Harmonisk oscillator

Harmonisk oscillator (i klassisk mekanik ) - ett system som, när det tas bort från sitt jämviktsläge, upplever verkan av en återställande kraft F proportionell mot förskjutningen x :

F=-kx

där k är en konstant koefficient.

Om F är den enda kraft som verkar på systemet, kallas systemet en enkel eller konservativ harmonisk oscillator . Fria svängningar i ett sådant system representerar en periodisk rörelse runt jämviktspositionen (harmoniska svängningar). Frekvensen och amplituden är konstanta, och frekvensen beror inte på amplituden.

Om det också finns en friktionskraft ( dämpning ), proportionell mot rörelsehastigheten ( viskös friktion ), kallas ett sådant system för en dämpad eller avledande oscillator . Om friktionen inte är för stor, utför systemet en nästan periodisk rörelse - sinusformade svängningar med en konstant frekvens och en exponentiellt minskande amplitud. Frekvensen av fria svängningar hos en dämpad oscillator visar sig vara något lägre än för en liknande oscillator utan friktion.

Om oscillatorn lämnas åt sig själv, sägs det att den utför fria svängningar . Om det finns en extern kraft (beroende på tid), säger de att oscillatorn upplever forcerade svängningar .

Mekaniska exempel på en harmonisk oscillator är den matematiska pendeln (med små avböjningsvinklar), en vikt på en fjäder , en torsionspendel och akustiska system. Bland de icke-mekaniska analogerna till den harmoniska oscillatorn kan man peka ut den elektriska övertonsoscillatorn (se LC-krets ).

Fria svängningar av en konservativ harmonisk oscillator

Ekvationen och dess lösningar

Låt x vara förskjutningen av en materialpunkt i förhållande till dess jämviktsposition, och F vara den återställande kraften som verkar på punkten av vilken form som helst

F=-kx

där k = konst. Sedan, med hjälp av Newtons andra lag , kan man skriva accelerationen som

a=-{\frac {k}{m}}x

Beteckna och ersätta a med andraderivatan av koordinaten med avseende på tid , vi har ${\omega _{0}}^{2}=k/m$ ${\ddot x}$

{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0

Denna differentialekvation beskriver beteendet hos en konservativ harmonisk oscillator. Storheten kallas cyklisk frekvens . (Detta avser den cirkulära frekvensen, mätt i radianer per sekund. För att omvandla den till en frekvens uttryckt i hertz måste den delas med .) $\omega_0$ $2\pi$

Vi kommer att leta efter en lösning på denna ekvation i formen [1]

x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)

Här är amplituden, är oscillationsfrekvensen, är den initiala fasen . $A$ $\omega$ $\varphi$

Vi sätter in i differentialekvationen och får:

{\ddot {x}}(t)=-A\omega ^{2}\sin(\omega t+\varphi )

-A\omega ^{2}\sin(\omega t+\varphi )+\omega _{0}^{2}A\sin(\omega t+\varphi )=0

Amplituden reduceras. Det betyder att den kan ha vilket värde som helst (inklusive noll - detta betyder att materialpunkten är i vila i jämviktsläget). Sinusen kan också reduceras, eftersom likheten måste gälla när som helst t . Således kvarstår villkoret för svängningsfrekvensen:

-\omega ^{2}+\omega _{0}^{2}=0,

\omega =\pm \omega _{0}.

Den negativa frekvensen kan förkastas, eftersom godtyckligheten i valet av tecknet här täcks av godtyckligheten i valet av den initiala fasen.

Den allmänna lösningen av ekvationen skrivs som:

x(t)=A\sin \left(\omega _{0}t+\varphi \right),

var och är godtyckliga konstanter. Denna post uttömmar alla lösningar av differentialekvationen, eftersom den gör det möjligt att uppfylla alla initiala villkor. $A$ $\varphi$

Som ett resultat kan en konservativ övertonsoscillator utföra rena harmoniska svängningar med en frekvens som är lika med sin egen frekvens , med en amplitud av valfri storlek och med en godtycklig initial fas.

Enkel harmonisk rörelse

Rörelsen som görs av en konservativ harmonisk oscillator kallas en enkel harmonisk rörelse . Denna rörelse är varken forcerad eller dämpad .

Det är periodiskt: kroppen svänger med en frekvens ω 0 runt jämviktspositionen enligt en sinusform . Varje efterföljande oscillation är densamma som den föregående; period , frekvens och amplitud av svängningar förblir konstanta.

