Isometrisk projektion

Isometrisk projektion ( annan grekiska ἴσος "lika" + μετρέω "mått") är en typ av axonometrisk projektion , där förvrängningskoefficienten (förhållandet mellan längden på det projicerade segmentet i visningen av ett tredimensionellt objekt på ett plan ) på planet, parallellt med koordinataxeln , till den faktiska längden av segmentet ) är densamma i alla tre axlarna. Ordet "isometrisk" i projektionens namn kommer från det grekiska språket och betyder "lika storlek", vilket återspeglar det faktum att i denna projektion är skalorna på alla axlar lika. Så är inte fallet med andra typer av projektioner.

Isometrisk projektion används i teknisk ritning och CAD för att bygga en visuell bild av en del i en ritning , samt i datorspel för tredimensionella objekt och panoramabilder.

Det bör noteras att parallella projektioner , av vilka en mängd är axonometriska och inklusive isometriska projektioner, också är indelade i ortogonala (vinkelräta), med projektionens riktning vinkelrät mot projektionsplanet, och sned , med en vinkel mellan riktningen. och planet, annat än direkt. Enligt sovjetiska normer (se nedan ) kan axonometriska projektioner vara både ortogonala och sneda [1] . Som ett resultat, enligt västerländska standarder, definieras den isometriska projektionen mer snävt och inkluderar, förutom skallikhet längs axlarna, villkoret för likhet med 120 ° vinklar mellan projektionerna av alla axlar. För att undvika förvirring ytterligare, om inte annat anges, kommer isometrisk projektion endast att betyda rektangulär isometrisk projektion .

Standard isometriska vyer [1]

...rektangulär
... sned frontal
... snett horisontell

Rektangulär (ortogonal) isometrisk projektion

I en rektangulär isometrisk projektion bildar de axonometriska axlarna vinklar på 120° med varandra, Z'-axeln är riktad vertikalt. Distorsionskoefficienter ( ) har ett numeriskt värde . Som regel, för att förenkla konstruktionerna, utförs en isometrisk projektion utan distorsion längs axlarna, det vill säga distorsionskoefficienten tas lika med 1, i detta fall erhålls en ökning av linjära dimensioner med en faktor 1 . $k_{x},k_{y},k_{z}$ ${\sqrt {\frac {2}{3))}\approx 0{,}82$ ${\frac {1}{0{,}82}}\approx 1{,}22$

Ungefär axonometriska axlar av en rektangulär projektion kan konstrueras om vi tar tg 30°=4/7 (0,577 respektive 0,571).

Sned isometrisk frontvy

Z'-axeln är riktad vertikalt, vinkeln mellan X'- och Z'-axlarna är 90°, Y'-axeln lutar 135° (120° och 150° är tillåtna) från Z'-axeln.

Frontal isometrisk projektion utförs längs X'-, Y'- och Z'-axlarna utan distorsion.

Kurvor parallella med frontalplanet projiceras utan förvrängning.

Sned horisontell isometrisk vy

Z'-axeln är riktad vertikalt, mellan Z'-axeln och Y'-axeln är lutningsvinkeln 120° (135° och 150° är tillåtna), samtidigt som vinkeln mellan X'- och Y'-axlarna bibehålls lika med 90 °.

Horisontell isometrisk projektion utförs utan distorsion längs X'-, Y'- och Z'-axlarna.

Kurvor parallella med horisontalplanet [2] projiceras utan förvrängning.

Visualisering

En isometrisk vy av ett objekt kan erhållas genom att välja visningsriktningen på ett sådant sätt att vinklarna mellan projektionen av x , y , och z -axlarna är desamma och lika med 120°. Om vi till exempel tar en kub kan detta göras genom att titta på en av kubens ytor och sedan rotera kuben med ±45° runt den vertikala axeln och med ±båge (tan 30°) ≈ 35,264° runt den horisontella axeln. Observera: i illustrationen av den isometriska projektionen av en kub bildar projektionskonturen en regelbunden hexagon - alla kanter är lika långa och alla ytor är lika stora.

På liknande sätt kan en isometrisk vy erhållas, till exempel i 3D-scenredigeraren: med början med kameran inriktad parallellt med golvet och koordinataxlarna, måste den roteras ned ≈35,264° runt den horisontella axeln och ±45° runt den horisontella axeln vertikal axel.

Ett annat sätt att visualisera en isometrisk vy är att titta på vyn av ett kubiskt rum från det övre hörnet, titta mot det motsatta nedre hörnet. X - axeln är här riktad diagonalt nedåt och åt höger, y -axeln är diagonalt nedåt och vänster och z -axeln är rakt uppåt. Djupet reflekteras också av bildens höjd. Linjer ritade längs axlarna har en vinkel på 120° mot varandra.

Matristransformationer

Det finns 8 olika alternativ för att få en isometrisk projektion, beroende på vilken oktant betraktaren tittar på. Den isometriska omvandlingen av en punkt i det tredimensionella rummet till en punkt på ett plan när man tittar på den första oktanten kan matematiskt beskrivas med hjälp av rotationsmatriser enligt följande. Först, som förklarats i avsnittet Rendering , görs en rotation runt den horisontella axeln (här x ) med α = arcsin (tan 30°) ≈ 35,264° och runt den vertikala axeln (här y ) med β = 45°: $a_{{x,y,z}}$ $b_{{x,y}}$

${\begin{bmatrix}{\mathbf {c}}_{x}\\{\mathbf {c}}_{y}\\{\mathbf {c}}_{z}\\\end{bmatrix} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\cos \alpha }&{\sin \alpha }\\0&{-\sin \alpha }&{\cos \alpha }\\\end{bmatrix)) {\begin{bmatrix}{\cos \beta }&0&{-\sin \beta }\\0&1&0\\{\sin \beta}&0&{\cos \beta }\\\end{bmatrix)){\begin{ bmatrix}{\mathbf {a}}_{x}\\{\mathbf {a}}_{y}\\{\mathbf {a}}_{z}\\\end{bmatrix}}={\ frac {1}{{\sqrt {6}}}}{\begin{bmatrix}{\sqrt {3}}&0&-{\sqrt {3}}\\1&2&1\\{\sqrt {2}}&- {\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\mathbf {a}}_{x}\\{\mathbf {a}}_ {y}\\{\mathbf {a}}_{z}\\\end{bmatrix}}$

Sedan appliceras en ortogonal projektion på xy- planet :

${\begin{bmatrix}{\mathbf {b}}_{x}\\{\mathbf {b}}_{y}\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\ \0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\mathbf {c}}_{x}\\{\mathbf {c}}_{y}\\{\mathbf {c } }}_{z}\\\end{bmatrix}}$

De andra sju möjliga vyerna erhålls genom att vända sig till motsatta sidor och/eller vända blickens riktning. [3]

Begränsningar av axonometrisk projektion

Som med andra typer av parallella projektioner verkar objekt i axonometrisk projektion inte större eller mindre när de närmar sig eller rör sig bort från observatören. Detta är användbart i arkitektoniska ritningar och praktiskt i sprite-baserade datorspel , men till skillnad från perspektivprojektion (central) resulterar det i en skev känsla eftersom det mänskliga ögat eller fotografi fungerar annorlunda.

Det leder också lätt till situationer där djup och höjd inte kan uppskattas, som visas i illustrationen till höger. I denna isometriska ritning är den blå bollen två nivåer högre än den röda, men detta kan inte ses när man bara tittar på den vänstra halvan av bilden. Om avsatsen som innehåller den blå bollen expanderas med en ruta, kommer den att ligga precis bredvid kvadraten som innehåller den röda bollen, vilket skapar en optisk illusion av att båda bollarna är på samma nivå.

