Exponentiering

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 27 mars 2022; kontroller kräver 12 redigeringar .

Exponentiering är en aritmetisk operation , ursprungligen definierad som resultatet av att multiplicera ett tal med sig själv. En exponent med en bas och en naturlig exponent betecknas som $a$ $b$

a^{b}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{b},

där - antalet faktorer (multiplicerade tal) [1] [K 1] . $b$

Till exempel, $3^{2}=3\cdot 3=9;\quad 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$

I programmeringsspråk där stavning inte är möjlig används alternativ notation . $a^{b}$

Exponentiering kan också definieras för negativa , rationella , reella och komplexa potenser [1] .

Att extrahera en rot är en av operationerna invers till exponentiering; den hittar en okänd bas från kända värden på graden och exponenten . Den andra inversa operationen är logaritm , den hittar en okänd exponent från kända värden på graden och basen . Problemet med att hitta ett tal genom dess kända logaritm (potentiering, antilogaritm ) löses med hjälp av exponentieringsoperationen. $c=a^{b}$ $b$ $a={\sqrt[{b}]{c))$ $c=a^{b}$ $a$ $b=\log _{a}c$

Det finns en snabb exponentieringsalgoritm som utför exponentiering i färre multiplikationer än i definitionen.

Använd i muntligt tal

Notationen läses vanligtvis som " a till e potens" eller " a i potens av n ". Läs till exempel som "tio till fjärde potensen", läs som "tio till tre sekunders makt (eller: en och en halv)". ${\displaystyle a^{n))$ $n$ $10^{4}$ $10^{3/2}$

Det finns speciella namn för andra och tredje graden: kvadrat och kub . Så till exempel läses det som "tio kvadrat", det läses som "tio kuber". Denna terminologi har sitt ursprung i den antika grekiska matematiken . De gamla grekerna formulerade algebraiska konstruktioner på språket geometrisk algebra . I synnerhet, istället för att använda ordet "multiplikation", talade de om arean av en rektangel eller om volymen av en parallellepiped : istället sa de gamla grekerna "kvadrat på segment a ", "kub på en ". Av denna anledning undvek den fjärde graden och högre av de gamla grekerna [2] . $10^{2}$ $10^{3}$ $a^2$ $a^{3}$

Talet som blir resultatet av att höja ett naturligt tal till -th potens kallas den exakta -th potensen. Särskilt talet som är resultatet av att kvadrera ett naturligt tal (kub) kallas en exakt kvadrat (kub). En perfekt kvadrat kallas också en perfekt kvadrat . $n$ $n$

Egenskaper

Grundläggande egenskaper

Alla följande grundläggande egenskaper för exponentiering gäller för naturliga, heltal, rationella och reella tal [3] . För komplexa tal, på grund av polysemin i den komplexa operationen, utförs de endast i fallet med en naturlig exponent .

$a^{1}=a$
$\left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n}$
$\left({a \over b}\right)^{n}={{a^{n}} \över {b^{n}}}$
${\displaystyle a^{n}a^{m}=a^{n+m))$
$\left.{a^{n} \över {a^{m}}}\right.=a^{nm}$
$\left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}$ .

Posten har inte egenskapen associativitet (kompatibilitet), det vill säga i det allmänna fallet, Till exempel , men . I matematik är det vanligt att betrakta rekordmotsvarigheten , och istället kan du enkelt skriva , med hjälp av den tidigare egenskapen. Vissa programmeringsspråk följer dock inte denna konvention. $a^{n^{m}}$ $(a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\right)}$ $(2^{2})^{3}=4^{3}=64$ $2^{\left({2^{3}}\right)}=2^{8}=256$ $a^{n^{m}}$ $a^{\left({n^{m}}\right)}$ $(a^{n})^{m}$ $a^{nm}$

Exponentiering har inte egenskapen kommutativitet (förskjutning) : generellt sett , till exempel , men $a^{b}\neq b^{a}$ $2^{5}=32$ $5^{2}=25.$

