Stefan-Boltzmann lag

Stefan-Boltzmann-lagen ( Stefans lag , Stefan-Boltzmann-lagen om strålning ) är den integrerade lagen för strålning av en absolut svart kropp . Den bestämmer beroendet av strålningseffekttätheten hos en absolut svart kropp på dess temperatur . I verbal form kan det formuleras enligt följande [1] :

Den totala volymetriska tätheten av jämviktsstrålning och den totala emissiviteten för en svart kropp är proportionell mot fjärde potensen av dess temperatur.

För den totala emissiviteten (energiluminositet) har lagen formen: ${\displaystyle j^{\star ))$

$j^{\star }=\sigma T^{4}\,,$

var är temperaturen för en absolut svart kropp, är Stefan-Boltzmann-konstanten , som kan uttryckas i termer av fundamentala konstanter genom att integrera Plancks formel över alla frekvenser [2] : $T$ $\sigma$

Stefan-Boltzmann konstant

$\sigma ={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60c^{2}\hbar ^{3}}}={\frac {2\pi ^{5}k^ {4}}{15c^{2}h^{3}}}\,,$

där är Plancks konstant , är Boltzmanns konstant , är ljusets hastighet . Stefan-Boltzmanns konstant är numeriskt [3] $h$ $k$ $c$

{\displaystyle \sigma =5{,}670\ 367(13)\cdot 10^{-8))

W/ ( m2K4 ) .

Lagen upptäcktes först empiriskt av Josef Stefan 1879, och fem år senare härleddes teoretiskt av Ludwig Boltzmann inom termodynamikens ram [A 1] [A 2] . Boltzmann utgick från den kinetiska teorin om gaser och cykeln för en idealisk reversibel värmemotor med strålning som arbetsvätska istället för gas . Han antog att denna strålning sätter tryck på kärlets väggar [4] . Det är den enda viktiga fysiska lagen som är uppkallad efter en slovensk fysiker [5] .

Lagen talar bara om den totala utstrålade energin. Fördelningen av energi över strålningsspektrumet beskrivs av Plancks formel , enligt vilken spektrumet har ett enda maximum, vars position bestäms av Wiens lag . Med hjälp av modern formulering kan det härledas från Plancks lag :

j^{\star }=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\mathrm {d} j^{\star }}{\mathrm {d} \lambda }} \right)\mathrm {d} \lambda =\pi \int _{0}^{\infty }B_{\lambda }\,\mathrm {d} \lambda \!\,.

Att tillämpa lagen på beräkningen av den effektiva temperaturen på jordens yta ger ett uppskattat värde på 249 K eller −24 °C.

Allmän form

Om ett slutet system av uppvärmda strålningskroppar placeras i en kavitet med idealiska reflekterande väggar, kommer med tiden en termodynamisk jämvikt att etableras mellan strålning och alla kroppar. Temperaturerna för alla kroppar kommer att bli samma [6] . Jämvikt uppnås inte bara på kropparnas yta utan också inuti dem. Exciterade atomer avger strålning som absorberas av andra atomer i mediet, exciterar dem och faller därigenom med tiden på kroppens yta, varifrån den strålar ut i det omgivande rummet [7] . Termisk strålning är en jämviktsform av strålning som är homogen, isotrop, opolariserad och har ett kontinuerligt spektrum. Energin r per enhetsfrekvensområde kallas kroppens spektrala emissivitet eller den spektrala tätheten för energiluminositet . Det beror på frekvens och temperatur. När man integrerar detta värde över hela spektrumet erhålls det totala strålningsenergiflödet för en ytenhet, vilket kallas integral emissivitet eller energiluminositet [8] :

j^{\star }=\int _{0}^{\infty }r(\omega ,T)d\omega \,.

Detta värde har dimensionen [W/m²] i SI- enheter [8] . Vanliga kroppar absorberar delvis ljuset som faller på dem. En kropps spektrala absorbans karakteriseras som förhållandet mellan det absorberade flödet av infallande strålning från ett smalt frekvensområde dΦ' ω till det infallande flödet ( dΦ ω ) [9] :

a_{\omega ,T}={\frac {d\Phi _{\omega }^{'}}{d\Phi _{\omega }}}\,.

Denna dimensionslösa kvantitet kan inte vara större än enhet per definition. Om absorptionen är densamma för alla frekvenser, kallas en sådan kropp grå . För riktiga kroppar beror absorption på frekvens. I ett specialfall av fullständig absorption av den infallande strålningen i hela spektrumet talar man om en absolut svart kropp [10] . Dess strålning har en universell karaktär, och dess energiljusstyrka är proportionell mot temperaturens fjärde potens [11] :

j^{\star }=\varepsilon \sigma T^{4}\!\,,

där ε är kroppens integrerade absorptionsförmåga . För en absolut svart kropp ε = 1 har uttrycket ett speciellt namn: Stefan-Boltzmann-lagen. För många temperaturer har metaller ε = 0,1…0,4 och för metalloxider ε = 0,5…0,9 [11] .

För grå kroppar kan lagen skrivas som:

j_{\rm {s}}^{\star }=(1-a)\sigma T^{4}=(1-a)j_{0}^{\star }\!\,.

Men om reflektionskoefficienten beror på våglängden , gäller Kirchhoffs strålningslag : $a(\lambda )$

{\frac {\mathrm {d} j^{\star }}{\mathrm {d} \lambda }}=\left[1-a(\lambda )\right]\left({\frac { \mathrm {d} j^{\star }}{\mathrm {d} \lambda }}\right)_{0}\!\,,

eller

j_{\rm {s}}^{\star }=\varepsilon (T)\sigma T^{4}\!\,.

I den tekniska litteraturen skrivs den allmänna Stefan-Boltzmann-lagen vanligtvis som:

j^{\star }=\varepsilon _{n}C_{\rm {c}}\left({\frac {T}{100}}\right)^{4}\!\,,

främst för att lättare kunna beräkna var det är strålning i riktning vinkelrät mot ytan. Strålning i halvutrymmet för släta metalliska, släta och grova kroppar är: $\varepsilon_{n}$

\varepsilon \approx 1,20\varepsilon _{n}\!\,,

\varepsilon \approx 0,95\varepsilon _{n}\!\,,

\varepsilon \approx 0,98\varepsilon _{n}\!\,.

Ytfärgen påverkar inte ljusstyrkan. Vita ytor strålar starkt. Släta material som aluminium och brons har låg lyster. Glas sänder ljus med kort våglängd, men sänder inte långvågig värmestrålning.

Till skillnad från fasta ämnen , som strålar ut och absorberar från ytan, för gaser , beror absorptionsgraden på tjockleken på gasskiktet och passerar genom hela volymen ( absorptionslag ):

\varepsilon =1-{\frac {1}{e^{-\mu x))}\!\,,

var är längden på strålningsvägen genom gasen och är absorptionskoefficienten . Monatomiska och de flesta diatomiska gaser i tekniska beräkningar kan betraktas som diatermiska ämnen , det vill säga de överför värme bra. Det är tekniskt viktigt att isolera koldioxid och vattenånga , som avger och absorberar i större spektralområden . Över 600 °C kan värmeledningsförmågan för dessa gaser vara hög, vid ännu högre temperaturer kan den överstiga konvektiv transport . $x$ $\mu$

Upptäckt

Den 20 mars publicerade Stefan lagen i artikeln On the Relationship Between Thermal Radiation and Temperature ( tyska: Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur ) i Reports of the Meeting of the Wiener Science Academy. Artikeln visar hans väg till upptäckten av lagen [A 1] . Sammanfattningen av manuskriptet innehöll fyra A4-sidor, hela artikeln var på 61 sidor och den tryckta versionen var 38 sidor [12] .