Ett ytterligare problem specifikt för isometrisk projektion är svårigheten att avgöra vilken sida av ett objekt som observeras. I frånvaro av skuggor, och för objekt som är relativt vinkelräta och proportionella, är det svårt att avgöra vilken sida som är topp, botten eller sida. Detta beror på ungefär lika stora och yta projektioner av ett sådant objekt.

De flesta moderna PC-spel undviker detta genom att överge axonometrisk projektion till förmån för perspektivisk 3D-rendering . Utnyttjandet av projektionsillusioner är dock populärt inom optisk konst , som Eschers serie omöjlig arkitektur . Waterfall (1961) är ett bra exempel där strukturen mestadels är isometrisk, medan den bleka bakgrunden använder perspektivprojektion. En annan fördel är att även nybörjare i ritning enkelt kan bygga 60° vinklar med bara en kompass och rätsida .

Isometrisk projektion i datorspel och pixelkonst

Inom datorspel och pixelkonst har axonometrisk projektion varit ganska populärt på grund av den lätthet med vilken 2D - sprites och kakelgrafik kan användas för att representera en 3D -spelmiljö – eftersom objekt inte ändrar storlek när de rör sig över spelet fältet behöver datorn inte skala sprites eller utföra de beräkningar som krävs för att modellera visuellt perspektiv . Detta gjorde det möjligt för äldre 8-bitars och 16-bitars spelsystem (och senare handhållna spelsystem ) att enkelt visa stora 3D-utrymmen. Även om djupförvirring (se ovan ) ibland kan vara ett problem, kan bra speldesign mildra det. Med tillkomsten av kraftfullare grafiksystem började den axonometriska projektionen tappa mark.

Projektion i datorspel skiljer sig vanligtvis något från "äkta" isometrisk projektion på grund av rastergrafikens begränsningar - linjer längs x- och y -axlarna skulle inte ha ett snyggt pixelmönster om de ritades i en vinkel på 30 ° mot horisontalplanet. Även om moderna datorer kan fixa detta problem med kantutjämning , stödde tidigare datorgrafik inte ett tillräckligt färgomfång eller hade inte tillräckligt med processorkraft för att utföra det. Istället användes ett 2:1 pixelmönsterförhållande för att rita x- och y -axlarna, vilket resulterade i att dessa axlar var vid arctan 0,5 ≈ 26,565° mot horisontalplanet. (Spelsystem med icke -kvadratiska pixlar kan dock resultera i andra vinklar, inklusive helt isometriska [4] ). Eftersom endast två av de tre vinklarna mellan axlarna (116.565°, 116.565°, 126.87°) är lika här, karakteriseras denna typ av projektion mer exakt som en variation av den dimetriska projektionen . De flesta medlemmar av datorspels- och rastergrafikgemenskaperna fortsätter dock att hänvisa till denna projektion som "isometriskt perspektiv". Även termerna " 3/4 view " och " 2.5D " används ofta.

Termen har även tillämpats på spel som inte använder det 2:1-bildförhållande som är vanligt för många datorspel. Fallout [5] och SimCity 4 [6] , som använder trimetrisk projektion , har hänvisats till som "isometrisk". Snedprojektionsspel som The Legend of Zelda: A Link to the Past [7] och Ultima Online [8] , samt spel med flygperspektivprojektion, som The Age of Decadence ] Silent Storm [10] , kallas också ibland för isometrisk eller "pseudo-isometrisk".