Tabell över naturliga krafter av små tal

n	n 2	n 3	n4 _	n 5	n6 _	n 7	n 8	n9 _	n 10
2	fyra	åtta	16	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729	2,187	6,561	19,683	59,049
fyra	16	64	256	1024	4,096	16.384	65,536	262.144	1 048 576
5	25	125	625	3125	15,625	78,125	390,625	1,953,125	9,765,625
6	36	216	1296	7,776	46,656	279,936	1,679,616	10 077 696	60,466,176
7	49	343	2401	16,807	117,649	823.543	5,764,801	40,353,607	282,475,249
åtta	64	512	4096	32,768	262.144	2,097,152	16,777,216	134,217,728	1,073,741,824
9	81	729	6561	59,049	531,441	4,782,969	43,046,721	387,420,489	3,486,784,401
tio	100	1000	10 000	100 000	1 000 000	10 000 000	100 000 000	1 000 000 000	10 000 000 000

Tillägg

Heltalspotens

Operationen generaliserar till godtyckliga heltal , inklusive negativa och noll [4] ::

a^{z}={\begin{cases}a^{z},&z>0\\1,&z=0,a\neq \;0\\{\frac {1}{a^{ |z|}}},&z<0,a\neq \;0\\0,&z>0,a=0\end{cases}}

Resultatet är odefinierat för och . $a=0$ $z\leqslant 0$

Rationell examen

Att höja till en rationell potens där är ett heltal och är ett naturligt, positivt tal definieras enligt följande [4] : $m/n,$ $m$ $n$

a^{m \over n}=({\sqrt[{n}]{a)))^{m};\quad \forall a>0,a\in \mathbb {R} ,m\ i \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} .

En grad med en bas lika med noll bestäms endast för en positiv rationell exponent.

0^{m \over n}=0;\quad m\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {N} .

För negativa exponenter med bråkdelsexponent beaktas inte. $a$

Resultat: Sålunda kombinerar konceptet med en rationell potens att höja till en heltalspotens och extrahera en rot i en enda operation. ${\sqrt[{n}]{a}}=a^{1/n};\quad a>0,a\in \mathbb {R} .$

Verklig examen

Uppsättningen av reella tal är ett kontinuerligt ordnat fält , betecknat med . Uppsättningen av reella tal kan inte räknas, dess makt kallas kontinuumets kraft . Aritmetiska operationer på reella tal representerade av oändliga decimalbråk definieras som en kontinuerlig fortsättning [5] av motsvarande operationer på rationella tal. $\mathbb {R}$

Om två reella tal anges som kan representeras som oändliga decimaler (där är positivt): $\alfa$

\alpha =a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},~~\alpha >0,

\beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},

definieras av de grundläggande sekvenserna av rationella tal (som uppfyller Cauchy-villkoret ), betecknade som: och , sedan kallas deras grad talet som definieras av graden av sekvenser och : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\gamma =[c_{n}]$ $\{en}\}$ $\{b_{n}\}$

\gamma =\alpha ^{\beta }{=}[a_{n}]^{[b_{n}]}=[a_{n}{\widehat {}}b_{n}]

reellt tal , uppfyller följande villkor: ${\displaystyle \gamma =\alpha ^{\beta ))$

(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow ({(a')}^{b'}\leqslant \alpha ^ {\beta }\leqslant {(a'')}^{b''})\Högerpil ({(a')}^{b'}\leqslant \gamma \leqslant {(a'')}^{b ''}),~~~\forall ~a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ,~\forall \alpha >0,~\alpha ,\beta ,\gamma \ i \mathbb {R} .

Potensen för ett reellt tal är alltså ett sådant reellt tal som finns mellan artens alla potenser på ena sidan och artens alla potenser på den andra sidan. ${\displaystyle \alpha ^{\beta ))$ $\gamma$ ${(a')}^{b'}$ ${(a'')}^{b''}$

En grad med en bas lika med noll bestäms endast för en positiv reell exponent.

0^{\beta }=0;\quad \beta \in \mathbb {R} ,\beta >0.