Newton upptäckte att intensiteten av strålningsflödet från en varm kropp är proportionell mot temperaturskillnaden mellan kroppen och omgivningen. Pierre Dulong och Alexis Petit har visat att beroendet av temperatur inte är linjärt och att högre krafter är viktiga [13] . De övervägde värmeöverföring mellan en uppvärmd sfärisk glödlampa och de omgivande väggarna i ett sfäriskt kärl vid rumstemperatur. De trodde att denna uppställning, fylld med olika gaser vid olika tryck, skulle vara en bra modell för att studera strålningsvärmeöverföring. Formeln för strålningskraft de kom fram till var [A 3] [14]

E(T)=a\mu ^{T}\,,

där μ är en konstant beroende på storleken på kroppen och materialet, a = 1,0077 är en konstant oberoende av materialet, T är temperaturen. Stefan insåg att värmeöverföringen i systemet inte bör försummas och använde sina data för att söka efter ett nytt beroende av formen

E(T)=AT^{4}\,,

där A är en konstant beroende på kroppens yta och temperaturen anges i Kelvin [14] .

1847 försökte Draper bestämma vid vilken temperatur en uppvärmd kropp börjar stråla. Han observerade inte detta, men fann att densiteten hos det utstrålade energiflödet ökar mycket snabbare än i direkt proportion till temperaturen. 1878 läste Stephan Drapers arbete om strålningsenergi [15] . 1848 introducerade Kelvin den absoluta temperaturskalan . Stefan använde även absolut temperatur i sitt experiment [16] . Gustav Kirchhoff införde lagen om termisk strålning 1859 och bevisade den 1861 [17] .

{\frac {\varepsilon (\lambda )}{a(\lambda )}}=B_{\lambda }(\lambda )\!\,.

1862 myntade han termen "svartkroppsstrålning". Han jämförde strålningen från de svarta och andra utstrålande kropparna [4] . Han föreslog också ett sätt att implementera sådan strålning. Svartkroppsstrålning beror bara på strålningskällans temperatur, men Kirchhoff kunde inte bestämma det funktionella beroendet. $B_{\lambda }(\lambda )\!\,$

John Tyndall undersökte "osynligt" infrarött ljus 1864. Infraröda vågor upptäcktes av William Herschel år 1800. Han använde ett prisma för att bryta solljus och använde en termometer för att mäta temperaturökningen bortom den röda änden av ljusspektrumet. Han kallade denna del av spektrumet för värmestrålar. Termen infrarött ljus dök upp i slutet av 1800-talet. Thomas Seebeck upptäckte fenomenet termoelektricitet 1821. Kort därefter, 1835, tillverkade Macedonio Melloni det första termoelektriska batteriet och upptäckte termisk strålning . Den nya strålningen visade sig vara ljus osynligt för det mänskliga ögat , eller elektromagnetiska vågor med en något längre våglängd än synligt rött ljus.

1840 gjorde John Herschel den första infraröda bilden. Tyndall värmde upp en glödlampa med en elektrisk ström , där han ersatte den vanliga koltråden med platinatråd . Tråden glödde. När den elektriska strömmen ökade ökade temperaturen på tråden och avgav mer och mer ljus. Han fångade ljuset med en lins och ett prisma av bergsalt delade upp ljuset som sänds ut av tråden i ett regnbågsspektrum . I stället för den röda delen placerade jag ett batteri av seriekopplade termoelement [A 4] [18] . Han fäste kontakter där ström strömmade från en metall till en annan på utsidan av mätaren och svärtade ner dem. Anslutningar där strömmen gick i motsatt riktning gömde han sig i mätarlådan. De första korsningarna absorberade det infallande ljuset och värmdes upp, medan de andra hade omgivningstemperaturen. Han mätte strömmen med en känslig galvanometer [19] . Tyndall ville bara ha ett ungefärligt resultat och mätte inte temperaturen på tråden. Han angav bara färgen på det utsända ljuset. För ljusröda var avvikelsen för galvanometern 10,4° och för vita 60°. 1864 publicerade han en avhandling om synlig och osynlig strålning där han försökte svara på hur strålningen av rött ljus beror på temperaturen. En tysk översättning publicerades 1865 och lästes av Adolf Wüllner [A 5] . I den andra och tredje upplagan av sin lärobok i termodynamik , The Science of Heat from the Mechanical Theory of Heat, inkluderade han Tyndalls data. Han justerade temperaturerna. Även om han förlitade sig på Drapers mått, agerade han godtyckligt. Wulners bok mottogs av Stephan, som ändrade temperaturen till absolut och tog hänsyn till den korrigerade avvikelsen för galvanometern för vit, för vilken Tyndall redan hade nämnt behovet av att ta dubbelt så mycket som 122 °. Den blekröda färgen på tråden hade således en temperatur på 798 K (525 °C), vit 1473 K (1200 °C). Samtidigt antog Stefan att densiteten för det utstrålade energiflödet är proportionell mot galvanometerns avvikelse. Han försökte skriva ner förhållandet mellan den absoluta temperaturen hos tråden T och densiteten för det utstrålade energiflödet j i form av en kraftlag :

j\propto \sigma T^{n}\!\,.

Från båda dataparen bestämde han förhållandet mellan energiflöden 122/10,4 = 11,731. Han kom tillräckligt nära värdet om han höjde förhållandet mellan motsvarande absoluta temperaturer till styrkan 1473/798 = 1,846 till fjärde potensen: , så n = 4. Han kontrollerade värdena mot Dulong- och Petit-data genom att subtraherande bidraget till värmeledningsförmågan . Den nya lagen stämde väl överens med de gamla uppgifterna. Konstanten σ som erhålls från hans mätningar kan skrivas i moderna enheter [15] : $1,846^{4}=11,613$

\sigma =5,056\cdot 10^{-8}\ \mathrm {W/(m^{2}\,K^{4})} \!\,.

Dess mätning var ganska exakt och 10,8% mindre än moderna värden. Han kontrollerade också lagen mot de la Provostaye och Desains (1846), Draper och Ericsson (1872) [A 6] och Despretz.

År 1876 härledde Adolfo Bartoli , oberoende av Maxwell , en ekvation för strålningstrycket från elektromagnetiska vågor genom den termodynamiska metoden. Han upptäckte att med hjälp av en rörlig spegel kan värme överföras från en svalare kropp till en varmare kropp under arbetet . Han föreställde sig en reversibel infinitesimal Carnot-cykel , där entropin inte förändras och det absoluta arbetet som utförs är relaterat till ljusets tryck på spegeln. För att termodynamikens andra lag ska fungera måste ljuset överföra tryck till spegeln. Därför kallades stråltrycket även "Maxwell-Bartoli-trycket".

År 1880 publicerade Krov, André Prosper Paul ett diagram över en tredimensionell representation av en graf över intensiteten av termisk strålning beroende på våglängd och temperatur [A 7] .

Bartolis pamfletter "On Motions Caused by Heat" och "The Crookes Radiometer" gick obemärkt förbi. Förra gången Boltzmann uppmärksammade detta, som generaliserade Bartolis idé att termodynamikens andra lag kräver existensen av strålningstryck och åtta år senare härledde denna lag med termodynamisk metod [A 2] . Bartoli var nära Stefan-Boltzmann-lagen, men tog inte hänsyn till temperaturberoendet av energiflödestätheten hos en strålande svart kropp. Han publicerade en sammanfattning av broschyren 1884 och 1885 [20] [A 8] . Stefan var förmodligen omedveten om Bartolis tankar om vakuumet i radiometern från 1876 tills Bartoli fick offentligt stöd 1883 från Henry Eddy , professor i matematik och astronomi vid University of Cincinnati [21] .

