Shapley-Folkman Lemma

Shapley-Folkman-lemmat [ca. 1] länkar två operationer av konvex geometri - Minkowski addition och konvex skrov . Lemmat har tillämpningar inom ett antal discipliner, inklusive matematisk ekonomi , optimering och sannolikhetsteori [2] . Lemmat och relaterade resultat tillåter oss att ge ett jakande svar på frågan "Är summan av flera mängder nära konvexitetstillståndet [3] .

Lemmat är uppkallat efter Lloyd Shapley och John Folkmanoch publicerades först i verk av ekonomen Ross Starr. 2012 vann Shapley tillsammans med Alvin Roth Nobelpriset i ekonomi [ca. 2] . Starrs verk, där det första omnämnandet av lemma förekom, publicerades 1969. Sedan samarbetade ekonomen med den berömde amerikanske vetenskapsmannen Kenneth Arrow och behandlade frågan om förekomsten av vissa ekonomiska jämvikter [1] . I Starrs arbete genomfördes en studie av ekonomin , där några geometriskt uttryckta samband som hade egenskapen icke-konvexitet ersattes av de närmaste konvexa motsvarigheterna - konvexa skrov . Starr bevisade att en sådan "konvex" ekonomi har jämvikter som ligger mycket nära den ursprungliga ekonomins kvasi-jämvikter. Dessutom bevisade forskaren att varje kvasi-jämvikt har ett antal optimala egenskaper för en sann jämvikt, som hittades i konvexa ekonomier. Arbetet av Shapley, Folkman och Starr visade att huvudresultaten av konvex ekonomi är goda approximationer av ekonomi med icke-konvexa element. Lemma antyder att om antalet summeringar av uppsättningar överstiger dimensionen av vektorrymden D , så krävs det att hitta konvexa skrov ("ov-convexity") endast för D- summander [1] . Den franske ekonomen Roger Gesnery skrev: "Att få dessa resultat i en allmän form var en av efterkrigstidens främsta ekonomiska teorier" [4] .

Ämnet om icke-konvexa uppsättningar i ekonomi blev föremål för forskning av många andra Nobelpristagare [ca. 2] . Paul Samuelson (1970-priset), Kenneth Arrow (1972), Tjalling Koopmans (1975), Gerard Debreux (1983), Robert Aumann (2005), Paul Krugman (2008) arbetade med detta nummer . Leonid Kantorovich (1975), Robert Solow (1987), Leonid Gurvich (2007) behandlade relaterade ämnen om konvexa uppsättningar . Inom optimeringsteorin har Shapley-Folkman-lemmat använts för att förklara den framgångsrika lösningen av problem med att minimera summorna av flera funktioner [5] [6] , samt för att bevisa " medellagen " för slumpmässiga mängder (denna sats har endast bevisats för konvexa uppsättningar) [7] .

Kategorier som övervägs

Lemmat är baserat på några matematiska kategorier och resultat av konvex geometri.

Verkligt vektorutrymme

En algebraisk struktur kallas ett vektorrum , för vars beståndsdelar två operationer definieras - addition och multiplikation med ett tal (kallad " skalär " ). I det här fallet är operationer föremål för åtta axiom: $V$

$\mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {y} +\mathbf {x}$ , för alla ( kommutativitet av addition ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \i V$
$\mathbf {x} +(\mathbf {y} +\mathbf {z} )=(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+\mathbf {z}$ , för alla ( associativitet av addition ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V$
det finns ett element så att för varje ( förekomsten av ett neutralt element med avseende på addition ), i synnerhet, det inte är tomt; $\theta \i V$ $\mathbf {x} +\theta =\mathbf {x}$ $\mathbf {x} \i V$ $V$
för varje det finns ett element så att ( existensen av ett motsatt element med avseende på addition ). $\mathbf {x} \i V$ $-\mathbf {x} \i V$ $\mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\theta$
$\lambda (\mu {\mathbf {x}})=(\lambda \mu ){\mathbf {x}}$ ( associativitet av multiplikation med en skalär );
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ ( unitarity: multiplikation med en multiplikationsneutral skalär bevarar en vektor ).
$(\lambda +\mu ){\mathbf {x}}=\lambda {\mathbf {x}}+\mu {\mathbf {x}}$ ( distributivitet av multiplikation med en vektor med avseende på addition av skalärer );
$\lambda ({\mathbf {x}}+{\mathbf {y}})=\lambda {\mathbf {x}}+\lambda {\mathbf {y}}$ ( distributivitet av multiplikation med en skalär med avseende på vektoraddition ),

där är en icke- tom uppsättning element ( "vektorer" ) av det givna utrymmet [8] . $V$

En viktig egenskap hos ett vektorrum är dimensionen , som kännetecknar det maximala antalet linjärt oberoende element i rummet. Dessa linjärt oberoende element utgör grunden för vektorrummet [9] .