För negativ exponent med en reell exponent beaktas inte. $\alfa$

I praktiken, för att höja ett tal till en potens , är det nödvändigt att ersätta dem med erforderlig noggrannhet med ungefärliga rationella tal och . Graden av de angivna rationella talen tas som ett ungefärligt värde på graden . Samtidigt spelar det ingen roll från vilken sida (med brist eller överskott) de tagna rationella talen approximerar och . $\alfa$ $\beta$ $a$ $b$ ${\displaystyle \alpha ^{\beta ))$ ${\displaystyle a^{b))$ $\alfa$ $\beta$

Ett exempel på exponentiering , upp till 3:e decimalen: ${\displaystyle \gamma =\pi ^{e))$

Vi avrundar dessa siffror till 4:e decimal (för att förbättra beräkningarnas noggrannhet);
Vi får: ; $\pi \approx 3,1416,\ e\approx 2,7183$
höja till en makt: ; $\gamma =\pi ^{e}\approx 3.1416^{2.7183}\approx 22.4592$
Avrundning uppåt till 3:e decimal: . $\gamma \approx 22.459$

Användbara formler:

{\displaystyle x^{y}=a^{y\log _{a}x))

x^{y}=e^{y\ln x}

x^{y}=10^{y\lg x}

De två sista formlerna används för att höja positiva tal till en godtycklig potens på elektroniska räknare (inklusive datorprogram) som inte har en inbyggd funktion , och för ungefärlig exponentiering till en icke-heltalspotens eller för heltalsexponentiering när talen är för stor för att skriva ner resultatet i sin helhet. $x^{y}$

Komplex examen

Att höja ett komplext tal till en naturlig potens görs genom vanlig multiplikation i trigonometrisk form . Resultatet är tydligt:

z^{n}=r^{n}(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ) ;\quad \forall n\in \mathbb {N} ,z\in \mathbb {C} ,r\in \mathbb {R}

, ( Moivre formel ) [6] .

För att hitta graden av ett godtyckligt komplext tal i algebraisk form kan du använda Newtons binomialformel ( som även gäller för komplexa tal): $a+bi$

(a+bi)^{n}=a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}bi+C_{2}^{n}a^{n-2 }b^{2}i^{2}+...+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}i^{n-1}+b^{n}i^{n },\quad \forall n\in \mathbb {N}

Ersätter graderna på höger sida av formeln med deras värden i enlighet med likheterna: , vi får: ${\displaystyle i^{k))$ $i^{4k}=1,i^{4k+1}=i,i^{4k+2}=-1,i^{4k+3}=-i,k\in \mathbb {N }$

(a+bi)^{n}=\summa _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}C_{n}^{2k}a^{n- 2k}b^{2k}+i\summa _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}C_{n}^{2k+1}a^{ n-2k-1}b^{2k+1}.

[7]

Grunden för en mer allmän definition av en komplex grad är exponenten , där är Eulertalet , är ett godtyckligt komplext tal [8] . $e^{z}$ $e$ $z=x+iy$

Vi definierar den komplexa exponenten med samma serie som den verkliga:

e^{z}=1+z+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^ {4}}{4!}}+\cdots .

Denna serie konvergerar absolut för alla komplexa serier, så dess medlemmar kan omarrangeras på vilket sätt som helst. I synnerhet skiljer vi från den delen för : $z,$ ${\displaystyle e^{iy))$

e^{iy}=1+iy+{\frac {(iy)^{2}}{2!)}}+{\frac {(iy)^{3}}{3!)}}+ {\ frac {(iy)^{4}}{4!}}+\cdots =\left(1-{\frac {y^{2}}{2!}}+{\frac {y^{4 }} {4!}}-{\frac {y^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(y-{\frac {y^{3}}{3!} }+ {\frac {y^{5}}{5!}}-\cdots \right).