Rado von Köveligeti , som studerade teoretisk fysik med Stefan vid universitetet i Wien, publicerade spektralekvationen 1885 i sin första avhandling , Spectrum Theory , där han förutspådde den begränsande energin hos svartkroppsstrålning. Formen på kurvan för spektral densitet kontra våglängd var mycket lik Plancks kurva:

u(\lambda ,T)={\frac {2\pi hc_{0}^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{hc_{0} /(\lambda k_{\rm {B}}T)}-1}}\!\,.

Von Kösligeti skrev den funktionella formen av spektralekvationen enligt följande [17] :

L(\lambda )={\frac {4}{\pi }}\mu \Lambda {\frac {\lambda ^{2}}{\left(\lambda ^{2}+\mu ^{ 2}\höger)^{2}}}\!\,.

där betyder strålningsintensiteten vid våglängden , är strålningsintensiteten över hela våglängdsområdet. Konstanten bestäms av medelavståndet och interaktionen mellan partiklarna och ger den våglängd vid vilken strålningsintensiteten är maximal. Då var det känt att fasta ämnen börjar stråla vid Draper-punkten, oavsett vilken typ av emitterad substans. Baserat på detta resultat föreslog von Kösligeti att ekvationen endast beror på temperaturen. $L(\lambda )\!\,$ $\lambda \!\,$ $\Lambda \!\,$ $\mu \!\,$ $\mu \!\,$

Hans spektralekvation hade samma form som den som upptäcktes av Wien 1893 [22] [23] :

u(\lambda ,T)\propto {\frac {1}{\lambda ^{5}}}f\left({\frac {c_{0}}{\lambda T}}\right)\ !\,.

Von Kösligeti-ekvationen ger konstantens beroende av den strålande kroppstemperaturen: $\mu \!\,$

{\frac {\mu }{\mu _{0}}}=\left({\frac {T_{0}}{T}}\right)^{\frac {n+1}{2 (n-1)}}\!\,,

där index 0 anger den jämförande strålningskällan. Det bästa valet av parametern i exponenten , som ger Wiens lag , upptäcktes 11 år senare: $n=3\!\,$

{\frac {\mu T}{\mu _{0}T_{0}}}=1,\qquad \left(\lambda _{0}T=k_{{\rm {W)), \lambda },\quad \mu \equiv \lambda _{0}\right)\!\,.

Slutsats

Härledning från Plancks lag

Den spektrala tätheten av strålning från en svart kropp som en funktion av våglängden ger Plancks lag: $\lambda$

{\frac {\mathrm {d} j^{\star }}{d\lambda }}=\pi B_{\lambda }={\frac {2\pi hc_{0}^{2}} {\lambda ^{5}}}\,{\frac {1}{e^{hc_{0}/(\lambda k_{\rm {B}}T)}-1}}\!\,,

där är Plancks konstant , är ljusets hastighet i vakuum , är Boltzmanns konstant , är den absoluta temperaturen. $h\!\,$ $c_{0}\!\,$ $k_{\rm {B}}\!\,$ $T\!\,$

Ljusflödestätheten bestäms av integralen över alla våglängder: [24] [25]

j^{\star }=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\mathrm {d} j^{\star }}{\mathrm {d} \lambda }} \right)\mathrm {d} \lambda =\pi \int _{0}^{\infty }B_{\lambda }\,\mathrm {d} \lambda =2\pi hc_{0}^{2} \int _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{\lambda ^{5}(e^{hc_{0}/(\lambda k_{\rm {B}}T)}- 1)}}\mathrm {d} \lambda \!\,.

Genom att införa en ny variabel u :

u={\frac {hc_{0}}{\lambda k_{\rm {B}}T}}\!\,,

var

{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \lambda }}=-{\frac {hc_{0}}{\lambda ^{2}k_{\rm {B}} T}}\!\,,

gå till integralen:

j^{\star }={\frac {2\pi k_{\rm {B}}^{4}T^{4}}{h^{3}c_{0}^{2}} }\int _{0}^{\infty }\,{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}\mathrm {d} u\!\,.

Först kan du beräkna integralen för ett mer allmänt exempel:

\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{e^{u}-1}}\mathrm {d} u\!\,,

men:

\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{n}e^{-u}}{1-e^{-u}}}\mathrm {d} u\!\ ,.

Eftersom nämnaren alltid är mindre än 1 , kan den utökas i potenser för att få en konvergent serie : ${\displaystyle e^{-u))$

{\frac {1}{1-e^{-u))}=\sum _{k=0}^{\infty }e^{-ku}\!\,.

I grund och botten är ekvationen tagen på summan av den geometriska serien . Bråket till vänster är ett uttryck för serien, betecknat med summan:

1+e^{-u}+e^{-2u}+e^{-3u}+\cdots \!\,.

detta är den vanliga multiplikatorn . Sedan ersätts serien med integralen: ${\displaystyle e^{-u))$

\int _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}\sum _{k=0}^{\infty}e^{-ku}\mathrm {d} u \!\,.

Genom att multiplicera till vänster flyttas summan av raderna en position åt höger, så: $e^{-u}\!\,$

e^{-u}+e^{-2u}+e^{-3u}+\cdots \!\,

blir:

e^{-2u}+e^{-3u}+e^{-4u}+\cdots \!\,.

Därför höjs indexet med summan av enheter och kasseras : $e^{-u}\!\,$

\int _{0}^{\infty }u^{n}\summa _{k=1}^{\infty }e^{-ku}\mathrm {d} u\!\,.

En ny variabel introduceras :

v=ku\!\,,

så:

u^{n}={\frac {v^{n}}{k^{n}}}\!\,

{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} u}}=k\!\,,

integralen blir:

\int _{0}^{\infty }{\frac {v^{n}}{k^{n}}}\summa _{k=1}^{\infty }{\frac {1 }{k}}e^{-v}\mathrm {d} v\!\,,

eller:

\int _{0}^{\infty }v^{n}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n+1))}e^ {-v}\mathrm {d} v\!\,.

Eftersom varje term av summan är en konvergent integral, kan summan härledas från integralen:

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n+1}}}\int _{0}^{\infty }v^{n}e^ {-v}\mathrm {d} v\!\,.

Integralen till höger är gammafunktionen , , summan till vänster är Riemannfunktionen ζ , . Så slutligen är den övre integralen: $\Gamma (n+1)$ $\zeta (n+1)$

\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{e^{u}-1}}\mathrm {d} u=\Gamma (n+1)\zeta (n+1)\!\,,

eller motsvarande:

\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{n-1}}{e^{u}-1}}\mathrm {d} u=\Gamma (n)\zeta (n)\!\,.

För heltal :

\Gamma (n)=(n-1)!\!\,,

eller

\Gamma (n+1)=n!\!\,

och därifrån:

\Gamma (4)=(3)!=6\!\,.

För jämna heltal:

\zeta (n)={\frac {2^{n-1}|B_{n}|\pi ^{n}}{n!)}}\!\,,

var är Bernoulli-numret och tillämpas: $B_{{n}}$

B_{4}=-{\frac {1}{30}}\!\,,

så:

\zeta (4)={\frac {2^{3}\pi ^{4}}{30\cdot 4!}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}\ !\,,

analytiskt värde för integralen:

\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{4-1}}{e^{u}-1}}\mathrm {d} u=6\,\mathrm {Li } _{4}(1)=6\,\zeta (4)=6\cdot {\frac {\pi ^{4}}{90}}={\frac {\pi ^{4}}{15 }}\!\,,

var är polylogaritmen . $\mathrm {Li} _{s}(z)$

Slutlig ljusflödestäthet:

j^{\star }={\frac {2\pi k_{\rm {B}}^{4}T^{4}}{h^{3}c_{0}^{2}} }{\frac {\pi ^{4}}{15}}\!\,

och Stefan-Boltzmann-lagen:

j^{\star }={\frac {2\pi ^{5}k_{\rm {B}}^{4}}{15h^{3}c_{0}^{2}}} T^{4}={\frac {a}{b^{4}}}\Gamma (4)\zeta (4)T^{4}={\frac {a_{1}a}{a_{0 }}}T^{4}=\sigma T^{4}\!\,,

med konstanter:

a={\frac {2\pi h}{c_{0}^{2}}}={\frac {a_{0}c_{0}}{4}}\!\,,\qquad b={\frac {h}{k_{\rm {B}}}}\!\,,\qquad a_{0}={\frac {8\pi h}{c_{0}^{3}} }={\frac {4a}{c_{0}}}\!\,

och strålningskonstant :

a_{1}={\frac {a_{0}}{a}}\sigma ={\frac {4\sigma }{c_{0}}}={\frac {8\pi ^{5 }k_{\rm {B}}^{4}}{15h^{3}c_{0}^{3}}}\!\,.

