skyldiga Beltrami utseendet på konceptet för modellen . 1868 byggde han en projektiv modell , en konformt euklidisk modell , och även en lokal modell på den så kallade pseudosfären . Beltrami var också den första som såg sambandet mellan Lobachevsky-geometri och differentialgeometri.

Modellerna som konstruerades av Beltrami utvecklades senare av Klein och Poincaré , tack vare dem förenklades konstruktionen avsevärt, och kopplingar och tillämpningar av den nya geometrin till projektiv geometri och komplex analys upptäcktes också . Dessa modeller bevisar på ett övertygande sätt att förnekandet av det femte postulatet inte motsäger resten av geometrins axiom; därav följer att V-postulatet är oberoende av de andra axiomen och det är omöjligt att bevisa det [33] .

Femte postulatet och andra geometrier

Som visas ovan, att lägga till det femte postulatet eller dess negation till resten av Euklids axiom bildar Euklids geometri respektive Lobatsjovskijs geometri . För andra vanliga homogena geometrier är rollen för det femte postulatet inte så stor.

Systemet av axiom för sfärisk geometri kräver en mer betydande omarbetning av Euklids axiom, eftersom det inte finns några parallella linjer i det [36] . I projektiv geometri kan man definiera parallella linjer som linjer som skär endast vid en punkt i oändligheten; då blir det femte postulatet en enkel konsekvens av axiomet: " genom två punkter kan en och endast en rät linje dras ." Faktum är att om vi specificerar en linje och en punkt utanför den och sedan tillämpar ovanstående axiom för och en punkt i oändligheten, så kommer den resulterande linjen att vara parallell och, uppenbarligen, unikt bestämd [37] .

Anteckningar

  1. ↑ Beginnings of Euclid / Översättning från grekiska och kommentarer av D. D. Mordukhai-Boltovsky med redaktionellt deltagande av M. Ya. Vygodsky och I. N. Veselovsky. - M. - L .: GTTI, 1948. - T. I. - S. 15. Arkiverad kopia (otillgänglig länk) . Hämtad 25 april 2008. Arkiverad från originalet 6 april 2008. 
  2. ↑ 1 2 Kagan. Lobachevsky, 1948 , sid. 164-165.
  3. ↑ Smilga, 1988 , sid. fyra.
  4. ↑ 1 2 Zakharov V. D. Gravity: från Aristoteles till Einstein . Hämtad: 28 maj 2020.
  5. ↑ 1 2 Matematikens historia / Redigerad av A. P. Yushkevich , i tre volymer. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 110.
  6. ↑ 1 2 Mordukhai-Boltovskoy D. D. Kommentarer till Euklids "Beginnings", böcker I-VI. Dekret. op. - S. 241-244.
  7. ↑ Euklids femte postulat . Hämtad 17 mars 2008. Arkiverad från originalet 13 maj 2008.
  8. ↑ Kagan. Lobachevsky, 1948 , sid. 167-175.
  9. ↑ 1 2 3 Lelon-Ferrand J., 1989 , sid. 255-256.
  10. ↑ Smilga, 1988 , sid. 59-61.
  11. ↑ Kline M. Matematik. Förlust av säkerhet . - M . : Mir, 1984. - S. 94-95. Arkiverad kopia (inte tillgänglig länk) . Tillträdesdatum: 13 mars 2010. Arkiverad från originalet den 12 februari 2007. 
  12. ↑ Tóth I. Das Parallelenproblem im Corpus Aristotelicum // Arkiv för exakta vetenskapers historia . - Berlin-Heidelberg-New York, 1967. - Vol 3 , nr. 4.5 . - S. 249-422 .
  13. ↑ 1 2 Smilga, 1988 , sid. 72.
  14. ↑ Laptev B. L. N. I. Lobachevsky och hans geometri. - M . : Utbildning, 1976. - S. 71. - 112 sid.
  15. ↑ History of Mathematics / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 231.
  16. ↑ Ibn Korra. Boken som två linjer ritade i en vinkel mindre än två räta linjer möts / Översättning och anteckningar av B. A. Rosenfeld. - M. : IMI, 1963. - T. XV. - S. 363-380.
  17. ↑ Khayyam. Avhandlingar / Översatt av B. A. Rosenfeld. Redigerad av V. S. Segal och A. P. Yushkevich. Artikel och kommentarer av B. A. Rosenfeld och A. P. Yushkevich. - M. , 1962.
  18. ↑ At-Tusi. En avhandling som läker tvivel om parallella linjer / Översättning av B. A. Rosenfeld, anteckningar av B. A. Rosenfeld och A. P. Yushkevich. - M . : IMI, 1960. - T. XIII. - S. 483-532.
  19. ↑ Rosenfeld B. A. Bevis för det femte postulatet av Euklid av medeltida matematiker Hassan ibn al-Khaytham och Leo Gersonides. - M . : IMI, 1958. - T. XI. - S. 733-742.
  20. ↑ Clavius ​​​​C. Euclidis Elementorum, libri XV. — Romae, 1574.
  21. ↑ Wallis. Opera Mathematica, v. II. - Oxoniae, 1693. - S. 665.
  22. ↑ History of Mathematics / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1972. - T. III. - S. 215-217.
  23. ↑ G. Saccheri. Euklid von jedem Makel befreit. I: F. Engel, P. Stackel. Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung zur Vorgeschichte der Nicht-Euklidischen Geometrie. - Leipzig, 1895. - S. 100.
  24. ↑ G. Saccheri. Euklid von jedem Makel befreit. I: F. Engel, P. Stackel. Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung zur Vorgeschichte der Nicht-Euklidischen Geometrie. - Leipzig, 1895. - S. 105.
  25. ↑ Lambert J. H. Deutscher Gelehrter Briefwechsel. bd. 1-5. Herausg. von J. Bernoulli. - Berlin, 1781-1784. - S. 202-203.
  26. ↑ Smilga, 1988 , sid. 121.
  27. ↑ History of Mathematics, volym III, s. 218.
  28. ↑ On the Foundations of Geometry, s. 101-120.
  29. ↑ Av en annan bokstav följer att konstanten är , där betecknar krökningen .
  30. ↑ Om geometrins grunder, sid. 119-120.
  31. ↑ Lobachevsky N. I. Verk om geometri (Fullständig samling verk, vol. 1-3). - M. - L .: GITTL, 1946-1949.
  32. ↑ Om geometrins grunder, sid. 61-62.
  33. ↑ 1 2 Arcozzi, Nicola. Beltramis modeller av icke-euklidisk geometri  (engelska) . Hämtad 16 juli 2016. Arkiverad från originalet 7 januari 2017.
  34. ↑ 1 2 Pogorelov A.V. Geometrins grunder. - Ed. 4:a. - M . : Nauka, 1979. - S. 18-21. — 152 sid.
  35. ↑ se punkt 34 i Lobachevsky, NI Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien  (tyska) . — Berlin: F. Fincke, 1840.
  36. ↑ Peil, Timothy. Hilberts axiom modifierade för plan elliptisk geometri  . // Undersökning av geometri . Hämtad 18 oktober 2016. Arkiverad från originalet 19 oktober 2016.
  37. ↑ Volberg O. A. Grundtankar om projektiv hegmetri. - Ed. 3:a. - M. - L . : Uchpedgiz RSFSR, 1949. - S. 7. - 188 sid.

Litteratur

Länkar

  Gå till Wikidata-objektet  Ordböcker och uppslagsverk
I bibliografiska kataloger