Ett intressant exempel på användningen av isometriska projektionsfunktioner observeras i spelet echochrome (無限回廊 mugen kairo: ) . Spelets slogan är "I den här världen blir det du ser verklighet." Meningen med spelet är att illusionen som uppstår när man tittar på en isometriskt konstruerad tredimensionell nivå från en viss punkt upphör att vara en illusion. Om du till exempel ser på nivån på ett sådant sätt att banor som är på olika höjd ser ut att vara på samma höjd (se bilden med de blå och röda bollarna från föregående avsnitt), kommer de att betraktas av spelet är på samma höjd, och en person (spelare) kan enkelt "kliva över" från en plattform till en annan. Sedan, om du vänder nivåkartan och tittar på konstruktionen så att du tydligt kan se skillnaden i höjd, kan du förstå att personen i verkligheten "klev över" till en annan höjd, och utnyttjade det faktum att den isometriska illusionen blev verklighet någon gång. På ramen från spelet som visas som en illustration, kan plattformens position högst upp på trappan representeras på två sätt: i ett fall är den på samma höjd som plattformen där spelaren befinner sig ( du kan kliva över), och i det andra fallet, under den (du kan hoppa över svarta hålet). Båda fallen kommer att vara sanna samtidigt. Uppenbarligen uppnås denna effekt av bristen på perspektiv i isometri.

Historia om isometriska datorspel

De första spelen som använde isometrisk projektion var arkadspelen i början av 1980 -talet: till exempel släpptes Q*bert [11] och Zaxxon [12] 1982 . Q*bert visar en statisk pyramid ritad ur ett isometriskt perspektiv som den spelarkontrollerade karaktären måste hoppa på. Zaxxon har rullningsbara isometriska nivåer med ett spelarkontrollerat flygplan som flyger över dem. Ett år senare, 1983, släpptes arkadspelet Congo Bongo[13] som kördes på samma arkadmaskiner som Zaxxon . I det här spelet rör sig karaktären genom stora isometriska nivåer som inkluderar 3D-upp- och nedgångar. Detsamma erbjuds i arkadspelet Marble Madness ( 1984 ).

Med lanseringen av Ant Attack ( 1983 ) för ZX Spectrum var isometriska spel inte längre en stapelvara i arkadmaskiner och kom även till hemdatorer . CRASH magazine belönade detta spel med 100 % i kategorin "grafik" för sin nya "3D"-teknik. [14] Ett år senare släpptes Knight Lore för ZX och anses vara en spelväxlare [15] som definierade den efterföljande genren av isometriska uppdragsspel [ 16] . Så många isometriska efterföljande spel till Knight Lore har visats på hemdatorer att spelet har kommit att anses vara den näst mest mjukvaran bakom textredigeraren [17] Bland klonerna var Head Over Heels ( 1987 ) en stor hit [18] . Men isometrisk projektion var inte begränsad till arkad- och äventyrsspel – till exempel använde 1989 års strategispel Populous också isometriskt perspektiv.

Under 1990-talet använde några mycket framgångsrika spel som Civilization II och Diablo ett fast isometriskt perspektiv. Med tillkomsten av 3D-acceleratorer på persondatorer och spelkonsoler har spel med ett 3D-perspektiv för det mesta gått över till full 3D istället för ett isometriskt perspektiv. Detta kan ses i efterföljarna till ovanstående spel - från och med Civilization IV använder den här serien full tredimensionalitet. Diablo II , som tidigare, använder ett fast perspektiv, men tillämpar valfritt perspektivskalning av sprites på avstånd, vilket ger ett pseudo-3D-perspektiv. [19]