Inom parentes fick vi serier kända från verklig analys för cosinus och sinus , och vi fick Eulers formel :

e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos y+i\sin y)

Det allmänna fallet , där är komplexa tal, definieras genom representation i exponentiell form : enligt den definierande formeln [8] : $a^{b}$ $a,b$ $a$ ${\displaystyle a=re^{i(\theta +2\pi k)))$

a^{b}=(e^{\operatörsnamn {Ln} (a)})^{b}=(e^{\operatörsnamn {ln} (r)+i(\theta +2\pi k )})^{b}=e^{b(\operatörsnamn {ln} (r)+i(\theta +2\pi k))}.

Här är den komplexa logaritmen och är dess huvudvärde. $\operatörsnamn {Ln}$ $\ln$

Dessutom är den komplexa logaritmen en funktion med flera värden , så att den komplexa graden generellt sett inte är unikt definierad [8] . Underlåtenhet att ta hänsyn till denna omständighet kan leda till fel. Exempel: låt oss höja en känd identitet till en makt Till vänster visar det sig uppenbarligen till höger 1. Som ett resultat: vilket, eftersom det är lätt att kontrollera, är fel. Orsak till felet: att höja till en potens ger både vänster och höger en oändlig uppsättning värden(för olika ), så regeln är inte tillämplig här. Noggrann tillämpning av formlerna för att bestämma den komplexa graden ger till vänster och till höger, härifrån kan man se att roten till felet är förvirringen av värdena för detta uttryck för och för $e^{2\pi i}=1$ $i.$ $e^{-2\pi },$ $e^{-2\pi }=1,$ $i$ $k$ ${\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc))$ $e^{-2\pi k};$ $k=0$ $k=1.$

Grad som funktion

Sorter

Eftersom uttrycket använder två symboler ( och ), kan det betraktas som en av de tre funktionerna. $x^{y}$ $x$ $y$

En funktion av en variabel (i detta fall en konstant-parameter). En sådan funktion kallas en potensfunktion . Den omvända funktionen extraherar roten . $x$ $y$
En funktion av en variabel (i detta fall en konstant-parameter). En sådan funktion kallas exponentiell (ett specialfall är exponenten ). Den inversa funktionen är logaritmen . $y$ $x$
Funktion av två variabler Observera att denna funktion vid den tidpunkten har en irreducerbar diskontinuitet . I själva verket längs den positiva riktningen på axeln där den är lika med ett, och längs den positiva riktningen på axeln där den är lika med noll. $f(x,y)=x^{y}.$ $(0, 0)$ $x,$ $y=0,$ $Y,$ $x=0,$

Noll till nollpotensen

Uttrycket (noll till nollpotensen) anses av många läroböcker vara odefinierat och meningslöst, eftersom, som noterats ovan, funktionen vid (0, 0) är diskontinuerlig. Vissa författare föreslår att acceptera konventionen att detta uttryck är lika med 1. I synnerhet då expansionen till en serie av exponenten: $0^{0}$ ${\displaystyle f(x,y)=x^{y))$

e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \över n!)

kan skrivas kortare:

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \över n!}.

Det bör varnas för att konventionen är rent symbolisk och inte kan användas i vare sig algebraiska eller analytiska transformationer på grund av diskontinuiteten i funktionen vid denna tidpunkt. $0^0=1$

Historik

Beteckning

I Europa skrevs till en början storleksgraden i verbala förkortningar (q eller Q betecknade en kvadrat, c eller C - en kub, bq eller qq - en biquadrate, det vill säga den 4:e graden, etc.) eller som en produkt - till exempel avbildades den när Otred skrev ner på följande sätt: (om det bara finns en okänd, tilldelades hon ofta inte en bokstavsikon) [9] . Den tyska skolan av kossister erbjöd ett speciellt gotiskt märke för varje grad av det okända. $x^{4}$ $xxxx.$ ${\displaystyle x^{5}-15x^{4))$ $1qc-15qq$

På 1600-talet började tanken på att uttryckligen ange exponenten gradvis segra. Girard (1629), för att höja en siffra till en potens, satte en indikator inom parentes före detta nummer, och om det inte fanns något nummer till höger om indikatorn, innebar detta att närvaron av en okänd i den angivna graden antyddes [ 10] ; till exempel menade han . Pierre Erigon och skotske matematikern James Hume föreslog placeringsalternativ för exponenten , de skrev i formen respektive [11 ] . $(2)2+1(2)$ $2^{2}+x^{2}$ $x^{4}$ $x4$ $x^{IV}$