Med tanke på det får vi $\omega_0 = 2\pi f_0$

{\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m))))

och eftersom , var är oscillationsperioden, $T_{0}=1/f_{0}$ $T_{0}$

{\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k))))

Dessa formler visar att perioden och frekvensen inte beror på amplituden och den inledande fasen av rörelsen.

Rörelsefrekvensen bestäms av systemets karakteristiska egenskaper (till exempel massan av den rörliga kroppen), medan amplituden och initialfasen bestäms av de initiala förhållandena - kroppens koordinater och hastighet i ögonblicket svängningarna Börja. Systemets kinetiska och potentiella energier beror också på dessa egenskaper och förhållanden.

Med hjälp av differentialkalkylens metoder kan du få hastigheten och accelerationen för en materialpunkt som en funktion av tiden:

v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t))=A\omega _{0}\cos(\omega _{0}t+\varphi )

a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2))}=-A\omega _{0}^{2}\ sin(\omega _{0}t+\varphi )

Den kinetiska energin skrivs som

K={\frac {1}{2}}mv^{2}(t)={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega _{ 0}t+\varphi )

och den potentiella energin är

U={\frac {1}{2}}kx^{2}(t)={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega _{ 0}t+\varphi )

Sedan visar det sig att den totala energin

E={\frac {1}{2}}kA^{2}

har ett permanent värde. Detta återspeglar "konservatismen" hos oscillatorn, det vill säga frånvaron av energiförluster.

Enkel harmonisk rörelse kan betraktas som en matematisk modell av olika typer av rörelse, såsom svängningen av en fjäder . Andra fall som grovt sett kan betraktas som enkla harmoniska rörelser är pendelns rörelse och molekylernas vibrationer .

Enkel harmonisk rörelse är grunden för vissa sätt att analysera mer komplexa typer av rörelse. En av dessa metoder är baserad på Fouriertransformen , vars essens är att bryta ner en mer komplex typ av rörelse i en serie enkla harmoniska rörelser.

Exempel på oscillatorer

Varje system där enkel harmonisk rörelse förekommer har två nyckelegenskaper:

när systemet är ur jämvikt måste det finnas en återställande kraft som tenderar att återföra systemet till jämvikt;
återställningskraften måste vara exakt eller ungefär proportionell mot förskjutningen.

Nedan följer några exempel.

Horisontellt lastfjädersystem

Ett typiskt exempel på ett system där enkel harmonisk rörelse uppstår är ett idealiserat mass-fjädersystem där en massa är fäst vid en fjäder och placeras på en horisontell yta. Om fjädern inte är sammanpressad och inte sträckt, verkar inga variabla krafter på lasten och den är i ett tillstånd av mekanisk jämvikt. Men om lasten avlägsnas från jämviktsläget deformeras fjädern och en kraft kommer att verka från dess sida, som tenderar att återföra lasten till jämviktsläget. I fallet med ett lastfjädersystem är en sådan kraft fjäderns elastiska kraft, som följer Hookes lag :

F=-kx

där k har en mycket specifik betydelse - detta är koefficienten för fjäderstyvhet .

När väl den förskjutna lasten utsätts för verkan av en återställande kraft, accelererar den och tenderar att återföra den till utgångspunkten, det vill säga till jämviktsläget. När lasten närmar sig jämviktsläget minskar återställningskraften och tenderar till noll. Men i läget x = 0 har lasten en viss rörelsemängd ( momentum ), förvärvad på grund av återställande kraftens verkan. Därför hoppar lasten över jämviktsläget och börjar deformera fjädern igen (men i motsatt riktning). Återställningskraften tenderar att sakta ner tills hastigheten är noll; och kraften kommer återigen att försöka återföra lasten till dess jämviktsläge.

Om det inte finns någon energiförlust kommer lasten att oscillera enligt beskrivningen ovan; denna rörelse är periodisk.

