Kolinearitet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 21 oktober 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Kollinearitet (från lat. kol - kompatibilitet och lat. linearis - linjär ) - förhållandet mellan vektorers parallellitet : två vektorer som inte är noll kallas kollineära om de ligger på parallella linjer eller på en linje [1] . Låt oss anta en synonym - "parallella" vektorer.

Kolinjära vektorer kan vara riktade i samma riktning ("samriktade") eller motsatt riktade (i det senare fallet kallas de ibland "antikollinjära" eller "antiparallella").

Huvudbeteckningen är ; samriktade kolinjära vektorer betecknas som motsatt riktade - . Om de inte är lika ${\vec {a}}\parallel {\vec {b}}$ ${\vec {a}}\upuparrows {\vec {b}}$ ${\vec {a}}\uparrow \downarrow {\vec {b}}$

Egenskaper

Den kolinjära relationen är reflexiv ( ). ${\vec {a}}||{\vec {a}}$
Kollinearitetsrelationen är symmetrisk ( ). ${\vec {a}}||{\vec {b}}\Leftrightarrow {\vec {b}}||{\vec {a}}$
Kollinearitetsrelationen för vektorer som inte är noll är transitiv : om och , då . ${\vec {a}}||{\vec {b}},\ {\vec {b}}||{\vec {c}}$ ${\vec {b}}\neq {\vec {0}}$ ${\vec {a}}||{\vec {c}}$
Nollvektorn är kolinjär med vilken vektor som helst.
Två vektorer är linjärt beroende om och endast om de är kolinjära.
Om och , så finns det ett reellt tal så att (desutom , om vektorerna är samriktade och om de är motsatta). Detta förhållande kan också fungera som ett kriterium för kollinearitet. ${\vec {a}}||{\vec {b}}$ ${\vec {b}}\neq {\vec {0}}$ $\lambda$ ${\vec {a}}=\lambda {\vec {b}}\;$ $\lambda>0$ $\lambda < 0$
En trippel av vektorer som innehåller ett par kolinjära vektorer är koplanär .
Vektorer på planet är kolinjära om och endast om deras pseudoskalära produkt är lika med 0. På planet bildar två icke-kollinjära vektorer en bas . Detta betyder att vilken vektor som helst kan representeras som: . Då blir koordinaterna i det givna underlaget. ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {c}}$ ${\vec {c}}=x_{1}{\vec {a}}+x_{2}{\vec {b}}$ $\;\{x_{1},x_{2}\}$ ${\vec {c}}$
Den skalära produkten av kolinjära vektorer är lika med produkten av deras längder (tagen med ett minustecken om vektorerna är motsatt riktade).
Korsprodukten av kolinjära vektorer är lika med 0 - ett nödvändigt och tillräckligt villkor för kolinjäritet .

Generaliseringar

Kollinearitetskriterier tillåter oss att definiera detta koncept för vektorer som inte förstås i geometrisk mening, utan som element i ett godtyckligt linjärt utrymme .

Ibland kallas kolinjära punkter, som ligger på en rät linje [1] .

Anteckningar

↑ 1 2 A.B. Ivanov. Kolinjära vektorer // Mathematical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1979. - T. 2: D - Koo. - 1104 stb. : sjuk. — 150 000 exemplar.

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig