Inskriven cirkel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 3 december 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

En cirkel kallas inskriven i en vinkel om den ligger innanför vinkeln och berör dess sidor. Mitten av en cirkel inskriven i en vinkel ligger på halveringslinjen för den vinkeln.

En cirkel kallas inskriven i en konvex polygon om den ligger inuti den givna polygonen och berör alla dess sidor.

I en polygon

Om en cirkel kan inskrivas i en given konvex polygon, skärs halveringslinjerna för alla inre vinklar av den givna polygonen i en punkt, som är centrum för den inskrivna cirkeln.

Radien för en cirkel inskriven i en polygon är lika med förhållandet mellan dess area och dess semiperimeter : $S$ $sid$

r={\frac {S}{p}}

I triangeln

Inskrivna cirkelegenskaper:

Varje triangel kan inskrivas med en cirkel, och endast en.
Mitten av den inskrivna cirkeln är lika långt från alla sidor och är skärningspunkten för triangelns bisektrar . $jag$
Radien för en cirkel inskriven i en triangel är: $r$

r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}{4(a+b+c)))};

{\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c} }}

var är triangelns sidor, är höjderna ritade till motsvarande sidor [1] ; $a,b,c$ $h_{a},h_{b},h_{c}$

r={\frac {S}{p}}={\sqrt {{\frac {(pa)(pb)(pc)}{p}}}}

var är arean av triangeln och är dess semiperimeter.

S

sid

r={\frac {pa}{\operatörsnamn {ctg} (\alpha /2)))={\frac {pb}{\operatörsnamn {ctg} (\beta /2)))={\frac {pc}{\operatörsnamn {ctg} (\gamma /2)}}

, är triangelns halvperimeter ( Cotangenssats ).

sid

Om är basen av en likbent triangel , då cirkeln tangerar sidorna av vinkeln vid punkterna och passerar genom mitten av triangelns inskrivna cirkel . $AB$ $\triangel ABC$ $\vinkel ACB$ $A$ $B$ $\triangel ABC$
Eulers sats : , där är cirkelns radie omskriven runt triangeln, är radien för cirkeln inskriven i den, är den omskrivna cirkelns centrum, är den inskrivna cirkelns centrum . $R^{2}-2Rr=|OI|^{2}$ $R$ $r$ $O$ $jag$
Om linjen som går genom punkten jag parallellt med sidan skär sidorna och vid punkterna och , Då . $AB$ $före Kristus$ $CA$ $A_{1}$ $B_1$ $A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}$
Om kontaktpunkterna för en cirkel inskriven i en triangel med dess sidor är förbundna med segment, kommer en triangel att erhållas med egenskaperna: $T$ $T_{1}$
- Bisektriserna av T är vinkelräta bisektrar av T 1
- Låt T 2 vara en ortotriangel T 1 . Sedan är dess sidor parallella med sidorna av den ursprungliga triangeln T.
- Låt T 3 vara mitttriangeln i T 1 . Då är halvledarna för T höjderna av T 3 .
- Låt T 4 vara en ortotriangel av T 3 , då är halvledarna av T halvledarna av T 4 .
Radien av cirkeln inskriven i en rätvinklig triangel med benen a , b och hypotenusan c är lika med . ${\frac {a+bc}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}$
Avståndet från triangelns vertex C till den punkt där den inskrivna cirkeln berör sidan är . $d={\frac {a+bc}{2}}=st$
Avståndet från spetsen C till centrum av den inskrivna cirkeln är , där är radien för den inskrivna cirkeln, och γ är vinkeln för spetsen C . $l_{c}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2))))}$ $r$
Avståndet från vertex C till centrum av den inskrivna cirkeln kan också hittas med formlerna och $l_{c}={\sqrt {(pc)^{2}+r^{2))}$ $l_{c}={\sqrt {ab-4Rr))$
Tridentsats eller trefoilsats : Om D är skärningspunkten för bisektrisen av vinkeln A med den omgivna cirkeln av triangeln ABC , är I och J mitten av den inskrivna respektive excirkelns tangent till sidan BC , då . $|DI|=|DB|=|DC|=|DJ|$

Lemma av Verrier [2] [3] : låt cirkeln röra vid sidorna och bågen av triangelns omskrivna cirkel . Då ligger cirkelns tangenspunkter med sidorna och mitten av triangelns inskrivna cirkel på samma räta linje. $V$ $AB$ $AC$ $före Kristus$ $ABC$ $V$ $ABC$

Feuerbachs teorem . Cirkeln med nio punkter berör alla tre cirklarna , såväl som den inskrivna cirkeln . Tangenspunkten mellan Eulercirkeln och incirkeln är känd som Feuerbach-punkten .

Förhållandet mellan inskrivna och omskrivna cirklar

Euler formel : Om - avståndet mellan mitten av de inskrivna och omskrivna cirklarna, och deras radier är lika och respektive, då . $d$ $r$ $R$ $d^{2}=R^{2}-2Rr$
Formler för förhållande och produkt av radier:

{\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;

[fyra]

2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}

{\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2} }=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1

var är triangelns halva omkrets och är dess area. $sid$ $S$

Perpendicularer upphöjda till sidorna av triangeln vid kontaktpunkterna för cirklarna skär varandra vid en punkt. Denna punkt är symmetrisk till mitten av den inskrivna cirkeln med avseende på mitten av den omskrivna cirkeln [5] .