Anteckningar

↑ 1 2 Enligt GOST 2.317-69 - Unified system for design documentation. Axonometriska projektioner.
↑ Här är horisontalplanet planet vinkelrätt mot Z-axeln (vilket är prototypen för Z'-axeln).
↑ Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek. Planar Geometric Projections and Viewing Transformations // ACM Computing Surveys (CSUR): Journal. - ACM , december 1978. - V. 10 , nr 4 . - S. 465-502 . — ISSN 0360-0300 . - doi : 10.1145/356744.356750 .
↑ Så, i den vanliga CGA / VGA 320x200-upplösningen är denna vinkel båg 0,6 ≈ 30,96°.
↑ Jeff Green. GameSpot Preview: Arcanum (engelska) (nedlänk) . GameSpot (29 februari 2000). Hämtad 29 september 2008. Arkiverad från originalet 31 augusti 2000.
↑ Steve Butts. SimCity 4 : Rush Hour Preview . IGN (9 september 2003). Datum för åtkomst: 29 september 2008. Arkiverad från originalet den 19 februari 2012.
↑ GDC 2004: Zeldas historia . IGN (25 mars 2004). Datum för åtkomst: 29 september 2008. Arkiverad från originalet den 19 februari 2012.
↑ Dave Greely, Ben Sawyer. Har Origin skapat den första riktiga onlinespelvärlden? (engelska) . Gamasutra (19 augusti 1997). Datum för åtkomst: 29 september 2008. Arkiverad från originalet den 19 februari 2012.
↑ Age of Dekadens . Iron Tower Studios . Datum för åtkomst: 29 september 2008. Arkiverad från originalet den 19 februari 2012.
↑ Steve O'Hagan. PC-förhandsvisningar: Silent Storm (engelska) . GamesRadar—CVG (7 augusti 2003). Datum för åtkomst: 29 september 2008. Arkiverad från originalet den 19 februari 2012.
↑ Q*bert på Killer List of Videogames webbplats
↑ Zaxxon på Killer List of Videogames webbplats
↑ Congo Bongo på webbplatsen Killer List of Videogames
↑ Soft Solid 3D Ant Attack // CRASH : magazine. - Februari 1984. - Nr 1 .
↑ Ultimate Play The Game - Company Lookback // Retro Micro Games Action - The Best of gamesTM Retro. - Highbury Entertainment, 2006. - T. 1 . - S. 25 .
↑ Steve Collins. Spelgrafik under 8-bitars datoreran // ACM SIGGRAPH. Datorgrafik. - Maj 1998. - T. 32 , nr 2 . Arkiverad från originalet den 9 september 2012.
↑ Krikke J. Axonometry: a matter of perspective // IEEE. Datorgrafik och applikationer. - Juli-augusti 2000. - V. 20 , nr 4 . - S. 7-11 . - doi : 10.1109/38.851742 .
↑ Letar efter en gammal vinkel // CRASH : magazine. - April 1988. - Nr 51 .
↑ Diablo II närmar sig slutförandet när Blizzard förbereder sig för slutfasen av betatestning (länk inte tillgänglig) . Market Wire (maj 2000). Hämtad 29 september 2008. Arkiverad från originalet 10 juli 2012. (obestämd)

Länkar

Introduktion till 3-dimensionell grafik (engelska) (länk ej tillgänglig) . ritningsprojekt . IDER-gruppen, Manufactuing Systems Engineering Centre, University of Hertfordshire. — Förklaring och handledning om ritning i isometriskt perspektiv från University of Hertfordshire. Hämtad 29 september 2008. Arkiverad från originalet 28 oktober 2000.
Herbert Glaner. Isometric Projection (engelska) (19 mars 2007). Datum för åtkomst: 29 september 2008. Arkiverad från originalet den 19 februari 2012.
PixelDam (engelska) . — En kollaborativ pixelart-gemenskap. Datum för åtkomst: 29 september 2008. Arkiverad från originalet den 19 februari 2012.
Tom Gersic. Rendering av isometriska plattor i Blender 3D . — En handledning med exempel på hur man skapar isometriska brickor i Blender 3D. Datum för åtkomst: 29 september 2008. Arkiverad från originalet den 19 februari 2012.

Litteratur

Bogdanov V.N., Malezhik I.F., Verkhola A.P. et al. Referensguide till ritning. - M . : Mashinostroenie, 1989. - S. 864. - ISBN 5-217-00403-7 .
Frolov S. A. Beskrivande geometri. - 2:a uppl., reviderad. och ytterligare - M . : Mashinostroenie, 1983. - S. 240.

Typer av projektioner
Parallell Rektangulär (ortogonal) sned axonometrisk Isometrisk dimetrisk Trimetrisk Perspektiv (centralt) Fisköga