Automorfism

Automorfism är en isomorfism mellan ett matematiskt objekt och sig själv; en mappning som ändrar ett objekt samtidigt som alla dess ursprungliga egenskaper bibehålls. Uppsättningen av alla automorfismer hos ett objekt bildar automorfismgruppen , som kan ses som en generalisering av objektets symmetrigrupp .

Den exakta definitionen av en automorfism beror på typen av matematiskt objekt och sammanhanget. I universell algebra definieras en automorfism som en bijektiv homomorfism av ett algebraiskt system på sig själv. Identitetskartläggningen kallas ibland för en trivial automorfism ; följaktligen sägs icke-identiska automorfismer vara icke-triviala .

En automorfism i kategoriteorin definieras som en endomorfism , vilket också är en isomorfism .

Om automorfismerna för ett objekt i en kategori bildar en uppsättning , bildar de en grupp med avseende på hur sammansättningen av morfismer fungerar - en automorfismgrupp (eller helt enkelt , om kategorin är tydlig från sammanhanget). $X$ $C$ $\operatorname {Aut} _{C}(X)$ $\operatörsnamn {Aut}(X)$

Den första välkända gruppautomorfismen som beskrivs är den andra ordningens automorfism i icosian , upptäckt av Hamilton 1856 [1] .

Exempel

I mängdteorin är en godtycklig permutation av elementen i en mängd en automorfism. Automorfismgruppen kallas också den symmetriska gruppen på . $X$ $X$ $X$

Uppsättningen av heltal , betraktad som en grupp genom addition, har en enda icke-trivial automorfism: tar motsatsen i tecken. Men betraktad som en ring har den bara en trivial automorfism. Generellt sett är att ta motsatsen en automorfism för vilken abelsk grupp som helst , men inte för en ring eller ett fält. $\mathbb {Z}$

En gruppautomorfism är en gruppisomorfism av en grupp på sig själv; "permutation" av elementen i gruppen, där strukturen förblir oförändrad. För varje grupp finns det en naturlig grupphomomorfism vars bild är gruppen av inre automorfismer och vars kärna är gruppens centrum . Således, om en grupp a har ett trivialt centrum, kan det bäddas in i en riktig automorfismgrupp [2] . $G$ $G\to \operatörsnamn {Aut} (G)$ $\operatörsnamn{Inn}(G)$ $G$ $G$

I linjär algebra är en vektorrumsendomorfism en linjär operator . I detta sammanhang är en automorfism en reversibel linjär operator på . När vektorrummet är ändligt dimensionellt är automorfismgruppen densamma som den allmänna linjära gruppen . (Den algebraiska strukturen som består av alla endomorfismer av , är i sig en algebra över samma fält som , vars inverterbara element består exakt av .) $V$ $V\to V$ $V$ $V$ $\operatörsnamn {GL} (V)$ $V$ $V$ $\operatörsnamn {GL} (V)$

En fältautomorfism är en bijektiv ringhomomorfism av ett fält i sig själv. När det gäller rationella tal och reella tal finns det inga icke-triviala automorfismer av dessa fält. Vissa delfält har icke-triviala automorfismer, som dock inte sträcker sig till allt (till exempel eftersom dessa automorfismer inte bevarar egenskapen hos ett tal att ha en kvadratrot i ). När det gäller komplexa tal, finns det en enda icke-trivial automorfism som översätts till : komplex konjugation , men det finns en oändlig ( oräknelig ) uppsättning "vilda" automorfismer (förutsatt att man antar valets axiom ) [3] [4] . Fältautomorfismer är viktiga för teorin om fältförlängningar , i synnerhet Galois-förlängningar . I fallet med en Galois-förlängning kallas undergruppen av alla automorfismer som fixerar punktvis för förlängningens Galois-grupp . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $L/K$ $L$ $K$

Automorfismgruppen av quaternions ( ) som ringar är inre automorfismer enligt Skolem-Noether-satsen : kartläggningar av formen [5] . Denna grupp är isomorf till , gruppen av rotationer i tredimensionellt utrymme. $H$ $a\to bab^{-1}$ $\operatörsnamn {SO} (3)$

Octonion automorfismgruppen ( ) är en exceptionell Lie-grupp G2 . $O$

En viktig roll i ordningsteorin spelas av en ordningsautomorfism , en automorfism av delvis ordnade mängder som bevarar ordningsrelationen.

I grafteorin är en grafautomorfism en permutation av noder som bevarar kanter och icke-kanter. I synnerhet, om två noder är förbundna med en kant, så är deras mappningar efter applicering av automorfismen också sammankopplade med en kant. I det här fallet fungerar automorfismen som en omnumrering eller permutation av toppen av en graf.

Inom geometri kallas en automorfism för en rymdrörelse . Specialiserad terminologi används också: i kategorin Riemann ytor är en automorphism en biholomorphic kartläggning (även kallad en konform kartläggning ) från en ytbehandlad på sig själv. Till exempel är automorfismer av Riemann-sfären Möbius-transformationer . En automorfism av ett differentierbart mångfald är en diffeomorfism inifrån sig själv. Automorfismgruppen betecknas ibland med . $M$ $M$ $\operatorname {Diff} (M)$

I topologi kallas morfismer mellan topologiska utrymmen kontinuerliga avbildningar , och en automorfism av ett topologiskt utrymme är en homeomorfism av ett utrymme in i sig själv. Detta är ett exempel på att det inte alltid räcker med att en morfism är bijektiv för att den ska vara en isomorfism.

Inre och yttre automorfismer

I vissa algebraiska system, inklusive grupper , ringar och Lie-algebras , kan automorfismer delas in i två typer - inre och yttre.

När det gäller grupper är inre automorfismer konjugationer med hjälp av element i själva gruppen. För varje element i gruppen är konjugering med en operation definierad som (eller ; beror på källan). Det är lätt att kontrollera att konjugering med är en gruppautomorfism. Interna automorfismer bildar en normal undergrupp av gruppen , betecknad med ; detta beskrivs av Goursats lemma . $a$ $G$ $a$ $\phi _{a}:G\to G$ ${\displaystyle \phi _{a}(g)=aga^{-1))$ $a^{-1}ga$ $a$ $\operatorname {Aut} (G)$ $\operatörsnamn{Inn}(G)$

De återstående automorfismerna kallas yttre automorfismer. En faktorgrupp betecknas vanligtvis ; icke-triviala element är cosets som innehåller yttre automorfismer. $\operatörsnamn {Aut} (G)/\operatörsnamn {Inn} (G)$ $\operatörsnamn{Out}(G)$

Samma definition är vettig i vilken ring som helst med en enhet eller i ett fält där vilket element som helst är inverterbart . För Lie-algebror är definitionen något annorlunda.

Litteratur

↑ Sir William Rowan Hamilton (1856). "Memorandum som respekterar ett nytt system av enhetsrötter" (PDF) . Filosofisk tidskrift . 12 :446.
...så det är en ny femte roten till enhet, kopplad till den tidigare femte roten genom relationer av perfekt ömsesidighet. $\mu$ $\lambda$
↑ PJ Pahl, R Damrath. §7.5.5 Automorfismer // Matematiska grunder för beräkningsteknik . — Felix Pahl översättning. - Springer, 2001. - S. 376 . — ISBN 3-540-67995-2 .
↑ Yale, Paul B. (maj 1966). "Automorfismer av de komplexa talen" (PDF) . Matematiktidningen . 39 (3): 135-141. DOI : 10.2307/2689301 . JSTOR 2689301 .
↑ Lounesto, Pertti. Clifford Algebras och Spinors . — 2:a. - Cambridge University Press, 2001. - S. 22-23 . - ISBN 0-521-00551-5 .
↑ Handbook of Algebra , vol. 3, Elsevier , 2003, sid. 453

Länkar

Artamonov V. A. . Kapitel VI. Universal Algebras // Allmän algebra / Ed. ed. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Referens matematiskt bibliotek). — 25 000 exemplar. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Ett algebraiskt automorfismsystem är en artikel från Encyclopedia of Mathematics . D. M. Smirnov
Plotkin BI Automorfismgrupper av algebraiska system. — M .: Nauka , 1966. — 603 sid. - 6000 exemplar.