Konvex uppsättning

En icke-tom mängd i ett reellt vektorrum anses vara konvex om segmentet som förbinder två punkter är en delmängd [10] . Till exempel är den icke-konvexa uppsättningen av heltal {0, 1, 2} en delmängd av intervallet [0, 2], som har konvexitetsegenskapen. Cirkeln är en konvex mängd, och cirkeln kan inte betraktas som sådan, eftersom inte alla punkter i segmentet samtidigt kommer att vara punkter i mängden: . Den tomma mängden anses vara konvex antingen per definition [11] eller baserad på den tomma sanningsprincipen $F$ $F$ $F$ $\kula$ $\cirkel$ $\oslash$ [cirka. 3] .

Formellt kan en konvex uppsättning definieras enligt följande:

En mängd är konvex om villkoret för några punkter och vilket reellt tal som helst $F$ $v_{0}$ $v_{1}\i Q$ $\lambda \in[0,1]$

(1-\lambda )v_{0}+\lambda v_{1}\i Q

En konvex kombination av en uppsättning är något viktat medelvärde som definieras av formeln

\sum _{{i=1}}^{n}\lambda _{i}v_{i}

under förhållanden

{\begin{cases}\lambda _{i}\geqslant 0,\\\sum _{{i=1}}^{n}\lambda _{i}=1.\end{cases}}

Genom att använda metoden för matematisk induktion kan man fastställa att en mängd är konvex om och endast om varje konvex kombination tillhör själva mängden [12] [13] [14] : $F$ $F$

\sum _{{i=1}}^{n}\lambda _{i}v_{i}\in Q

Definitionen av en konvex mängd förutsätter att skärningen av två konvexa mängder alltid är konvex. Detta innebär också att skärningspunkten för en familj av konvexa uppsättningar också är konvex. I synnerhet har ett par disjunkta uppsättningar en skärning av den tomma uppsättningen, som, som fastställts ovan, är konvex [11] .

Konvext skrov

Det konvexa skrovet av en uppsättning är den minsta konvexa uppsättningen som innehåller som en delmängd. Den minsta uppsättningen är det minsta elementet med avseende på inbäddningen av uppsättningar, det vill säga en konvex uppsättning som innehåller en given figur så att den ingår i vilken annan konvex uppsättning som helst som innehåller en given figur. Så är skärningspunkten för alla konvexa uppsättningar som täcker . Till exempel är det konvexa skrovet i mängden {0, 1} segmentet av tallinjen [0, 1] som innehåller heltal 0 och 1 [15] . $ConvQ$ $F$ $F$ $ConvQ$ $F$

Minkowski tillägg

Minkowski-summan av icke-tomma mängder och i ett reellt vektorrum är mängden som består av summorna av alla möjliga element i summan av mängderna [16] [17] : $F_1$ $F_{2}$ $F_{3}$

$Q_{3}=\left\{\,q_{3}\mid q_{3}=q_{1}+q_{2},q_{1}\in Q_{1},q_{2}\in Q_ {2}\,\right\}.$

Så, som ett resultat av operationen, bildas en summamängd, som inkluderar alla möjliga summor av element i den första och andra uppsättningen. Till exempel, om en uppsättning som består av noll och en läggs till sig själv, blir resultatet en uppsättning som inkluderar noll, ett och två [15] :

\{0,1\}+\{0,1\}=\{0+0,0+1,1+0,1+1\}=\{0,1,2\}.

Enligt metoden för matematisk induktion, Minkowski summan av en finit familj av icke-tomma mängder under villkoren $Q_{n}$

{\begin{cases}Q_{n}\neq \varnothing ,\\1\leqslant n\leqslant N.\\\end{cases))

är en mängd som bildas genom elementvis addition av summamängder [18] [19] :

\sum Q_{n}=\{\sum q_{n}:q_{n}\i Q_{n}\}

Summan av en mängd och en mängd som bara innehåller ett nollelement är lika med : $F$ $\{0\}$ $F$

Q+\{0\}=Q

Det konvexa skrovet på Minkowski-summan

Minkowski-tilläggsoperationen har en användbar egenskap i "konvexa" uppsättningar, det vill säga att hitta deras konvexa skrov. För alla uppsättningar och i ett verkligt vektorutrymme är det konvexa skrovet för deras Minkowski-summa lika med Minkowski-summan av deras konvexa skrov: $F_1$ $F_{2}$

