Vektorkalkyl

Vektorkalkyl  är en gren av matematiken som studerar egenskaperna för operationer på vektorer [1] . På grund av mångfalden av egenskaper hos vektorer, beroende på utrymmet där de studeras, är vektorkalkylen uppdelad i:

• vektoralgebra;
• vektoranalys;
• funktionell analys.

En förlängning av vektorkalkyl är tensorkalkyl , som studerar tensorer och tensorfält . Tensorkalkyl är i sin tur uppdelad i tensoralgebra (ingår som huvuddelen i multilinjär algebra ) och tensoranalys , som studerar differentialoperatorer på tensorfältens algebra.

Tensorkalkyl är en integrerad del av differentialgeometri , som bland annat används inom modern teoretisk fysik [2] .

Sektioner av vektorkalkyl

Vektoralgebra

I detta avsnitt av vektorkalkyl studeras egenskaperna hos linjära operationer med vektorer: addition, multiplikation av vektorer med ett tal, olika produkter av vektorer - skalär, pseudoskalär, vektor, blandad, dubbelvektor, etc. [3] . Som en tillämpning på analytisk geometri studeras de geometriska egenskaperna hos vektorer och deras samlingar. I synnerhet kollinearitet, komplanaritet hos vektorer, egenskaper hos en vektorbas. Inom analytisk och teoretisk mekanik, baserad på vektoralgebras lagar, studeras materialkropparnas rörelse och interaktion [4]

En förlängning av vektoralgebra är tensoralgebra , som utforskar algebraiska operationer på tensorer [5] .

Vektoranalys

En gren av vektorkalkyl som studerar statiska, stationära och dynamiska vektor- och skalära fält. Vektoranalys arbetar med begreppen vektorflöde , vektorcirkulation , [6] . Med hjälp av dessa begrepp studerar vi sambanden mellan skalärerna och vektorerna som definierar fälten och bevisar de grundläggande satserna för vektoranalys:

• Lutning
• Vektordivergenssats ;
• Vektorcirkulationssats ;
• Laplaces ekvation ;
• Poissons ekvation ;
• Helmholtz nedbrytningssats ;
• Umovs teorem [7] .

En förlängning av vektoranalys är tensoranalys , som studerar differentialoperatorer som verkar på en algebra . Mer allmänna operatorer beaktas också: tensordensiteter, differentialformer med värden i en vektorbunt [8] .

Funktionsanalys

Funktionsanalys är en del av modern matematisk analys, vars huvudsakliga syfte är att studera funktioner , där åtminstone en av variablerna varierar över ett oändligt utrymme [9] .

Metoder baserade på vektorrepresentation av funktioner har funnit bred tillämpning i teorin för linjära integralekvationer [10] , i teorin för signalbehandling [11] , i teorin för vanliga differentialekvationer [12] , algebraisk geometri [13] , etc.

Anteckningar

1. ↑ Ivanov A. B. Vektorkalkyl. Mathematical Encyclopedia, red. Vinogradova I. M., M., Soviet Encyclopedia, vol. 1, sid. 640
2. ↑ Onischuk A. L. Tensorkalkyl. Matematisk uppslagsverk. Ed. Vinogradova I. M., M., Soviet Encyclopedia, vol. 5, sid. 330
3. ↑ Pytiev Yu. P.  Vektoralgebra. Mathematical Encyclopedia, red. Vinogradova I. M., M., Soviet Encyclopedia, vol. 1, sid. 632-636
4. ↑ Olkhovsky I. I. Kurs i teoretisk mekanik för fysiker. M., Science, 1970
5. ↑ Onischuk A. L. Tensoralgebra. Matematisk uppslagsverk. Ed. Vinogradova I. M., M., Soviet Encyclopedia, vol. 5, sid. 329
6. ↑ Ivanov A. B. Vektoranalys. Mathematical Encyclopedia, red. Vinogradova I. M., M., Soviet Encyclopedia, vol. 1, sid. 648
7. ↑ rörelse av energi i kroppar (Umov) / I
8. ↑ Onischuk A. L. Tensoranalys. Matematisk uppslagsverk. Ed. Vinogradova I. M., M., Soviet Encyclopedia, vol. 5, sid. 333
9. ↑ Berezansky Yu. M., Levitan B. M. Funktionsanalys. Matematisk uppslagsverk. Ed. Vinogradova I. M., M., Soviet Encyclopedia, vol. 5, sid. 705-712
10. ↑ Korn G., Korn T. Handbok i matematik för vetenskapsmän och ingenjörer. M., Nauka, 1968, sid. 399
11. ↑ Samoilo K. A. Radiokretsar och signaler. M., Radio och kommunikation, 1982, sid. 39
12. ↑ Pontryagin L. S.  Vanliga differentialekvationer. M., Nauka, 1970, sid. 103
13. ↑ Chebotarev N. G. Teori om algebraiska funktioner. M., OGIZ, 1948, sid. 385

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss