Sfäriskt koordinatsystem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 december 2020; verifiering kräver 1 redigering .

Ett sfäriskt koordinatsystem är ett tredimensionellt koordinatsystem där varje punkt i rymden definieras av tre siffror , där är avståndet till origo (radialt avstånd), och och är zenit- respektive azimutvinklarna . $(r,\;\theta ,\;\varphi )$ $r$ $\theta$ $\varphi$

Begreppen zenit och azimut används i stor utsträckning inom astronomi . Zenith - riktningen för den vertikala höjningen över en godtyckligt vald punkt (observationspunkt) som hör till grundplanet . Som grundplan inom astronomi kan man välja det plan som ekvatorn ligger i, eller det plan som horisonten ligger i, eller ekliptikans plan etc, vilket ger upphov till olika system av himmelska koordinater. Azimut är vinkeln mellan en godtyckligt vald stråle av grundplanet med origo vid observationspunkten och en annan stråle i detta plan som har ett gemensamt ursprung med det första.

Om vi betraktar det sfäriska koordinatsystemet med avseende på det kartesiska systemet , kommer grundplanet att vara planet , zenitvinkeln för punkten som ges av radievektorn kommer att vara vinkeln mellan och axeln , och azimuten kommer att vara vinkeln mellan projektionen på planet och axeln . Detta förklarar namnen på vinklarna och att det sfäriska koordinatsystemet kan tjäna som en generalisering av många slags himmelska koordinatsystem . $Oxyz$ $xy$ $P$ $P$ $z$ $P$ $xy$ $x$

Definitioner

Positionen för en punkt i det sfäriska koordinatsystemet bestäms av trippeln , där $P$ $(r,\;\theta ,\;\varphi )$

$r\geqslant 0$ är avståndet från koordinaternas ursprung till den givna punkten . $P$
$0^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }$ är vinkeln mellan axeln och segmentet som förbinder origo och punkt . $z$ $P$
$0^{\circ }\leqslant \varphi <360^{\circ }$ är vinkeln mellan axeln och projektionen av segmentet som förbinder ursprunget för koordinater med punkten på planet (se fig. 1). $x$ $P$ $xy$

Vinkeln kallas zenit , eller polär , den kan också kallas lutning , eller kolatitud , och vinkeln är azimut . Vinklarna och är inte definierade vid , och vinkeln vid (det vill säga vid eller ) definieras inte heller. $\theta$ $\varphi$ $\theta$ $\varphi$ $r=0$ $\varphi$ $\sin(\theta )=0$ $\theta=0$ $\theta =180^{\circ }$

Ett sådant avtal fastställs i standarden ( ISO 31-11 ). Dessutom kan konventionen användas när istället för zenitvinkeln används vinkeln mellan punktens radievektor och planet , lika med . Det kallas latitud och kan betecknas med samma bokstav . Latitud kan variera inom . Enligt denna konvention spelar vinklarna och ingen roll när , precis som i det första fallet, men spelar ingen roll när (det vill säga när eller ). $\theta$ $P$ $xy$ $90^{\circ }-\theta$ $\theta$ $-90^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }$ $\theta$ $\varphi$ $r=0$ $\varphi$ $\cos(\theta )=0$ $\theta =-90^{\circ }$ $\theta =90^{\circ }$

Övergång till andra koordinatsystem

Kartesiskt koordinatsystem

Om de sfäriska koordinaterna för punkten är givna , utförs övergången till kartesisk enligt formlerna: $(r,\;\theta ,\;\varphi )$

{\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ,\\y=r\sin \theta \sin \varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases))

Omvänt, från kartesisk till sfärisk:

{\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta =\arccos {\dfrac {z}{\ sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))=\mathrm {arctg} {\dfrac {\sqrt {x^{2}+y^{2))}{z )),\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}}.\end{cases}}

Jacobian av omvandlingen till sfäriska koordinater är

{\begin{alignedat}{2}J&={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )))={\begin{vmatrix}\ sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \ theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{vmatrix}}=\\&=\cos \theta (r^{2}\cos \varphi ^{2}\cos \theta \sin \theta +r^{2}\sin ^{2}\varphi \cos \theta \sin \theta )+r\sin \theta (r\sin ^{2}\theta \cos ^{2 }\varphi +r\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi )=\\&=r^{2}\cos ^{2}\theta \sin \theta +r^{2} \sin ^{2}\theta \sin \theta =\\&=r^{2}\sin \theta .\end{aligned}}

Således kommer volymelementet i övergången från kartesiska till sfäriska koordinater att se ut så här:

\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \, \mathrm {d} \varphi

Cylindriskt koordinatsystem

Om de sfäriska koordinaterna för punkten anges, utförs övergången till cylindriska enligt formlerna:

{\begin{cases}\rho =r\sin \theta ,\\\varphi =\varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases))

Tillbaka från cylindrisk till sfärisk:

{\begin{cases}r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2))},\\\theta =\mathrm {arctg} {\dfrac {\rho }{z} },\\\varphi =\varphi .\end{cases}}

Jacobian transformation från sfärisk till cylindrisk . $J=r$

Differentiella egenskaper

Vektorn som ritas från punkt till punkt är lika med $\mathrm {d} \mathbf {r}$ $(r,\theta ,\varphi )$ $(r+\mathrm {d} r,\,\theta +\mathrm {d} \theta ,\,\varphi +\mathrm {d} \varphi )$

\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\boldsymbol {\hat {r}}}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\boldsymbol {\hat { \theta ))}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\boldsymbol {\hat {\varphi }}} ,

var

{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r))}=\sin \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath ))}+\sin \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath ))}+\cos \theta {\boldsymbol {\hat {k))))

{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\ hatt {\jmath ))}-\sin \theta {\boldsymbol {\hat {k))))

{\boldsymbol {\hat {\varphi ))}=-\sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath ))}+\cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath ))}

ortogonala enhetsvektorer av sfäriska koordinater i ökningsriktningen , respektive, och är enhetsvektorer av kartesiska koordinater. Sfäriska koordinater är ortogonala, så den metriska tensorn har en diagonal form i dem: $r,\theta ,\varphi$ ${\boldsymbol {\hat {\imath }}},{\boldsymbol {\hat {\jmath }}},{\boldsymbol {\hat {k}}}$

g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix)),\quad g^{ij}= {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\dfrac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }} \end{pmatrix}}

$\det(g_{ij})=r^{4}\sin ^{2}\theta .\$
Båglängdsdifferens i kvadrat:

ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}.

Lama koefficienter :

H_{r}=1,\quad H_{\theta }=r,\quad H_{\varphi }=r\sin \theta .

Christoffel symboler : $\{r,\;\theta ,\;\varphi \}$

\Gamma _{22}^{1}=-r,\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta ,

\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1} {r}},

\Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta ,\quad \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\mathrm {ctg} \,\theta .

Resten är noll.

Matematisk modellering av jorden

Sfäriskt geografiskt koordinatsystem

Det sfäriska geografiska koordinatsystemet är konstruerat enligt följande [1] :

dess början är placerad i jordens mitt ;
polaxeln är riktad längs jordens rotationsaxel ;
koordinaten mäts längs radievektorn ritad från jordens centrum; $r$
den polära vinkeln är kolatituden (komplementet av geografisk latitud till ); $\theta$ $90^{\cirkel }$
azimutvinkeln sammanfaller med geografisk longitud (öst). $\varphi$

Den magnetiska induktionsvektorn för jordens magnetfält har komponenter $\mathbf {B}$

B_{r}=-B\sin I,\;B_{\theta }=-B\cos I\cos D,\;B_{\varphi }=B\cos I\sin D,

var är den magnetiska lutningen ; - magnetisk deklination . $jag$ $D$

Komponenterna i accelerationsvektorn för fritt fall är ${\mathbf {g}}$

g_{r}=-g,\;g_{\theta }=g_{\varphi }=0.

Slutligen är komponenterna i jordens vinkelhastighetsvektor : $\mathbf {\Omega }$

\Omega _{r}=\Omega \cos \theta ,\;\Omega _{\theta }=-\Omega \sin \theta ,\;\Omega _{\varphi }=0.

I sfäriska geografiska koordinater är det optimalt att lösa ekvationer som beskriver beteendet hos neutrala partiklar i rymden nära jorden [1] .

Sfäriskt geomagnetiskt koordinatsystem

Det sfäriska geomagnetiska koordinatsystemet är konstruerat enligt följande [1] :

dess början är placerad i jordens mitt ;
den polära axeln är riktad längs axeln för jordens magnetiska dipol (geomagnetisk axel), som passerar genom de magnetiska polerna ;
koordinaten mäts längs radievektorn ritad från jordens centrum; $r$
den polära vinkeln är den geomagnetiska kolatituden (komplementet av den magnetiska latituden till ); $\Theta$ $\Phi$ $90^{\circ }\colon \;\Theta =\pi /2-\Phi$
azimutvinkeln sammanfaller med den geomagnetiska longituden uppmätt öster om planet på västra halvklotet som innehåller de geografiska och geomagnetiska polerna. $\lambda$

De geografiska koordinaterna för den nordmagnetiska polen är

\theta _{0}=4.6^{\circ },\;\varphi _{0}=43.0^{\circ }\;(2012).

