Krökt koordinatsystem

Krökt koordinatsystem , eller kurvlinjära koordinater , är ett koordinatsystem i det euklidiska ( affina ) utrymmet, eller i det område som finns i det. Krökta koordinater står inte i motsats till rätlinjiga , de senare är ett specialfall av de förra. De appliceras vanligtvis på planet ( n =2) och i rymden ( n =3); antalet koordinater är lika med rymddimensionen n . Det mest kända exemplet på ett krökt koordinatsystem är polära koordinater i ett plan.

Lokala egenskaper för kurvlinjära koordinater

När vi betraktar kurvlinjära koordinater i detta avsnitt, kommer vi att anta att vi betraktar ett tredimensionellt utrymme ( n =3) utrustat med kartesiska koordinater x , y , z . Fallet med andra dimensioner skiljer sig endast i antalet koordinater.

I fallet med ett euklidiskt utrymme kommer den metriska tensorn , även kallad kvadraten på bågdifferentialen , i dessa koordinater att ha den form som motsvarar identitetsmatrisen:

dS^{2}={\mathbf {dx}}^{2}+{\mathbf {dy}}^{2}+{\mathbf {dz}}^{2}.

Allmänt fall

Låt , , vara några kurvlinjära koordinater, som vi kommer att anse ges jämna funktioner av x , y , z . För att de tre funktionerna , , ska fungera som koordinater i någon region av rymden, är förekomsten av en invers mappning nödvändig: $q_{1}$ $q_{2}$ $q_{3}$ $q_{1}$ $q_{2}$ $q_{3}$

\left\{{\begin{matrix}x=\varphi _{1}\left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right);\\y=\varphi _ {2}\left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right);\\z=\varphi _{3}\left(q_{1},\;q_{ 2},\;q_{3}\höger),\end{matris}}\höger.

där är funktioner definierade i någon domän av koordinatuppsättningar. $\varphi _{1},\;\varphi _{2},\;\varphi _{3}$ $\left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right)$

Lokal bas och tensoranalys

I tensorkalkyl kan du ange de lokala basvektorerna: , där är orterna för det kartesiska koordinatsystemet, är Jacobi-matrisen , koordinater i det kartesiska systemet, är de ingående kurvlinjära koordinaterna. Det är lätt att se att kurvlinjära koordinater i allmänhet ändras från punkt till punkt. Låt oss ange formlerna för sambandet mellan kurvlinjära och kartesiska koordinater: där , där E är identitetsmatrisen. Produkten av två vektorer på lokal bas bildar en metrisk matris : ${\mathbf {R_{j))}={\frac {d{\mathbf r}}{dy^{j}}}={\frac {dx^{i}}{dy^{j}}}{ \mathbf e}_{i}=Q_{j}^{i}{\mathbf e}_{i}$ ${\mathbf e}_{i}$ $Q_{j}^{i}$ $x^{i}$ $y^{i}$

${\mathbf R}_{i}=Q_{i}^{j}{\mathbf e}_{j}$
${\mathbf e}_{i}=P_{i}^{j}{\mathbf R}_{j}$ $P_{i}^{j}Q_{j}^{i}=E$

${\mathbf R}_{i}{\mathbf R}_{j}=Q_{i}^{n}Q_{j}^{m}d_{{nm))=g_{{ij))$
${\mathbf R}^{i}{\mathbf R}^{j}=P_{n}^{i}P_{m}^{j}d^{{nm))=g^{{ij))$
$g_{{ij}}g^{{jk}}=g^{{jk}}g_{{ij}}=d_{i}^{k}$ $d_{{ij}},d^{{ij}},d_{j}^{i}$
${\mathbf T}$
${\mathbf T}=T^{{i_{1}...i_{n))}{\mathbf e}_{i}\otimes ...\otimes {\mathbf e}_{n}=T ^{{i_{1}...i_{n}}}P_{{i_{1}}}^{{j_{1}}}...P_{{i_{n}}}^{{j_ {n}}}{\mathbf R}_{{j_{1}}}\otimes ...\otimes {\mathbf R}_{{j_{n}}}$

${\mathbf v}=v^{i}{\mathbf e}_{i}=v^{i}P_{i}^{j}{\mathbf R}_{j}$

Ortogonala kurvlinjära koordinater

I det euklidiska rummet är användningen av ortogonala krökta koordinater av särskild betydelse , eftersom formler som hänför sig till längd och vinklar ser enklare ut i ortogonala koordinater än i det allmänna fallet. Detta beror på det faktum att den metriska matrisen i system med ortonormal bas kommer att vara diagonal, vilket avsevärt kommer att förenkla beräkningarna.
Ett exempel på sådana system är ett sfäriskt system i ${\mathbb {R}}^{3}$

Lama odds

Vi skriver bågdifferentialen i kurvlinjära koordinater i formen (med Einsteins summationsregel ):

dS^{2}=\left({\frac {\partial \varphi _{1)){\partial q_{i))}{\mathbf {dq))_{i}\right)^{2}+ \left({\frac {\partial \varphi _{2)){\partial q_{i))}{\mathbf {dq))_{i}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial q_{i}}}{\mathbf {dq}}_{i}\right)^{2},~i=1,2,3