Termodynamisk härledning

Boltzmann föreställde sig en låda fylld med svartkroppsstrålning och en kolv på ena väggen, tryckt av strålningstryck [26] . Det följer av Maxwell-spänningstensorn för klassisk elektrodynamik att strålningstrycket är relaterat till den inre energitätheten genom förhållandet: $p\!\,$ $w\!\,$

p={\frac {1}{3}}w\!\,.

Den totala inre energin för en volym som innehåller elektromagnetisk strålning kan skrivas som: $U\!\,$ $V\!\,$

U=3pV\!\,.

Enligt termodynamikens första och andra lag (grundläggande termodynamisk relation) är förändringen i inre energi:

\mathrm {d} U=T\mathrm {d} Sp\mathrm {d} V\!\,,

varifrån följer:

T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_ {T}+p\!\,.

Enligt Maxwells termodynamiska relation :

\left({\frac {\partial S}{\partial V))\right)_{T}=+\left({\frac {\partial p}{\partial T))\right)_ {V}=-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial T\partial V}}\!\,

du kan skriva:

T\left({\frac {\partial p}{\partial T))\right)_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial V))\right)_ {T}+p\!\,.

Eftersom strålningstrycket är proportionellt mot den inre energitätheten beror det bara på temperaturen, inte på volymen. Följande gäller:

{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} T}}={\frac {1}{3}}{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d } } T}}\!\,

\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=3p=w\!\,,

så:

T{\frac {1}{3}}{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} T}}=w+{\frac {1}{3}}w={\ frac {4}{3}}w\!\,.

Efter att ha ställt in variablerna:

{\frac {\mathrm {d} w}{w))=4{\frac {\mathrm {d} T}{T))\!\,

och integration:

\ln w=4\ln T+\,\mathrm {konst.} \!\,

De sista är energiflödestätheten och Stefan-Boltzmann-lagen:

j^{\star }=wc_{0}=c_{0}e^{\mathrm {konst.} }T^{4}={\frac {2\pi ^{5}k_{\rm {B}}^{4}}{15h^{3}c_{0}^{2}}}T^{4}=\sigma T^{4}\!\,,

där Stefan-konstanten, uttryckt i termer av andra grundkonstanter, är hämtad från den tidigare härledningen, eftersom Plancks konstant h är okänd för klassisk elektrodynamik. Det följer att tillsatskonstanten :

\mathrm {const.} =\ln {\frac {2\pi ^{5}k_{\rm {B}}^{4}}{15h^{3}c_{0}^{3} }}=-36,204022\,\ln \left[\mathrm {J/(m^{3}\,K^{4})} \right]\!\,.

När man ser tillbaka kan man se att Boltzmann antingen hade tur eller, mer troligt, inspirerad att jämföra resultaten av klassisk elektromagnetism med tanken att strålning beter sig som en vätska. På den tiden var det inte möjligt att ge ett svar på frågan om någon partikel av en vätska, inte ens en heuristisk sådan, före Plancks förslag och en systematisk studie av kvantiseringen av strålningsfältet. Med hjälp av dimensionsanalys kunde Boltzmann dra slutsatsen att om Stefans konstant berodde på andra grundläggande konstanter, skulle en av dem behöva innehålla dimensionen massa , som inte var kända i klassisk fysik. I modern mening motsvarar Boltzmanns argument att säga att den elektromagnetiska spänningstensorn är spårlös :

w-3p=T_{00}-\sum _{j=1}^{3}T_{jj}=T_{\mu }^{\mu }=0\!\,

Denna ekvation gäller det klassiska Maxwell-fältet, och Boltzmann antog implicit att det även gäller det kvantiserade fältet. För närvarande finns det flera exempel på fältteorier där spänningstensorn är spårlös på klassisk nivå, men inte när teorin är korrekt kvantiserad. Exempel är elektrodynamik relaterad till (massalösa) partiklar med icke-triviala vakuumpolarisationsfenomen och icke-abelian interaktionsteori. Faktum är att Stefan-Boltzmanns lag i kvantelektrodynamik (QED) är otillämplig vid höga temperaturer [27] .

n -dimensionellt utrymme

Lagen är också viktig i n -dimensionellt rum. Strålningstrycket i n -dimensionellt utrymme är [28] :

p={\frac {1}{n}}w\!\,,

så:

T\,\mathrm {d} S=(n+1)p\,\mathrm {d} V+nV\,\mathrm {d} p\!\,

Från föreningen:

{\frac {1}{p}}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} T}}={\frac {(n+1)}{T}}\! \,

följer:

p\propto T^{n+1}\!\,

men:

w\propto T^{n+1}\!\,,

så mycket som möjligt

{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}\propto T^{n+1}\!\,.

Samma resultat erhålls med frekvensintegralen i Plancks lag för n -dimensionellt rum, annars med ett annat värde på Stefan-konstanten för varje dimension. I allmänhet är konstanten densamma [29] [30] :

\sigma _{n}={\frac {\pi ^{\frac {n-2}{2}}n(n-1)}{h^{n}}}\left({\frac {2}{c_{0}}}\right)^{n-1}k_{\rm {B}}^{n+1}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right )\zeta (n+1);\qquad n>1\!\,.

Detta är specifikt för : $n=1\,$

\sigma _{1}={\frac {2k_{\rm {B}}^{2}\zeta (2)}{\pi hc_{0}}}\!\,,

för : $n=2\,$

\sigma _{2}={\frac {4\pi k_{\rm {B}}^{3}\zeta (3)}{h^{2}c_{0}}}\!\ ,

och för : $n=3\,$

\sigma _{3}\equiv \sigma ={\frac {12\pi k_{\rm {B}}^{4}\zeta (4)}{h^{3}c_{0}^ {2}}}\!\,.

Exempel

Solens yttemperatur

Med hjälp av sin lag bestämde Stefan även solens yttemperatur [A 1] . Han förlitade sig på Jacques-Louis Sorets data att solens energiflödestäthet till jorden är 29 gånger högre än energiflödestätheten för en uppvärmd metallplatta. Sauret mätte energiflödestätheten vid Mont Blanc . Stefan placerade en rund platta på ett meters avstånd att den såg ut i samma vinkel som solen. Soret uppskattar att temperaturen på plattan kommer att vara mellan 1900 °C och 2000 °C [A 9] . Stefan föreslog att 1/3 av solens energiflöde hålls av jordens atmosfär . Därför tog han ett 3/2 större värde för korrekt flöde av solenergi, 29 3/2 = 43,5. Noggranna mätningar av atmosfärisk absorption gjordes först 1888 och 1904. För temperaturen tog Stefan medelvärdet av de två föregående 1950 °C och för de absoluta termodynamiska 2200 K. Eftersom 2,57 4 = 43,5 följer det av lagen att solens temperatur är 2,57 gånger högre än temperaturen på plattan . Således fick Stefan värdet 5430 °C eller 5703 K. Detta var det första meningsfulla värdet på temperaturen i solens atmosfär.