Conv(Q_{1}+Q_{2})=ConvQ_{1}+ConvQ_{2}

Med hjälp av matematisk induktion härleds ett liknande uttalande för en ändlig uppsättning mängder [20] [21] :

Conv(\summa Q_{n})=\summa Conv(Q_{n})

Lemma

Identitet

Conv(\summa Q_{n})=\summa Conv(Q_{n})

tillåter oss att fastställa att om en punkt tillhör det konvexa skrovet av Minkowski-summan av uppsättningar, så hör den också till summan av de konvexa skroven av summan av uppsättningarna: $v$ $N$

v\in Conv(\summa Q_{n})\högerpil v\in \summa konv(Q_{n})

Av denna implikation och definitionen av Minkowski-summan följer att vilken punkt som helst som hör till uppsättningen kan representeras som summan av några punkter som tillhör de konvexa skroven av summorna av uppsättningarna: $Konv(\summa Q_{n})$ $q_{n}$

{\begin{cases}v=\summa q_{n},\\v\in Conv(\sum Q_{n}),\\q_{n}\in Conv(Q_{n}).\\\end {fall}}

I denna representation beror uppsättningen av summapunkter på den valda summapunkten . $q_{n}$ $v$

Shapley-Folkman-lemmat

Låt oss ta den angivna representationen av punkten . $v=\summa q_{n}$

Om dimensionen av vektorrummet är strikt mindre än antalet summeringar av uppsättningarna

D<N

sedan, enligt Shapley-Folkman-lemmat, krävs "konvexitet" endast för summan av mängderna (deras specifika mängd beror på valet av punkten ) [22] . Detta gör att poängen kan uttryckas på följande sätt: $D$ $v$ $v$

v=\summa _{{1\leq {d}\leq {D}}}{q_{d}}+\summa _{{D+1\leq {n}\leq {N}}}{q_{ n}}

på

v\in {\sum _{{1\leq {d}\leq {D))}{\operatörsnamn {Conv}{(Q_{d)))))+\summa _{{D+1\leq { n }\leq {N}}}{Q_{n}}}.

Med andra ord, summan av poäng tillhör det konvexa skrovet av summan av set (eller ett mindre antal set), och summan av poäng tillhör summan av de återstående summamängderna. $q_{d}$ $D$ $q_{n}$

Låt oss illustrera innehållet i lemma med det enklaste exemplet: varje punkt i den konvexa mängden [0, 2] kan representeras som summan av ett heltal från den icke-konvexa mängden {0, 1} och ett reellt tal från konvex uppsättning [0, 1] [15] .

Dimension

Lemmat tillåter oss också att dra motsatta slutsatser, inte när det gäller mängder, utan dimensionen av ett vektorrum. Om i något ändligt dimensionellt reellt vektorrum lemmat gäller för ett naturligt tal och för inget tal mindre än , då är dimensionen av vektorrymden [23] . Naturligtvis är detta påstående endast relevant för ändligdimensionella vektorrum [24] [25] . $D$ $D$ $D$

Shapley-Folkman-satsen och Starr-följden

Shapley och Folkman använde lemma för att bevisa sitt teorem, som fastställde en övre gräns avståndmellan Minkowskisumman och dess konvexa skrov, den "konvexa" summan. Shapley-Folkman-satsen säger att kvadraten på det euklidiska avståndet mellan någon punkt på den "konvexa" summan och motsvarande punkt på den ursprungliga summan inte överstiger värdet av summan av kvadraterna av de största radierna av cirklarna omskrivna ca. uppsättningarna (den omskrivna sfären är den minsta sfären som inkluderar uppsättningen) [26] . Värdet på en sådan gräns beror inte på antalet summeringar av uppsättningarna om [27] . Därför är avståndet noll om och endast om summan i sig är en konvex mängd. När den övre gränsen beror på dimensionen , formen av summan uppsättningar och beror inte på antalet summeringar av uppsättningarna [2] . $Konv(\summa Q_{n})$ $\summa Q_{n}$ $D$ $Q_{n}$ $N$ $N>D$ $N>D$ $D$

Radien för den omslutna cirkeln överstiger den inre radien av uppsättningen eller, mer sällan, lika med den [28] . Den inre radien är det minsta antalet , så att det för någon punkt finns en cirkel med radie , som innehåller de punkter som omger cirkelns mittpunkt (dvs. ) [29] . Den inre radien är ett kännetecken för dimensionerna för uppsättningens icke-konvexiteter. Formellt kan den inre radien av en mängd definieras enligt följande [29] [ca. 4] : $r$ $q\in Conv(Q_{n})$ $r$ $Q_{n}$ $q$

r(Q_{n})=\sup \,\{q\in Conv(Q_{n})\}\inf \,\{T\subset Q_{n}\}rad(T).