Den moderna uppteckningen av exponenten - till höger och ovanför basen - introducerades av Descartes i hans " Geometry " (1637), dock endast för naturliga krafter större än 2 (kvadrering under en lång tid betecknades på det gamla sättet, av produkten). Senare utvidgade Wallis och Newton (1676) den kartesiska skrivformen till negativa och fraktionerade exponenter, vars tolkning vid denna tidpunkt redan var känd från verk av Orem , Shuquet , Stevin , Girard och Wallis själv. I början av 1700-talet var alternativen för att skriva grader "enligt Descartes", som Newton uttryckte det i " Universal Arithmetic ", "omoderna " . Den exponentiella funktionen , det vill säga att höja i varierande grad, förekom först i bokstäver och sedan i Leibniz (1679) skrifter. Att höja sig till en imaginär makt motiverades av Euler (1743) [11] [12] .

Notation av exponentiering i programmeringsspråk

Med tillkomsten av datorer och datorprogram uppstod problemet att det i texten till datorprogram är omöjligt att skriva examen i en "tvåvånings"-form. I detta avseende uppfanns speciella ikoner för att indikera exponentieringens funktion. Den första sådana ikonen var två asterisker : " **", som används på Fortran- språket . På Algol- språket, som dök upp lite senare, användes pilikonen : " ↑" ( Knuths pilar ). I BASIC-språket föreslås symbolen " ^" (" circumflex ", aka " caret "), som har vunnit störst popularitet; det används ofta när man skriver formler och matematiska uttryck, inte bara i programmeringsspråk och datorsystem, utan också i vanlig text . Exempel:

3^2 = 9; 5^2 = 25; 2^3 = 8; 5^3 = 125.

Ibland i datorsystem och programmeringsspråk har exponentieringsikonen lämnat associativitet , i motsats till den konventionella konventionen i matematik om höger associativitet av exponentiering. Det vill säga att vissa programmeringsspråk (till exempel Excel- programmet ) kan uppfatta notationen a^b^csom (a^b)^c, medan andra system och språk (till exempel Haskell , Perl , Wolfram|Alpha och många andra) kommer att bearbeta denna notation från höger till vänster: a^(b^c), som är brukligt i matematik: . ${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{\left(b^{c}\right)))$

Några symboler för exponentiering i programmeringsspråk och datorsystem är:

x ↑ y: Algol , några GRUNDLÄGGANDE dialekter;
x ^ y: BASIC , J , MATLAB , R , Microsoft Excel , TeX , bc [K2] , Haskell [K3] , Lua , MathML och de flesta datoralgebrasystem ;
x ^^ y: Haskell [K 4] , D ;
x ** y: Ada , Bash , Cobol , Fortran , FoxPro , Gnuplot , OCaml , Perl , PL/I , PHP [K 5] , Python , REXX , Ruby , SAS , Seed7 , Tcl , ABAP , Haskell [K 6] , Turing , VHDL , ECMAScript [K 7] [K 8] , AutoHotkey [K 8] , JavaScript ;
x⋆y: APL .

Många programmeringsspråk (som Java , C och Pascal ) har inte exponentieringsoperationen och använder standardfunktioner för detta ändamål .

Variationer och generaliseringar

Exponentiering med en naturlig exponent kan definieras inte bara för tal, utan också för icke-numeriska objekt för vilka multiplikation är definierad - till exempel till matriser , linjära operatorer , mängder (relativt den kartesiska produkten , se Kartesisk grad ).

Vanligtvis betraktas denna operation i någon multiplikativ monoid ( halvgrupp med identitet) och definieras induktivt [13] för alla : $M$ $x\i M$

$x^{0}=e$ (var är monoidens identitet ). $e$
$x^{n+1}=x^{n}x$ , var $n\geqslant 0$
If then definieras endast för inverterbara element $n<0,$ $x^n$ $x.$

Av särskilt värde är tillämpningen av exponentiering på grupper och fält , där en direkt analog av negativa potenser uppstår.