Den föregicks av värden från 1800 °C till 13 000 000 °C. Angelo Secchi namngav först 18 000 000 °F (10 000 255 K) och senare 250 000 °F (139 144 K) [A 10] . John Waterston 1861 och Francesco Rossetti 1878 gav överdrivna värden. Rossetti skrev ner strålningskraftslagen i formen [A 11] :

j=\varepsilon aT^{2}\left(T-T_{0}\right)-b(T-T_{0}),\qquad (\varepsilon =1)\!\,,

vilket gav, utan korrigering för absorption, ett värde av 10 238,4 K.

Newton bestämde intensiteten av solstrålningen genom att observera temperaturökningen på den torra jorden i solljus. Mitt på sommaren, vid klart väder på Londons latitud , når marken vid middagstid 65,6°C och 29,4°C, så att skillnaden är cirka 36,2°C. Newton ansåg att denna skillnad var en sann indikator på styrkan hos solstrålningen. Han visade alltså att kometen från 1680 exponerades för en temperatur 7000 gånger vattnets kokpunkt (212 7000 = 1 484 000 °F (824,663 K)). Kometen befann sig i rymden på ett avstånd av 1/3 solradie från solens yta. På grund av spridningen av strålar genom solatmosfären och på lämpligt avstånd rapporterade John Ericsson en temperatur på minst 2 640 000 °F (1 466 921 K) i solfotosfären [A 12] . Ett år senare, 1872, räknade Ericsson om 4 036 000 °F (2 242 477 K) [A 6] .

Dulong och Petit 1817 rapporterade ett värde från förhållandet mellan graden av kylning av kroppar i ett vakuum på 1900 ° C [13] . Det första värdet på 1800°C (mellan 1461 och 1761°C) bestämdes av Claude Poulier 1838 från Dulong-Petit-modellen [19] [A 6] . Poulier tog halva värdet av solenergiflödet. Kanske detta resultat påminde Stephan om att Dulong-Petit-modellen inte fungerar vid höga temperaturer. Om solljus samlas upp med en lins kan det värma upp kroppen till en temperatur högre än 1800 °C.

Solens strålning på dess yta och på jordens yta är densamma:

L=L_{\odot }\!\,,

jS_{\odot }=j_{\odot }S\!\,,

\sigma T_{\odot }^{4}4\pi r_{\odot }^{2}=j_{\odot }4\pi a_{0}^{2}\!\,,

så dagens beräknade värde är:

T_{\odot }={\sqrt[{4}]{\frac {j_{\odot }4\pi a_{0}^{2}}{\sigma 4\pi r_{\odot }^ {2))))={\sqrt[{4}]{\frac {j_{\odot }a_{0}^{2)){\sigma r_{\odot }^{2))))={ \sqrt[{4}]{\frac {1366\cdot 149597870691^{2}}{5{,}670400\cdot 10^{-8}\,\cdot \,(6{,}960\cdot 10^ {8})^{2}}}}=5775,9\ \mathrm {K} \!\,,

där W/m 2 är medelvärdet för solkonstanten (densiteten av ljusflödet från solen vid den yttre gränsen av jordens atmosfär), är en astronomisk enhet , är solradien och är solens ljusstyrka . $j_{\odot }=1366$ $a_{0}$ ${\displaystyle r_{\odot ))$ ${\displaystyle L_{\odot ))$

Stjärnornas temperatur

Temperaturen på andra stjärnor kan bestämmas på ett liknande sätt, med tanke på den utsända energin som strålning från svartkroppar [31] . Stjärnans ljusstyrka L :

L=jS=4\pi r^{2}\sigma T_{\rm {e}}^{4}\!\,,

r är stjärnans radie och är den effektiva temperaturen. Samma ekvation kan användas för att beräkna den ungefärliga radien för en huvudsekvensstjärna i förhållande till solen: $T_{\rm {e))$

{\frac {r}{r_{\odot }}}\approx \left({\frac {T_{\odot }}{T}}\right)^{2}{\sqrt {\frac { L}{L_{\odot }}}}\!\,.

Med hjälp av Stefan-Boltzmann-lagen kan astronomer enkelt beräkna radien på en stjärna.

Hawking-strålning

Lagen visar sig också i termodynamiken hos svarta hål i Hawking-strålning . Hawkings strålningstemperatur är:

T_{\rm {H}}={\frac {\hbar c_{0}^{3}}{8\pi \kappa mk_{\rm {B}}}}\!\,.

Ytan på en Schwarzschild-sfär med Schwarzschild- radie är: $r_{\rm {s))$

S_{\rm {s}}=4\pi r_{\rm {s}}^{2}=4\pi \left({\frac {2\kappa m}{c_{0}^{ 2}}}\right)^{2}={\frac {16\pi \kappa ^{2}m^{2}}{c_{0}^{4}}}\!\,.

Således strålningen från ett svart hål (vid ): $\varepsilon=1$

L=\varepsilon jS_{\rm {s}}=\varepsilon \sigma T_{\rm {H}}^{4}S_{\rm {s}}=\varepsilon \left({\frac { \pi ^{2}k_{\rm {B}}^{4}}{60\hbar ^{3}c_{0}^{2}}}\right)\left({\frac {\hbar c_ {0}^{3}}{8\pi \kappa mk_{\rm {B}}}}\right)^{4}\left({\frac {16\pi \kappa ^{2}m^{ 2}}{c_{0}^{4}}}\right)={\frac {\hbar c_{0}^{6}}{15360\pi \kappa ^{2}m^{2}}} \!\,,

där är den reducerade Planck-konstanten , är ljusets hastighet och är Newtons gravitationskonstant . Dessa ekvationer har ännu inte härletts inom ramen för den semiklassiska gravitationsteorin. $\hbar$ ${\displaystyle c_{0))$ $\kappa$

Jordens yttemperatur

På liknande sätt kan man beräkna den effektiva temperaturen på jordens yta genom att bestämma energin som tas emot från solen och energin som utstrålas av jorden, där det är nödvändigt att anta att båda kropparna är helt svarta: $T_{\rm {Z))$

T_{{\rm {Z)),0}=T_{\odot }{\sqrt {\frac {r_{\odot }}{2a_{0))))=5776\cdot {\sqrt { \frac {6,96\cdot 10^{8}}{2\cdot 149597870691}}}\approx 279\;{\rm {K}}\!\,.

Den effektiva temperaturen vid jordens yta är alltså 6°C.

Ovanstående beräkning är en grov uppskattning eftersom jorden som standard är en svart kropp. Jämviktsplanettemperaturen skulle ha samma värde om planetens ljusstyrka och absorptionsförmåga skulle minska med någon konstant proportion vid alla våglängder, eftersom de inkommande och utgående värdena fortfarande skulle vara desamma vid samma temperatur. Denna temperatur kommer dock inte längre att uppfylla den effektiva temperaturdefinitionen. Samma resultat kommer att erhållas om vi antar att hela jorden är en grå kropp:

(1-a)j_{\odot }\pi r_{\rm {Z}}^{2}=4\pi r_{\rm {Z}}^{2}\varepsilon \sigma T_{{ \rm {Z}},0}^{4}\!\,,

där reflektivitet och luminans är desamma, så förhållandet är:

a+\varepsilon =1\!\,

och är:

T_{{\rm {Z)),0}={\sqrt[{4}]{\frac {j_{\odot }}{4\sigma }}}=T_{\odot }{\sqrt {\frac {r_{\odot }}{2a_{0}}}}\!\,.

