Dubbla nummer

Dubbla tal eller (hyper) komplexa tal av parabolisk typ är hyperkomplexa tal av formen , där och är reella tal , och är ett abstrakt element vars kvadrat är lika med noll, men det är inte noll i sig. Varje dubbelnummer bestäms unikt av ett sådant par av nummer och . Uppsättningen av alla dubbla tal bildar en tvådimensionell kommutativ associativ algebra med enhet under den multiplikativa operationen på fältet av reella tal . Till skillnad från fältet för vanliga komplexa tal innehåller denna algebra nolldelare , och alla har formen . Planet för alla dubbla tal är det "alternativa komplexa planet". Algebror av komplexa och dubbla tal är konstruerade på liknande sätt. $a+\varepsilon b$ $a$ $b$ $\varepsilon$ $a$ $b$ $\mathbb {R}$ $a\varepsilon$

Kommentar. Ibland kallas dubbla tal dubbla tal [1] , även om vanligtvis ett annat system av hyperkomplexa tal förstås som dubbla tal .

Definition

Algebraisk definition

Dubbla tal är par av reella tal i formen , för vilka operationerna för multiplikation och addition definieras enligt reglerna: $(a,\;b)$

\ (a_1,\;b_1)+(a_2,\;b_2) = (a_1+a_2,\;b_1+b_2)

\ (a_{1},\;b_{1})(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}a_{2},\;a_{1}b_{2 }+a_{2}b_{1})

I det här fallet identifieras formulärets nummer med reella siffror, och numret betecknas med , varefter de definierande identiteterna kommer att ha formen: $(a,\;0)$ $(0,\;1)$ $\varepsilon$

\varepsilon^2=0,\quad(a,\;b)=a+b\varepsilon

(a_1+\varepsilon b_1)+(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1+a_2)+\varepsilon (b_1+b_2),

(a_1+\varepsilon b_1)(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1a_2)+\varepsilon (a_1b_2+a_2b_1).

Mer kortfattat är ringen av dubbla tal faktorringen av ringen av reella polynom av det ideal som genereras av polynomet . $\R[x]/(x^2)$ $x^{2}$

Linjär representation

Dubbla tal kan representeras som matriser av reella tal, där addition av dubbla tal motsvarar matrisaddition och multiplikation av tal motsvarar matrismultiplikation. Låt . Sedan tar ett godtyckligt dubbeltal formen $\varepsilon=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}$

a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}

Indikativ form

För en exponent med en dubbel exponent gäller följande likhet:

\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x

Denna formel låter dig representera vilket dubbeltal som helst i exponentiell form och hitta dess logaritm i en reell bas. Det kan bevisas genom att expandera exponenten i en Taylor-serie :

\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x+ \frac{(\varepsilon x)^2}{2!} + \frac{(\varepsilon x)^3}{3!} + \ cdots

I det här fallet är alla termer ovanför den första ordningen lika med noll. Följaktligen:

\sinh \varepsilon x = \sin \varepsilon x = \varepsilon x

\cosh \varepsilon x = \cos \varepsilon x = 1

Aritmetiska operationer

Tillägg $(a+b\varepsilon)+(c+d\varepsilon)=(a+c)+(b+d)\varepsilon$
Subtraktion $(a+b\varepsilon)-(c+d\varepsilon)=(ac)+(bd)\varepsilon$
Multiplikation $(a+b\varepsilon )(c+d\varepsilon )=(ac)+(bc+ad)\varepsilon$
Division $\frac{a+b\varepsilon}{c+d\varepsilon} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^2} \varepsilon$

Rötter

Den n:te roten av ett artnummer definieras som $a+\varepsilon b$

{\sqrt[{n}]{a))+{\frac {\varepsilon b}{n{\sqrt[{n}]{a^{n-1))))}.

Differentiering

De dubbla talen är nära besläktade med differentieringen av funktioner. Betrakta en analytisk funktion vars definitionsdomän naturligt kan utvidgas till ringen av dubbla tal. Det kan man lätt visa $f(x)$

f(x+y\varepsilon )=f(x)+y\varepsilon f'(x).

Varför är det så

Som bekant,

(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{nk}b^{k},

det är

(x+y\varepsilon )^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{nk}(y\varepsilon )^{k}, \qquad(1)

men eftersom alla potenser större än en är lika med noll, alltså $\varepsilon$

(x+y\varepsilon )^{n}=x^{n}+nx^{n-1}y\varepsilon .

Tänk nu på expansionen av funktionen i Maclaurin-serien (allt liknar expansionen i Taylor-serien):

f(x)=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}(0){\frac {x^{k}}{k!}}.

Tänk på samma funktion av det dubbla argumentet:

f(x+y\varepsilon )=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}(0){\frac {(x+y\varepsilon )^{k }}{k!}}.

Genom formel (1) får vi

f(x+y\varepsilon )=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k}+kx^{k-1} y\varepsilon }{k!}}=\summa _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k}}{k!)}}+y\ varepsilon \sum _{k=1}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k-1}}{(k-1)!}}.

Den andra termen är inget annat än serieexpansionen av derivatan av funktionen , det vill säga $f$

f(x+y\varepsilon )=f(x)+y\varepsilon f'(x).

QED

Genom att göra beräkningar inte på reella, utan på dubbla tal, kan man automatiskt få värdet på derivatan av en funktion vid en punkt. Det är särskilt bekvämt att överväga sammansättningar av funktioner på detta sätt.

En analogi kan dras mellan dubbla tal och icke-standardiserade analystal . Den imaginära enheten ε för ringen av dualer är som det oändliga talet för icke-standardanalys: vilken potens (större än den första) är exakt 0, medan vilken potens av ett infinitesimalt tal är ungefär lika med 0 (är en infinitesimal av högre ordning) . Därför, om är ett infinitesimalt tal, är upp till inom ringen av hyperrealistiska tal i formen isomorft med ringen av dubbla tal. $\varepsilon$ $\delta$ $o(\delta)$ $\R+\R\delta$

Anteckningar

↑ J. Humphrey . Linjära algebraiska grupper. — M .: Nauka , 1980. — S. 121.

Litteratur

IM Yaglom Komplexa tal och deras tillämpning i geometri. M.: Fizmatlit, 1963. 192 sid.
VV Kisil (2007) Inventing the Wheel, the Parabolic One arXiv:0707.4024 (engelska)

Numeriska system
Räknebara set	Naturliga tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationell ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beräknarbar Aritmetisk
Reella tal och deras anknytningar	Riktig ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonjoner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Ändringar Dubbel Hyperkomplex Superrealistiskt Hypermaterial surrealistiskt
Numeriska förlängningsverktyg	Cayley-Dixon procedur Frobenius teorem Hurwitz teorem
Andra nummersystem	grundtal Ordningstal (transfinita, ordningstal) p-adic Övernaturliga siffror intervallnummer
se även	dubbla siffror Irrationella siffror transcendentala tal nummerstråle Biquaternion

Kalkyl för infinitesimals och infinitesimals
Berättelse	Leibniz notation Integral tecken Metod för odelbara
Relaterade destinationer	Anpassad analys
Formalismer	Differentiell
Begrepp	Standarddel av ett nummer Övergångsprincip Hyperinteger Inkrementsats Monad Intern uppsättning Field of Levi-Civita Hyperfinite set Kontinuitetens lag overflow Mikrokontinuitet Transcendent homogenitetslag
Forskare	Arkimedes Leibniz Robinson Odla Cauchy Euler
Litteratur	Analys av infinitesimals Elementära beräkningar Analyskurs