Vertikalt lastfjädersystem

I fallet med en last vertikalt upphängd på en fjäder, tillsammans med den elastiska kraften, verkar gravitationen, det vill säga den totala kraften blir

F=-kx-mg

Om vi gör en förändring av variabeln för att inte arbeta med värdet utan med värdet , så kommer rörelseekvationen att ta formen identisk med fallet med horisontell geometri, endast för variabeln . $x$ $X=x+mg/k$ $X$

Oscillationer kommer att inträffa med samma frekvens . Men om i det horisontella fallet tillståndet för en odeformerad fjäder motsvarade jämvikt, kommer i den vertikala versionen fjädern i jämvikt att sträckas. I detta fall är det inget beroende av frekvensen på storleken på accelerationen av fritt fall ; påverkar endast förskjutningen av jämviktspositionen . $\omega _{0}={\sqrt {k/m))$ $g$ $g$ $mg/k$

Mätningar av frekvensen (eller perioden) av svängningar av en belastning på en fjäder används i anordningar för att bestämma massan av en kropp - de så kallade massmätarna , som används på rymdstationer när vågen inte kan fungera på grund av viktlöshet.

Universell cirkulär rörelse

Enkel harmonisk rörelse kan i vissa fall betraktas som en endimensionell projektion av universell cirkulär rörelse.

Om ett föremål rör sig med en konstant vinkelhastighet ω längs en cirkel med radien r centrerad på utgångspunkten för x − y-planet , så är en sådan rörelse längs var och en av koordinataxlarna enkel harmonisk med amplitud r och cirkulär frekvens ω .

Vikt som en enkel pendel

I approximationen av små vinklar är rörelsen av en enkel pendel nära enkel harmonisk. Svängningsperioden för en sådan pendel, fäst vid en stav med längden ℓ , ges av formeln

{\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g))))

där g är fritt fallacceleration. Detta visar att oscillationsperioden inte beror på pendelns amplitud och massa, utan beror på g , därför kommer den, med samma längd på pendeln, att svänga långsammare på månen, eftersom gravitationen är svagare där och värdet av fritt fallacceleration är lägre.

Den angivna approximationen är korrekt endast vid små avböjningsvinklar, eftersom uttrycket för vinkelaccelerationen är proportionell mot koordinatens sinus :

-\ell mg\sin \theta =I{\ddot {\theta ))

där jag är tröghetsmomentet ; i detta fall I = m ℓ 2 . Små vinklar realiseras under förhållanden när oscillationsamplituden är mycket mindre än stavens längd. Närvaron av ett minus återspeglar det faktum att kraften tenderar att föra kroppen närmare jämviktspositionen.

När vinkeln θ är liten kan vi anta att sin θ ≈ θ , och uttrycket blir:

-\ell mg\theta =I{\ddot {\theta ))

vilket gör vinkelaccelerationen direkt proportionell mot vinkeln θ , och detta uppfyller definitionen av enkel harmonisk rörelse.

Fria vibrationer av en dämpad harmonisk oscillator

Ekvationen och dess lösningar

När man överväger en dämpad oscillator, tas modellen av en konservativ oscillator som grund, till vilken den viskösa friktionskraften läggs. Kraften av viskös friktion riktas mot lastens hastighet i förhållande till mediet och är direkt proportionell mot denna hastighet. Sedan skrivs den totala kraften som verkar på lasten enligt följande:

F=-kx-\alpha v.

Med hjälp av Newtons andra lag får vi en differentialekvation som beskriver en dämpad oscillator:

{\ddot {x}}+2\gamma {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0.

Här är notationerna:

$2\gamma =\alpha /m$ . Koefficienten kallas dämpningskonstanten. Den har dimensionen frekvens. $\gamma$
$\omega _{0}={\sqrt {k \over m))$ . Storleken kallas systemets naturliga frekvens. Den har också dimensionen frekvens. $\omega_0$

Lösningen delas in i tre fall.

Vid låg friktion ( ) skrivs den allmänna lösningen som: $\gamma <\omega _{0}$

x(t)=Ae^{-\gamma t}\sin(\omega _{f}t+\varphi ),

var är frekvensen av fria svängningar. $\omega _{f}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2))}$

Dämpning kallas kritisk . Med utgångspunkt från detta värde på dämpningsindexet kommer oscillatorn att utföra den så kallade icke-oscillerande rörelsen. I gränsfallet sker motionen enligt lagen: $\gamma =\omega _{0}$

\ x(t)=(A+Bt)e^{-\gamma t}.