Faktum är att jorden inte har egenskaperna hos en grå kropp. Jordens albedo är sådan att cirka 30 % av den infallande solstrålningen reflekteras tillbaka till rymden . Av dessa är 4 % reflekterad strålning på ytan, 20 % från moln och 6 % släpps ut i luften. Om vi tar hänsyn till solens reducerade energi och beräknar temperaturen på den svarta strålningen som skulle stråla ut så mycket energi tillbaka till rymden, så är den "effektiva temperaturen" som motsvarar denna representation cirka 255 K [32] .

(1-a)j_{\odot }\pi r_{\rm {Z}}^{2}=4\pi r_{\rm {Z}}^{2}\sigma T_{{\rm {Z}},1}^{4}\!\,,

där det används

\varepsilon =1\!\,

och är

T_{{\rm {Z)),1}={\sqrt[{4}]{\frac {(1-a)j_{\odot }}{4\sigma }}}={\sqrt [{4}]{\frac {(1-0,3)\cdot 1366}{4\cdot 5{,}670400\cdot 10^{-8))))\approx 255\;{\rm {K }}\!\,.

Jämfört med 30 % av solenergins reflektion absorberas eller reflekteras mer strålning med längre våglängder från jordens yta till atmosfären och överförs inte på grund av växthusgaser , särskilt: vattenånga , koldioxid och metan [33] [34 ] . Eftersom ljusstyrkan (mätt vid högre våglängder där jorden strålar) minskar mer än absorptionsförmågan (mätt vid lägre våglängder av solstrålning), är jämviktstemperaturen högre än den enkla svartkroppsapproximationen skulle indikera, inte lägre. Den faktiska medeltemperaturen på jordens yta är cirka 288 K, inte 279 K. Global uppvärmning ökar denna jämviktstemperatur på grund av mänsklig exponering för växthusgaser. Sedan 1880, då den allmänna jämviktstemperaturen antogs vara 13,6°C, har den ökat med 0,7°C till 14,3°C, och den globala uppvärmningens energiflödestäthet är 0,02 W/m 2 [35] .

Tillståndet för jordens strålningsjämvikt ges av en enkel nollbanamodell:

(1-a)j_{\odot }\pi r_{\rm {Z}}^{2}=4\pi r_{\rm {Z}}^{2}\varepsilon \sigma T_{{ \rm {Z}},2}^{4}\!\,,

där a = 0,3 är jordens genomsnittliga reflektionsförmåga och = 0,612 för jordens effektiva ljusstyrka . Den vänstra sidan representerar den inkommande energin från solen, och den högra sidan representerar den utgående energin från jorden i enlighet med Stefan-Boltzmanns lag. Följaktligen $\varepsilon$

T_{{\rm {Z)),2}={\sqrt[{4}]{\frac {(1-a)j_{\odot }}{4\varepsilon \sigma }}}={ \sqrt[{4}]{\frac {(1-0,3)\cdot 1366}{4\cdot 0.612\cdot 5{,}670400\cdot 10^{-8))))\approx 288\; {\rm {K}}\!\,.

Samma resultat erhålls om vi antar att jordens atmosfär är en grå kropp och tar hänsyn till dess strålning : $\varepsilon _{o}$

T_{{\rm {Z)),2}=T_{{\rm {Z)),1}{\sqrt[{4}]{\frac {2}{2-\varepsilon _{o }}}}=T_{{\rm {Z}},1}{\sqrt[{4}]{\frac {1}{\varepsilon }}}=255\cdot {\sqrt[{4}]{ \frac {2}{2-0.776}}}=255\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {1}{0.612}}}\approx 288\;{\rm {K}}\!\ ,.

Solstrålning reflekteras olika vid olika våglängder. Vid kanten av atmosfären är reflektionen i det infraröda området 0,8 och vid ytan i det synliga 0,2.

Ljusflödestäthet för svarta kroppar

Tabellen visar tätheterna för det emitterade ljusflödet från vissa idealiserade svarta kroppar eller tillstånd.

$T$ [ K ]	$\vartheta$ [ °C ]	kropp /stat	[W/ m2 ]
118,9 10 −16		Hawking-strålning från ett svart hål med solens massa	113,2 10 −83
0,0648	-272 935	ljusflöde som fortfarande uppfattas av det mänskliga ögat	10 −12 [36]
2.7	-270,45	kosmisk mikrovågsbakgrundsstrålning _	3,013 10 −6
14.01	-259,14	smältpunkt för flytande väte	0,00218
184	-89	lägsta uppmätta temperaturen på jorden (1983)	65,0
273,15	0	is	315,0
288	femton	medeltemperatur på jorden	390,1
298	25	rumstemperatur	447,2
309,8	36,8	mänsklig kroppstemperatur	522,3
331	58	högsta uppmätta temperaturen på jorden (1922)	680,7
394	121	Solstrålning vid kanten av atmosfären	1366
503	230	varmsvetsning av stål	3629,8
773	500	varm värmare	20 245,6
798	525	svartkropp vid Drapers punkt	22 994,4
1273	1000	gul låga	148 911,2
1941	1668	smält titan	804 851,7
2041.4	1768.4	smält platina	984 750,3
2773	2500	glödlampa	3 352 842,9
5776		solfotosfär _	63 113 529,9
25 000		universums medeltemperatur 10 000 år efter Big Bang	22 150 001 850
15,7 10 6		Solkärna	3,445183366 10 21
10 10 9		supernovaexplosion	567.04400475 10 30
140 10 30		Plancktemperatur för ett svart hål Universums temperatur 500 10 −42 s efter Big Bang	217.8341047 10 123

Wiens ungefärliga energiflödestäthet

Energiflödestätheten i Wien-approximationen är:

j_{\rm {W}}^{\star }=2\pi hc_{0}^{2}\int _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{\lambda ^{5}e^{hc_{0}/(\lambda k_{\rm {B}}T)}}}\mathrm {d} \lambda \!\,.

Med samma variabel u som ovan går integralen till:

j_{\rm {W}}^{\star }={\frac {2\pi k_{\rm {B}}^{4}T^{4}}{h^{3}c_{ 0}^{2}}}\int _{0}^{\infty }\,{\frac {u^{3}}{e^{u}}}\mathrm {d} u\!\,.

och värdet på integralen är:

\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}}}\mathrm {d} u=6\!\,,

så energiflödestätheten är:

j_{\rm {W}}^{\star }={\frac {12\pi k_{\rm {B}}^{4}}{h^{3}c_{0}^{2 ))T^{4}={\frac {90}{\pi ^{4}}}j^{\star }={\frac {1}{\zeta (4)))\sigma T^{ 4 }\approx 0,923938\,\sigma T^{4}\!\,

motsvarande mindre.

Energiflödestätheten för Rayleigh-Jeans approximation

Energiflödestätheten i Rayleigh-Jeans approximation är:

j_{\rm {R}}^{\star }=2\pi c_{0}k_{\rm {B}}T\int _{0}^{\infty }\,{\frac { 1}{\lambda ^{4))}\mathrm {d} \lambda \!\,.

Integralen avviker:

\int _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{\lambda ^{4))}\mathrm {d} \lambda =\infty \!\,,

så energiflödestätheten är oändlig:

j_{\rm {R}}^{\star }=\infty \!\,.

Detta är ett klassiskt resultat, enligt vilket det sker ett kontinuerligt utbyte av strålningsenergi.

Bekräftelse, acceptans och mening

Vissa fysiker anklagar Stefan för att hans väg till upptäckten av lagen var ganska skakig. I synnerhet visade det sig vara ett misstag att använda platina som strålningskälla för svartkroppar [37] . Det vore fel att säga att han upptäckt lagen blint. Många lyckliga tillfälligheter påverkade hans beslutsamhet, vilket ofta händer med många viktiga upptäckter. Efter att ha mätt värmeledningsförmågan blev han övertygad om olämpligheten av Dulong-Petit-modellen, använde den kinetiska teorin om gaser, tillämpade den absoluta temperaturen [38] . Dulong-Petit-modellen använde också Celsius-temperatur . Strax efter att artikeln publicerats började även andra forskare testa Stefans lag. Det bekräftades av Leo Graetz 1880 och Christian Christiansen 1884 [39] [40] .