I det sfäriska geomagnetiska koordinatsystemet, deklination och $D=0$

B_{r}=-B\sin I,\;B_{\Theta }=-B\cos I,\;B_{\Lambda }=0,

g_{r}=-g,\;g_{\Theta }=g_{\Lambda }=0.

\Omega _{r}=\Omega (\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda ),

\Omega _{\Theta }=-\Omega (\cos \theta _{0}\sin \Theta +\sin \theta _{0}\cos \Theta \cos \Lambda ),

\Omega _{\Lambda }=\Omega \sin \theta _{0}\sin \Lambda .

Formler som relaterar geografiska och geomagnetiska sfäriska koordinater [1] :

\cos \Theta =\cos \theta _{0}\cos \theta +\sin \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0}),

\cos \Lambda ={\frac {-\sin \theta _{0}\cos \theta +\cos \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0} )}{\sin \Theta )),

\cos \theta =\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda ,

\cos(\varphi -\varphi _{0})={\frac {\sin \theta _{0}\cos \Theta +\cos \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda }{\sin \theta )).

I sfäriska geomagnetiska koordinater är det lättare än i sfäriska geografiska koordinater att beskriva effekten av det geomagnetiska fältet på laddade partiklar i rymden nära jorden [1] .

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 5 Bryunelli B. E., Namgaladze A. A. Jonosfärens fysik. Moskva: Nauka, 1988. § 3.5, s. 172-173. ISBN 5-02-000716-1

Länkar

Weisstein, Eric W. Sfäriska koordinater på Wolfram MathWorld .

Koordinatsystem
Namn på koordinater	Abskissa Ordinera Applikation
Typer av koordinatsystem	Rättlinjigt koordinatsystem Krökt koordinatsystem
2D-koordinater	Biangulära koordinater Bicentriska koordinater Hyperboliska koordinater Polära koordinater Bipolära koordinater Paraboliska koordinater Elliptiska koordinater Tetracykliska koordinater Trilinjära koordinater
3D-koordinater	Cylindriska koordinater Sfäriska koordinater Bisfäriska koordinater Toroidformade koordinater Cylindriska paraboliska koordinater Bicylindriska koordinater Ellipsoidala koordinater Koniska koordinater Pentasfäriska koordinater Dipolärt koordinatsystem
$n$ -dimensionella koordinater	kartesiska koordinater Affina koordinater Projektiva koordinater Plücker-koordinater barycentriska koordinater
Fysiska koordinater	Rindler koordinater Födda koordinater Himmelskt koordinatsystem Geografiska koordinater Huvudortodromt koordinatsystem
Relaterade definitioner	Koordinatmetod Ursprung Koordinataxel Vektor Orth referenssystem Benchmark Lama koefficienter Metrisk tensor

Himmelsk mekanik

Lagar och uppgifter	Newtons lagar Tyngdlagen Keplers lagar Två kroppsproblem Tre kroppsproblem Gravitationsproblem med N-kroppar Bertrands problem Keplers ekvation
Himmelssfär	Himmelskt koordinatsystem galaktisk horisontell ekvatorial ekliptika Internationellt himmelsk koordinatsystem Sfäriskt koordinatsystem världsaxeln Himmelska ekvatorn rätt uppstigning deklination Ekliptika Dagjämning Solstånd grundplan
Orbitparametrar _	Kepleriska element i omloppsbanan excentricitet halvstor axel betyda anomali stigande nod longitud periapsis argument Apocenter och periapsis Orbital hastighet Orbit nod Epok
Rörelse av himlakroppar	Solens och planeternas rörelse i himmelssfären Efemerid Planetkonfigurationer konfrontation förening kvadratur förlängning parad av planeter Förmörkelse solförmörkelse månförmörkelse saros Metonisk cykel Beläggning Genomgång klimax siderisk period synodisk period Rotationsperiod orbital resonans Equinox Prelude Närmande librering Tyngdkraftens omfattning Kozai effekt Yarkovsky effekt Dzhanibekov-effekt

Astrodynamik

Rymdfärd	rymdhastighet första (cirkulär) andra (parabolisk) tredje fjärde Tsiolkovskys formel Tyngdkraftsmanöver Hohmanns bana Metod för att oskulera element Tidvattenacceleration Orbital lutning förändring Interplanetära transportnät Dockning Lagrange poäng Pionjäreffekt
SC -banor	geostationär bana Heliocentrisk bana geosynkron bana geocentrisk bana geoöverföringsbana Låg jordbana polär bana Bana "Tundra" Solsynkron bana Orbit "Lightning" Oskulerande bana