Exponentieringshyperoperatorn är tetration .

Anteckningar

↑ 1 2 Degree // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M .: Soviet Encyclopedia , 1985. - T. 5. - S. 221.
↑ Van der Waerden. Uppvaknande vetenskap. Matematik i det antika Egypten, Babylon och Grekland / Per. med ett mål I. N. Veselovsky. - M. , 1959. - S. 165-167. — 456 sid.
↑ Handbok i elementär matematik, 1978 , sid. 140-141.
↑ 1 2 Handbok i elementär matematik, 1978 , sid. 182-184.
↑ Eftersom den linjära ordningsrelationen redan har införts på mängden reella tal, kan vi definiera topologin för den reella linjen: som öppna mängder tar vi alla möjliga unionsintervaller av formen $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Piskunov N. S. § 3. Att höja ett komplext tal till en potens och extrahera en rot från ett komplext tal . scask.ru . Hämtad: 27 mars 2022. (ryska)
↑ Bliznyakov N.M. KOMPLEXA NUMMER . Utbildnings- och metodhandbok för universitet 23. Tillträdesdatum: 27 mars 2022. Arkiverad från originalet 1 april 2022. (ryska)
↑ 1 2 3 Vygodsky M. Ya. Handbok i högre matematik. - 12:e uppl. - M . : Nauka, 1977. - S. 597 (fotnot 3). — 872 sid.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §290-297.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §164.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , sid. 130-131.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007 , §298-301, 307-309.
↑ David M. Bloom. Linjär algebra och geometri . - 1979. - S. 45 . - ISBN 978-0-521-29324-2 .

Kommentarer

↑ I vardagligt tal säger de ibland till exempel att - " en multiplicerad med sig själv tre gånger ", vilket betyder att tre faktorer tas . Detta är inte helt korrekt och kan leda till tvetydighet, eftersom antalet multiplikationer blir en mindre: (tre multiplikatorer, men två multiplikationer). Ofta, när de säger " a multiplicerat med sig själv tre gånger", menar de antalet multiplikationer, inte faktorer, det vill säga Se August Davidov. Grundläggande algebra . - Tryckeri E. Lissler och Y. Roman, 1883-01-01. - S. 6. - 534 sid. Arkiverad 31 maj 2016 på Wayback Machine . För att undvika oklarheter kan vi till exempel säga: den tredje graden är när "talet multipliceras tre gånger." $a^{3}$ $a$ $a^{3}=a\cdot a\cdot a$ $a^{4}.$
↑ För en heltalsgrad.
↑ För en icke-negativ heltalspotens.
↑ Stöder negativa exponenter, till skillnad från ^, som endast implementeras som en seriell multiplikation.
↑ Från och med version 5.6 (se PHP-manualen › Bilagor › Migrera från PHP 5.5.x till PHP 5.6.x › Nya funktioner arkiverade 18 april 2018 på Wayback Machine ).
↑ För en grad som representeras av ett flyttal, implementeras det med en logaritm.
↑ Beskrivs i EcmaScript 7-standarden (ECMA-262, 7:e upplagan), antagen i juni 2016.
↑ 1 2 JavaScript kommer med en . Math.pow(x, y)

Litteratur

Alexandrova N. V. Historia om matematiska termer, begrepp, beteckningar: Ordbok-referensbok. - 3:e uppl. - St Petersburg. : LKI, 2008. - 248 sid. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik. — M .: Nauka, 1978. — 509 sid.
- Återutgivning: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 sidor.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementär matematik. Upprepa kursen. – Tredje upplagan, stereotypt. — M .: Nauka, 1976. — 591 sid.
Maktfunktion // Stor sovjetisk uppslagsbok . - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 nytryck) . - NY: Cosimo, Inc., 2007. - xvi + 456 sid. — ISBN 978-1-60206-684-7 .

Länkar

Exponentiering: regler, exempel . Hämtad: 2 februari 2020. (obestämd)