För en triangel kan man konstruera en halvinskriven cirkel, eller en Varière-cirkel. Det är en cirkel som tangerar två sidor av en triangel och dess invändiga cirkel. Segmenten som förbinder triangelns hörn och de motsvarande kontaktpunkterna för Verrier-cirklarna med den omskrivna cirkeln skär varandra i en punkt. Denna punkt fungerar som centrum för en homotet med en positiv koefficient som tar den omskrivna cirkeln till den inskrivna .
Mitten av den inskrivna cirkeln ligger på segmentet som förbinder kontaktpunkterna för triangelns sidor och den halvinskrivna cirkeln.

Förhållandet mellan centrum av den inskrivna cirkeln och mittpunkterna för höjderna i en triangel

Rigbys teorem . Om vi ritar en höjd och en cirkel som rör vid den på andra sidan till någon sida av en spetsvinklad triangel , så ligger den senares kontaktpunkt med denna sida, mittpunkten av den nämnda höjden och även mittpunkten på en rak linje. [6] .
Det följer av Rigbys sats att 3 segment som förbinder mittpunkten av var och en av de 3 höjderna i en triangel med kontaktpunkten för en cirkel som dras till samma sida som höjden skär i mitten .

I en fyrkant

Den beskrivna fyrhörningen , om den inte har självkorsningar ("enkel"), måste vara konvex .
Vissa (men inte alla) fyrhörningar har en inskriven cirkel. De kallas för omskrivna fyrhörningar . Bland egenskaperna hos dessa fyrhörningar är den viktigaste att summan av motsatta sidor är lika. Detta påstående kallas Pitotsatsen .
Med andra ord kan en cirkel skrivas in i en konvex fyrhörning ABCD om och endast om summan av dess motsatta sidor är lika: . $AB+CD=BC+AD$

I någon omskriven fyrhörning ligger de två mittpunkterna av diagonalerna och mitten av den inskrivna cirkeln på samma räta linje ( Newtons teorem ). På den ligger mitten av segmentet med ändar vid skärningspunkterna för fortsättningarna av de motsatta sidorna av fyrhörningen (om de inte är parallella). Denna linje kallas Newtons linje . I figuren är den grön, diagonalerna är röda, segmentet med ändar vid skärningspunkterna för fortsättningarna av de motsatta sidorna av fyrhörningen är också rött.
Cirkelns mitt omskrivet kring fyrkanten är skärningspunkten för triangelns höjder med hörnen i skärningspunkten för diagonalerna och skärningspunkterna för motsatta sidor ( Brocards sats ).

I en sfärisk triangel

Den inskrivna cirkeln för en sfärisk triangel är cirkeln som tangerar alla dess sidor.

Tangensen för radien [7] för en cirkel inskriven i en sfärisk triangel är [8] :73-74

{\displaystyle \operatorname {tg} r={\sqrt {\frac {\sin(pa)\sin(pb)\sin(pc)}{\sin p))))

En cirkel inskriven i en sfärisk triangel hör till sfären. Radien som dras från sfärens centrum genom centrum av den inskrivna cirkeln kommer att skära sfären vid skärningspunkten mellan vinkelhalveringslinjerna (bågar av storcirklar i sfären som delar vinklarna på mitten) i en sfärisk triangel [8] :20-21 .

Generaliseringar

En inskriven sfär är en sfär som berör alla ansikten på en polyeder .
En Steinerellips är en ellips inskriven i en triangel.

Se även

Anteckningar

↑ Altshiller-Court, 1925 , sid. 79.
↑ Efremov D. Ny geometri för en triangel . - Odessa, 1902. - S. 130. - 334 sid.
↑ Efremov D. Ny geometri för en triangel. Ed. 2. Serie: Physical and Mathematical Heritage (reprint reproduktion av upplagan). . - Moskva: Lenand, 2015. - 352 sid. - ISBN 978-5-9710-2186-5 .
↑ Longuet-Higgins, Michael S., "Om förhållandet mellan inradius och cirkumradius av en triangel", Mathematical Gazette 87, mars 2003, 119-120.
↑ Myakishev A. G. Element i en triangels geometri. Serie: "Library" Mathematical Education "". M.: MTsNMO, 2002. sid. 11, punkt 5
↑ Ross Honsberger . Episoder i 1800- och 1900-talets euklidiska geometri . Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390 . sid. 30, figur 34, §3. En osannolik kolinearitet.
↑ Här mäts cirkelns radie längs sfären, det vill säga det är gradmåttet för den stora cirkelbågen som förbinder skärningspunkten för sfärens radie, ritad från sfärens centrum genom centrum av sfären cirkel, med sfären och cirkelns kontaktpunkt med sidan av triangeln.
↑ 1 2 Stepanov N. N. Sfärisk trigonometri. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 sid.

Litteratur

Valbar kurs i matematik. 7-9 / Jämf. I. L. Nikolskaya. - M . : Education , 1991. - S. 89. - 383 sid. — ISBN 5-09-001287-3 .
Ponarin Ya. P. Elementär geometri. I 2 volymer - M . : MTSNMO , 2004. - S. 52-53. — ISBN 5-94057-170-0 .
Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2:a upplagan), New York: Barnes & Noble