Krökt koordinatsystem , eller kurvlinjära koordinater , är ett koordinatsystem i det euklidiska ( affina ) utrymmet, eller i det område som finns i det. Krökta koordinater står inte i motsats till rätlinjiga , de senare är ett specialfall av de förra. De appliceras vanligtvis på planet ( n =2) och i rymden ( n =3); antalet koordinater är lika med rymddimensionen n . Det mest kända exemplet på ett krökt koordinatsystem är polära koordinater i ett plan.
När vi betraktar kurvlinjära koordinater i detta avsnitt, kommer vi att anta att vi betraktar ett tredimensionellt utrymme ( n =3) utrustat med kartesiska koordinater x , y , z . Fallet med andra dimensioner skiljer sig endast i antalet koordinater.
I fallet med ett euklidiskt utrymme kommer den metriska tensorn , även kallad kvadraten på bågdifferentialen , i dessa koordinater att ha den form som motsvarar identitetsmatrisen:
Låt , , vara några kurvlinjära koordinater, som vi kommer att anse ges jämna funktioner av x , y , z . För att de tre funktionerna , , ska fungera som koordinater i någon region av rymden, är förekomsten av en invers mappning nödvändig:
där är funktioner definierade i någon domän av koordinatuppsättningar.
Lokal bas och tensoranalysI tensorkalkyl kan du ange de lokala basvektorerna: , där är orterna för det kartesiska koordinatsystemet, är Jacobi-matrisen , koordinater i det kartesiska systemet, är de ingående kurvlinjära koordinaterna.
Det är lätt att se att kurvlinjära koordinater i allmänhet ändras från punkt till punkt.
Låt oss ange formlerna för sambandet mellan kurvlinjära och kartesiska koordinater: där , där E är identitetsmatrisen.
Produkten
av två vektorer på lokal bas
bildar en metrisk matris :
I det euklidiska rummet är användningen av ortogonala krökta koordinater av särskild betydelse , eftersom formler som hänför sig till längd och vinklar ser enklare ut i ortogonala koordinater än i det allmänna fallet. Detta beror på det faktum att den metriska matrisen i system med ortonormal bas kommer att vara diagonal, vilket avsevärt kommer att förenkla beräkningarna.
Ett exempel på sådana system är ett sfäriskt system i
Vi skriver bågdifferentialen i kurvlinjära koordinater i formen (med Einsteins summationsregel ):
Med hänsyn till ortogonaliteten hos koordinatsystemen ( vid ), kan detta uttryck skrivas om som
var
Positiva värden beroende på en punkt i rymden kallas Lame- koefficienter eller skalfaktorer. Lame-koefficienterna visar hur många längdenheter som finns i koordinatenheten för en given punkt och används för att transformera vektorer när man flyttar från ett koordinatsystem till ett annat.
Tensorn för Riemann-metriken, skriven i koordinater , är en diagonal matris , på vars diagonal är kvadraterna på Lamé-koefficienterna:
för i ≠ j |
, det är |
Polära koordinater i planet inkluderar avståndet r till polen (ursprung) och riktningen (vinkeln) φ.
Anslutning av polära koordinater med kartesiska:
Lama koefficienter:
Bågsifferential:
Vid origo är funktionen φ inte definierad. Om koordinaten φ inte anses vara ett tal, utan en vinkel (en punkt på en enhetscirkel ), så bildar polära koordinater ett koordinatsystem i området som erhålls från hela planet genom att ta bort utgångspunkten. Om φ ändå betraktas som ett tal, kommer det i det angivna området att vara flervärdigt , och konstruktionen av ett koordinatsystem strikt i matematisk mening är endast möjlig i ett enkelt sammankopplat område som inte inkluderar ursprunget för koordinater, för till exempel på ett plan utan stråle .
Cylindriska koordinater är en trivial generalisering av polära koordinater till fallet med tredimensionellt rymd genom att lägga till en tredje koordinat z . Förhållandet mellan cylindriska koordinater och kartesiska:
Lama koefficienter:
Bågsifferential:
Sfäriska koordinater är relaterade till latitud- och longitudkoordinater på enhetssfären . Anslutning av sfäriska koordinater med kartesiska:
Lama koefficienter:
Bågsifferential:
Sfäriska koordinater, liksom cylindriska koordinater, fungerar inte på z -axeln { x =0, y =0}, eftersom φ-koordinaten inte är definierad där.
Ortogonal:
Övriga:
…
Krökta koordinater som definieras i olika regioner av det euklidiska (affina) utrymmet kan betraktas som en tillämpning på utrymmet av konceptet med ett jämnt grenrör . Nämligen hur man bygger en atlas över kartor .
Koordinatsystem | |
---|---|
Namn på koordinater | |
Typer av koordinatsystem | |
2D-koordinater | |
3D-koordinater |
|
-dimensionella koordinater | |
Fysiska koordinater |
|
Relaterade definitioner |