Med stark friktion ser lösningen ut så här: $\gamma >\omega _{0}$

x(t)=Ae^{-\beta _{1}t}+Be^{-\beta _{2}t},

var $\beta _{1,2}=\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2))}.$

Rörelse i närvaro av blekning

Arten av rörelsen hos en dämpad oscillator beror på dämpningskonstanten . Förutom den indikerade konstanten kännetecknas dämpningen av en oscillator också ofta av en dimensionslös parameter som kallas kvalitetsfaktorn . Kvalitetsfaktor betecknas vanligtvis med bokstaven . Per definition är kvalitetsfaktorn: $\gamma$ $F$

Q={\frac {\omega _{0}}{2\gamma }}.

Ju högre kvalitetsfaktor, desto långsammare svängningar av oscillatorns avklingning.

Kritisk dämpning är anmärkningsvärd genom att det är just vid sådan dämpning som oscillatorn snabbast befinner sig i jämviktsläget. Om friktionen är mindre än kritisk kommer den att nå jämviktspositionen snabbare, men den kommer att "glida igenom" den genom tröghet och svänga. Om friktionen är större än kritisk, kommer oscillatorn att tendera exponentiellt till jämviktspositionen, men ju långsammare, desto större blir friktionen. $\gamma =\omega _{0}$

Därför försöker de i pekindikatorer (till exempel i amperemeter) vanligtvis införa exakt kritisk dämpning så att pilen lugnar ner sig så snabbt som möjligt för att läsa dess avläsningar.

En oscillator med kritisk dämpning har en kvalitetsfaktor på 0,5. Följaktligen indikerar kvalitetsfaktorn arten av beteendet hos oscillatorn. Om kvalitetsfaktorn är större än 0,5 är oscillatorns fria rörelse en oscillation; teoretiskt sett kommer den över tiden att passera jämviktspositionen ett obegränsat antal gånger. En kvalitetsfaktor mindre än eller lika med 0,5 motsvarar oscillatorns icke-oscillerande rörelse; i fri rörelse kommer den att passera jämviktspositionen högst en gång.

Kvalitetsfaktorn kallas ibland oscillatorns förstärkning, eftersom med vissa excitationsmetoder, när excitationsfrekvensen sammanfaller med resonansfrekvensen för svängningar, ställs deras amplitud in ungefär gånger större än när den exciteras med samma intensitet vid en låg frekvens. $F$

Kvalitetsfaktorn är också ungefär lika med antalet oscillerande cykler, för vilka svängningsamplituden minskar med en faktor på . $e$ $\pi$

I fallet med oscillerande rörelse kännetecknas dämpningen också av sådana parametrar som:

Livslängden för oscillationer (det är också avklingningstiden , det är också relaxationstiden ) τ är den tid under vilken svängningarnas amplitud kommer att minska med e gånger.

\tau=1/\gamma .

Denna tid anses vara den tid som krävs för att dämpa (upphöra) av svängningar (även om fria svängningar formellt fortsätter på obestämd tid).

Logaritmisk dämpningsminskning . Det definieras som logaritmen för förhållandet mellan två på varandra följande maximala avvikelser i en riktning: Den reciproka av d är antalet svängningar som kommer att passera under avklingningstiden τ . $d=\operatörsnamn {ln}(x_{{{\text{max}}\;n}}/x_{{{\text{max}}\;n+1}}).$

En anteckning om påtvingade svängningar av en harmonisk oscillator

Svängningarna hos en oscillator kallas forcerade när ytterligare yttre påverkan görs på den. Detta inflytande kan åstadkommas på olika sätt och enligt olika lagar. Till exempel är kraftexcitation effekten på lasten av en kraft som endast beror på tiden enligt en viss lag. Kinematisk excitation är verkan på oscillatorn genom rörelsen av fjäderfixeringspunkten enligt en given lag. Effekten av friktion är också möjlig när exempelvis mediet som lasten upplever friktion med rör sig enligt en given lag.

Se även

Anteckningar

↑ Lösningen av differentialekvationen ovan kan skrivas som att använda sinusfunktionen: $x(t)=A\sin(\omega t+\varphi )$ , och genom cosinus: $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi )$ . Båda alternativen är korrekta, eftersom den allmänna likheten cos θ = sin(π/2 - θ) är känd . Med hjälp av trigonometriska relationer kan man skriva $A\cos(\omega t+\varphi )=A\cos(\varphi )\cos(\omega t)-A\sin(\varphi )\sin(\omega t),$ och sålunda $a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ är också den korrekta lösningen för korrekt valda konstanter a och b .

Litteratur

Butikov EI Naturliga svängningar av en linjär oscillator. Handledning