Vid tiden för upptäckten av lagen var dess räckvidd ännu inte helt fastställd. Till slut insåg forskarna att de behövde använda en svart kropp. Den svarta kroppsmodellen utvecklades av Otto Lummer och Ernst Pringsheim 1897 och Ferdinand Kurlbaum 1898 [41] . År 1896 upptäckte Wilhelm Wien lagen om att förskjuta det maximala spektrumet av svartkroppsstrålning . Max Planck började arbeta med svartkroppsstrålning 1894. Han var den första som övervägde effekten av elektromagnetiska vågor på en liten elektrisk dipol [41] . Han upptäckte sin lag 1900, och Lord Rayleigh och James Jeans presenterade sin lag 1905 baserad på klassisk fysik , vilket visade sig vara en approximation av Plancks lag. Plancks lag kan inte enbart härledas från de elektromagnetiska fältekvationerna , och tillvägagångssätt från kvantfysiken måste beaktas . Planck försonade sig knappt med den nya idén att strålning inte kontinuerligt kunde utbyta energi med väggen på en svart kropp. Hans formel togs inte på allvar först, men 1905 utökade Albert Einstein sin idé och förklarade det fotoelektriska fenomenet i sin uppsats On the Heuristic Position Concerning the Origin and Change of Light . 1920 utvecklade Shatyendranath Bose teorin om statistisk fotonmekanik , från vilken Plancks lag teoretiskt härleddes.

Stefan-värdet för soltemperaturen bekräftades oberoende empiriskt 1894 av William Wilson och Gray med hjälp av en heliostat och en reviderad differentialradiomikrometer gjord 1889 av Charles Boyes . Instrumentet var en kombination av en bolometer och en galvanometer. Med hjälp av nollmetoden jämförde de solstrålning med strålning från en elektriskt uppvärmd platinaremsa . De mätte en effektiv temperatur på cirka 7073 K, vilket efter flera korrigeringar för absorption i jordens atmosfär och solens atmosfär 1901 gav ett värde på 6590 °C (6863 K) [A 13] [42] [43 ] [44] .

Notes(A)

↑ 1 2 3 Stefan, 1879 .
↑ 12 Boltzmann , 1884 .
↑ Dulong, Petit, 1818 .
↑ Tyndall, 1865b .
↑ Tyndall, 1865a .
↑ 1 2 3 Ericsson, 1872 .
↑ Crova, 1880 .
↑ Bartoli, 1884 .
↑ Soret, 1872 , s. 228, 252-256.
↑ Ung, 1880 .
↑ Rossetti, 1878 .
↑ Ericsson, 1871 .
↑ Wilson, Gray, 1894 .

Anteckningar

↑ Stefan - Boltzmanns lag om utstrålning // Physical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia (vol. 1-2); Great Russian Encyclopedia (bd 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ Sivukhin D. V. § 118. Plancks formel // Fysik allmän kurs. - M . : Nauka , 1980. - T. IV. Optik. - S. 701-702. — 768 sid.
↑ Stefan-Boltzmann konstant . Grundläggande fysiska konstanter . NIST-referensen om konstanter, enheter och osäkerhet. Hämtad 28 februari 2018. Arkiverad från originalet 29 juli 2020.
↑ 1 2 Strnad, 2006 , sid. 51.
↑ Južnič, 2004 , sid. 24.
↑ Martinson och Smirnov, 2004 , sid. åtta.
↑ Trefil, James. Stefan-Boltzmann lag . https://elementy.ru/ . Element. Hämtad 26 maj 2022. Arkiverad från originalet 26 maj 2022. (ryska)
↑ 1 2 Martinson och Smirnov, 2004 , sid. 9.
↑ Martinson och Smirnov, 2004 , sid. tio.
↑ Martinson och Smirnov, 2004 , sid. elva.
↑ 1 2 Martinson och Smirnov, 2004 , sid. fjorton.
↑ Južnič, 2004 , sid. 28.
↑ 12 Satterly , 1919 .
↑ 1 2 Crepeau, 2007 , sid. 799.
↑ 12 Crepeau , 2007 .
↑ Sitar, 1993 , sid. 80.
↑ 1 2 Balazs, Vargha, Zsoldos, 2008 .
↑ Kangro, 1976 , s. 8–10.
↑ 1 2 Strnad, 1985 , sid. 48.
↑ Strnad, 2001 , sid. 149.
↑ Južnič, 2004 , sid. 29.
↑ Strnad, 1982 , sid. åtta.
↑ Vargha, Balázs, 2008 , sid. 140.
↑ Stefan-Boltzmannov zakon (engelska) (länk ej tillgänglig) . Hämtad 24 maj 2022. Arkiverad från originalet 23 augusti 2000.
↑ Stefan-Boltzmannov zakon (engelska) (länk ej tillgänglig) . PlanetPhysics.org. Hämtad 24 maj 2022. Arkiverad från originalet 11 september 2009.
↑ Cardy, 2010 , sid. 2.
↑ Cardy, 2010 , sid. 3.
↑ Giddings, 1984 .
↑ Cardoso, de Castro, 2005 , sid. 563.
↑ Gonzalez-Ayala, Angulo-Brown, 2015 .
↑ Izsevzvezd (engelska) . Australian Telescope Outreach and Education. Hämtad 13 augusti 2006. Arkiverad från original 9 augusti 2014.
↑ Kreith, 2000 .
↑ Das, 1996 .
↑ Cole, Woolfson, 2002 .
↑ Nordell, 2003 , sid. 310.
↑ Strnad, 1978 , sid. 523.
↑ Dougal, 1979 , sid. 234.
↑ Strnad, 1990 , sid. 192.
↑ Sitar, 1993 , sid. 83.
↑ Južnič, 2004 , sid. trettio.
↑ 1 2 Strnad, 1982 , sid. 3.
↑ Petrovay, 2020 .
↑ Leaney, 2009 .
↑ Butler, Elliott, 1993 .