Med hänsyn till ortogonaliteten hos koordinatsystemen ( vid ), kan detta uttryck skrivas om som ${\mathbf {dq}}_{i}\cdot {\mathbf {dq}}_{j}=0$ $i \ne j$

dS^{2}=H_{1}^{2}dq_{1}^{2}+H_{2}^{2}dq_{2}^{2}+H_{3}^{2}dq_{ 3}^{2},

var

H_{i}={\sqrt {\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial q_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\ partial \varphi _{2}}{\partial q_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial q_{i}}} \höger)^{2}}};\ i=1,\;2,\;3

Positiva värden beroende på en punkt i rymden kallas Lame- koefficienter eller skalfaktorer. Lame-koefficienterna visar hur många längdenheter som finns i koordinatenheten för en given punkt och används för att transformera vektorer när man flyttar från ett koordinatsystem till ett annat. $Hej\$

Tensorn för Riemann-metriken, skriven i koordinater , är en diagonal matris , på vars diagonal är kvadraterna på Lamé-koefficienterna: ${q_{i}}$

g_{{ii}}={H_{i}}^{2}

g_{{ij}}=0

för i ≠ j

, det är

g_{{ij}}={\begin{pmatrix}{H_{1}}^{2}&0&0\\0&{H_{2}}^{2}&0\\0&0&{H_{3}}^{2 }\end{pmatrix}}

Exempel

Polära koordinater ( n =2)

Polära koordinater i planet inkluderar avståndet r till polen (ursprung) och riktningen (vinkeln) φ.

Anslutning av polära koordinater med kartesiska:

\left\{{\begin{matrix}x=r\cos {\varphi };\\y=r\sin {\varphi }.\end{matrix}}\right.

Lama koefficienter:

{\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\varphi }=r.\end{matrix))

Bågsifferential:

dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\varphi ^{2}.

Vid origo är funktionen φ inte definierad. Om koordinaten φ inte anses vara ett tal, utan en vinkel (en punkt på en enhetscirkel ), så bildar polära koordinater ett koordinatsystem i området som erhålls från hela planet genom att ta bort utgångspunkten. Om φ ändå betraktas som ett tal, kommer det i det angivna området att vara flervärdigt , och konstruktionen av ett koordinatsystem strikt i matematisk mening är endast möjlig i ett enkelt sammankopplat område som inte inkluderar ursprunget för koordinater, för till exempel på ett plan utan stråle .

Cylindriska koordinater ( n =3)

Cylindriska koordinater är en trivial generalisering av polära koordinater till fallet med tredimensionellt rymd genom att lägga till en tredje koordinat z . Förhållandet mellan cylindriska koordinater och kartesiska:

{\begin{cases}&x=r\cos {\varphi };\\&y=r\sin {\varphi };\\&z=z.\end{cases))

Lama koefficienter:

{\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\varphi }=r;\\H_{z}=1.\end{matrix))

Bågsifferential:

dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\varphi ^{2}+dz^{2}.

Sfäriska koordinater ( n =3)

Sfäriska koordinater är relaterade till latitud- och longitudkoordinater på enhetssfären . Anslutning av sfäriska koordinater med kartesiska:

\left\{{\begin{matrix}x=r\sin {\theta }\cos {\varphi};\\y=r\sin {\theta}\sin {\varphi};\\z=r\ cos {\theta }.\end{matris}}\right.

Lama koefficienter:

{\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\theta }=r;\\H_{\varphi }=r\sin {\theta }.\end{matris))

Bågsifferential:

dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}{\theta }d\varphi ^{2 }.

Sfäriska koordinater, liksom cylindriska koordinater, fungerar inte på z -axeln { x =0, y =0}, eftersom φ-koordinaten inte är definierad där.

Olika exotiska koordinater i planet ( n =2) och deras generaliseringar

Ortogonal:

Elliptiska koordinater - expanderbar till 3 dimensioner
Paraboliska koordinater - expanderbar till 3 dimensioner
Bipolära koordinater - expanderbar till 3 dimensioner
…

Övriga:

…

Kurvilinjära koordinater i termer av differentialgeometri

Krökta koordinater som definieras i olika regioner av det euklidiska (affina) utrymmet kan betraktas som en tillämpning på utrymmet av konceptet med ett jämnt grenrör . Nämligen hur man bygger en atlas över kartor .

Litteratur

Korn G., Korn T. Handbok i matematik (för vetenskapsmän och ingenjörer). - M. : Nauka, 1974. - 832 sid.

Koordinatsystem
Namn på koordinater	Abskissa Ordinera Applikation
Typer av koordinatsystem	Rättlinjigt koordinatsystem Krökt koordinatsystem
2D-koordinater	Biangulära koordinater Bicentriska koordinater Hyperboliska koordinater Polära koordinater Bipolära koordinater Paraboliska koordinater Elliptiska koordinater Tetracykliska koordinater Trilinjära koordinater
3D-koordinater	Cylindriska koordinater Sfäriska koordinater Bisfäriska koordinater Toroidformade koordinater Cylindriska paraboliska koordinater Bicylindriska koordinater Ellipsoidala koordinater Koniska koordinater Pentasfäriska koordinater Dipolärt koordinatsystem
$n$ -dimensionella koordinater	kartesiska koordinater Affina koordinater Projektiva koordinater Plücker-koordinater barycentriska koordinater
Fysiska koordinater	Rindler koordinater Födda koordinater Himmelskt koordinatsystem Geografiska koordinater Huvudortodromt koordinatsystem
Relaterade definitioner	Koordinatmetod Ursprung Koordinataxel Vektor Orth referenssystem Benchmark Lama koefficienter Metrisk tensor