Källor

Balazs, Lajos G.; Vargha, Magda; Zsoldos, Endre (julij 2008). ”Rado Köveslighetys spektroskopiska verk” . Journal of Astronomical History and Heritage . 11 (2): 124-133. Bibcode : 2008JAHH...11..124B . ISSN 1440-2807 . Kontrollera datumet på |date=( hjälp på engelska )
Bartoli, Adolfo (1884). "Il calorico raggiante e il secondo principio di termodynamica" [Strålningsvärme och termodynamikens andra lag] (PDF) . Il Nuovo Cimento (1877-1894) [ ital. ]. 15 : 196-202.
Boltzmann, Ludwig Edward (1884). "Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie" [Herledning av Stefans lag om värmestrålningens beroende av temperatur från den elektromagnetiska ljusteorin]. Annalen der Physik und Chemie ]. 22 :291-294. DOI : 10.1002/andp.18842580616 .
Butler, CJ; Elliott, I. (1993). "Biografiska och historiska anteckningar om pionjärerna inom fotometri i Irland". DOI : 10.1017/S0252921100007326 .
Cardoso, Tatiana R.; de Castro, Antonio S. (2005). "Den svartkroppsstrålning i ett D-dimensionellt universum" (PDF) . Revista Brasileira de Ensino de Física . 27 (4): 559-563. DOI : 10.1590/S1806-11172005000400007 .
Cardy, John (2010). "Det allestädes närvarande 'c': från Stefan-Boltzmann-lagen till kvantinformation". Boltzmann-medaljföreläsning . stenrösen. arXiv : 1008.2331 .
Cole, George H.A.; Woolfson, Michael M. (2002). "Planetary Science: The Science of Planets Around Stars" (1 upplaga). Institute of Physics Publishing: 36-37, 380-382. ISBN 0-7503-0815-X .
Crepeau, John C. (2007). "Josef Stefan: Hans liv och arv inom de termiska vetenskaperna". Experimentell termisk och vätskevetenskap . 31 : 795-803. DOI : 10.1016/j.expthermflusci.2006.08.005 .
Crepeau, John C. (2009). "En kort historia av T4 - strålningslagen" (PDF) . 2009 ASME Summer Heat Transfer Conference .
Crova, André-Prosper-Paul (1880). "Étude des radiations émises par les corps incandescents. Mesure optique des hautes températures” [Studien av strålning som emitteras av glödkroppar. Optisk mätning av höga temperaturer]. Annales de chimie et de physique . Serie 5 [ fr. ]. 19 :472-550.
Das, PK (1996). "Jordens förändrade klimat" (PDF) . Resonans . 1 (3): 54-65.
Dougal, R.C. (1979). "Fjärde maktens hundraårsminne" . Phys. Utbildning . 14 :234-238.
Dulong, P.L.; Petit, A. T. (1818). "Des Recherches sur la Mesure des Tempe´ratures et sur les Lois de la communication de la chaleur" [Studie om temperaturmätning och termisk kommunikations lagar]. Annales de Chimie et de Physique . 7 : 225-264.
Ericsson, John (1871). "Temperaturen producerad av solstrålning" [Temperatur producerad av solstrålning]. natur _ _ ]. 5 :46-48.
Ericsson, John (1872). "The temperature of the surface of the sun" [The temperature of the surface of the sun]. natur _ _ ]. 5 : 505-507.
Giddings, Steven B. (1984). "Inkoherent strålning i ett n-dimensionellt utrymme" . American Journal of Physics . 52 : 1125. Bibcode : 1984AmJPh..52.1125G . DOI : 10.1119/1.13741 .
Gonzalez-Ayala, Julian; Angulo-Brown, F. (2015). "Är universums 3 + 1) - d natur en termodynamisk nödvändighet?". arXiv : 1502.01843 [ gr-qc ]. Utfasad parameter används |class=( hjälp )
Južnič, Stanislav (2004). “Raziskovanje vakuuma na (dunajskem) fizikalnem inštitutu Jožefa Stefana : (ob stopetindvajsetletnici Stefanovega zakona)” [Vakuumforskning vid Josef Stefan Physical Institute (Wien): (på 125-årsdagen av Stefans död)]. vakuumist . 2 (4): 24-32. 18917159.
Kangro, Hans (1976). "Tidig historia av Plancks strålningslag" . Taylor och Francis . ISBN 0-85066-063-7 .
Kreith, Frank (2000). "The CRC Handbook of Thermal Engineering" . CRC Press/Springer. ISBN 3540663495 .
Leaney, Enda (2009). Irlands nationella biografiska ordbok . Parameter |chapter=hoppade över ( hjälp på engelska )
Nordell, Bo (2003). "Termiska föroreningar orsakar global uppvärmning" (PDF) . Globala och planetära förändringar . 38 (3-4): 305-312. DOI : 10.1016/S0921-8181(03)00113-9 .
Perez-Madrid, Agustin; Rubi, J. Miguel; Lapas, Luciano C. (2010-02-10). "Ingen jämvikt Stefan-Boltzmann lag". Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics . 35 (3). arXiv : 1002.0794 . DOI : 10.1515/JNETDY.2010.017 .
Petrovay, Kristóf (2020). "Bestämning av stjärntemperaturer från Baron B. Harkányi till Gaia-missionen." Tidskrift för astronomis historia . 51 (2): 152-152. arXiv : 2003.08092 . DOI : 10.1177/0021828620918961 .
Poynting, John Henry (1904). "Strålning i solsystemet" . naturen . 70 : 512-515.
Rossetti, Francesco (1878). "Indagini sperimentali sulla temperatura del Sole" [Experimentella studier av solens temperatur]. Atti della Realle Accademia dei Lincei. Memorie della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali (1877-1878, Serie 3) [ ital. ]. 275 (2): 169-201.
Satterly, John (1919). "Strålning och solens temperatur" . Journal of the Royal Astronomical Society of Canada . 13 (2): 33-44. Bibcode : 1919JRASC..13...33S .
Sitar, Sandi (1993). “Jožef Stefan : pesnik in fizik : ob stoletnici smrti”. Ljubljana: Park. Okänd parameter |cobiss=( hjälp )
Soret, MJ-L. (1872). "Jämförelse des intensités calorifiques du rayonnement solaire och du rayonnement d'un corps chauffé à la lampe oxyhydrique" Archives des sciences physiques et naturelles, Ser.2 . 43-45:220.
Stefan, Jožef (1879). "Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur" [Om förhållandet mellan termisk strålning och temperatur] (PDF) . SAW [ tyska ] ]. 79 (II): 391-428.
Strnad, Janez (1978). "Fizika, 2. del, Elektrika, Optika". Ljubljana: DZS: 524. Okänd parameter |cobiss=( hjälp )
Strnad, Janez (1979). "Sto låt Stefanovega zakona". Obzornik za matematiko in fiziko . 26 (3): 65-73. (PACS 01,65+g) . Okänd parameter |cobiss=( hjälp )
Strnad, Janez (1982). "Začetki kvantne fizike: od kvanta do snovnega valovanja" ( Presekova knjižnica; 9:e upplagan). Ljubljana: DMFA: 1-48. Okänd parameter |cobiss=( hjälp )
Strnad, Janez (1985). "Jožef Stefan, Ob stopetdesetletniki rojstva" ( Presekova knjižnica; 24:e upplagan). Ljubljana: DMFA : 1-64. Okänd parameter |cobiss=( hjälp )
Strnad, Janez (1990). "Zgodbe iz fizike". Ljubljana: Slovenska matica. Okänd parameter |cobiss=( hjälp )
Strnad, Janez (2001). "Sevalni tlak i PN Lebedev". Obzornik za matematiko in fiziko . 48 (5): 148-153. (PACS 01.60, 33.80.P) . Okänd parameter |cobiss=( hjälp )
Strnad, Janez (2006). "Planckov začetek kvantne fizike". Obzornik za matematiko in fiziko . 53 (2): 51-63. (PACS 01,65+g) . Okänd parameter |cobiss=( hjälp )
Tyndall, John (1865a). "Über leuchtende und dunkle Strahlung" [Om ljus och mörk strålning]. Annalen der Physik und Chemie ]. 200 :36-53.
Tyndall, John (1865b). "Värme anses vara ett rörelsesätt" ( PDF) [ sv. ]. D. Appleton & Company .
Vargha, Magda; Balazs, Lajos G. (2008). "Kovesligethys spektroskopiska studier" (PDF) . Kommunikationer i asteroseismologi . 149 : 136-142.
Wilson, William Edward ; Gray, P. E. (1894). "Experimentella undersökningar av solens effektiva temperatur" Proceedings of the Royal Society of London Series I ]. 55 : 250-251.
Wilson, William Edward (1900). "Astronomiska och fysiska undersökningar gjorda på Mr. Wilsons observatorium, Daramona, Westmeath” (PDF) .
Young, Charles Augustus (1880). "Solens värme" [solvärme]. Populärvetenskaplig månadstidning _ ]. 18 .
Martinson, L.K.; Smirnov, E.V. Kvantteori . - M . : Förlag av MSTU im. N. E. Bauman, 2004. - 496 sid. — ISBN 5703824389 .

Ordböcker och uppslagsverk	Stor norsk Britannica (online)