Starrs följd av satsen etablerade en ny (mindre än Shapley och Folkman) övre gräns mellan summan och den "konvexa" summan:

enligt Starrs följd är kvadraten på det euklidiska avståndet mellan vilken punkt som helst och motsvarande punkt i mängden begränsad av summan av kvadraterna av de största inre radierna av mängderna [28] [30] . $v\in Conv(\summa Q_{n})$ $\summa Q_{n}$ $D$ $Q_{n}$

För att förenkla presentationen av teorindet avståndsmått som Starr föreslagit kallas non- convexity ( engelska non-convexity ) [ca. 5] set. Gränsen som läggs av Starrs följd på summamängdens icke-konvexitet beror endast på de största inre radierna av summamängderna och beror inte på antalet summeringar vid . $D$ $N$ $N>D$

Delmängden av termer ( ), närmare bestämt deras form , bestämmer den övre gränsen för avståndet mellan uppsättningarnas medelvärde enligt Minkowski $D$ $N>D$ $N$

{\frac {1}{N}}(Q_{1}+Q_{2}+\ldots +Q_{n})

och det konvexa skrovet på denna mitt. Som N tenderar till oändligheten tenderar det maximala avståndet till noll (för summeringar av likformigt begränsad storlek) [2] .

Bevis

Det ursprungliga beviset för lemma fastställde endast säkerheten om förekomsten av en sådan representation av punkter, medan algoritmen för att hitta dem inte presenterades i beviset. Liknande bevis har föreslagits av Arrow och Hahn [31] , Cassels [32] , Schneider [33] och andra. Abstrakt och elegant bevis presenterat av Ivar Ekeland — hans arbete kompletterades därefter av Artstein [5] [34] . Vissa bevis har inte publicerats [3] [35] . 1981 publicerade Starr en iterativ metod för att beräkna representationen av en given summapunkt. Ändå var beviset som presenterades i tidningen mindre starkt än det ursprungliga [36] .

Ekelands bevis [5] [ca. 6]

Låt , och alla minus tillhör uppsättningen . $v=\summa _{{n}}^{{}}q_{n}$ $q_{n}$ $D$ $Q_{n}$

Låt oss definiera en kartläggning som fungerar från till enligt följande: $\Phi$ ${\mathbb {R}}^{{Dn}}$ ${\mathbb {R}}^{D}$

\Phi (q_{n})=\summa _{{n}}^{{}}q_{n}

Per definition ,. $\sum _{{n}}^{{}}Q_{n}=\Phi (\prod _{{n}}^{{}}Q_{n})$

Av linjäritet följer det $\Phi$

Conv(\Phi (\prod _{{n}}^{{}}Q_{n}))=\Phi (Conv(\prod _{{n}}^{{}}Q_{n}))= \Phi (\prod _{{n}}^{{}}Conv(Q_{n}))

Conv(\summa _{{n}}^{{}}Q_{n})=\summa _{{n}}^{{}}Konv(Q_{n}).

Observera att om och endast om den också tillhör det konvexa skrovet av ett ändligt antal punkter i uppsättningen . Enligt Carathéodorys konvexa skrovsats kommer detta resultat dock inte att användas i detta bevis. Så vi kan föreställa oss det så här: $v\in Conv(\sum _{{n}}^{{}}Q_{n})$ $v$ $m$ $\summa _{{n}}^{{}}Q_{n}$ $m\leqslant D+1$ $v$

v=\summa _{{p=1}}^{{m}}\alpha _{p}y_{p},

var

y_{p}\in \sum _{{n}}^{{}}Q_{n},

\alpha _{p}>0,\summa _{{p=1}}^{{m}}\alpha _{p}=1.

I sin tur kan vem som helst representeras som $Y P}$

y_{p}=\summa _{{n}}^{{}}y_{{np}},y_{{np}}\i Q_{n}.

Låt oss beteckna m-uppsättningen som . Det är uppenbart att för varje $\{y_{{np}}\}_{{1\leqslant p\leqslant m}}$ $F_{n}$ $sid$

y_{p}\in \sum _{{n}}^{{}}F_{n},

vart i

v\in Conv(\sum _{{n}}^{{}}F_{n}).

Således har vi ersatt varje uppsättning med en ändlig delmängd av . För ytterligare ändamål, notera att är polytoper i , och produkten är en polytop i . $Q_{n}$ $F_{n}$ $Konv(F_{n})$ ${\mathbb {R}}^{D}$ $Conv(\prod _{{n}}^{{}}F_{n})$ ${\mathbb {R}}^{{Dn}}$

Låt oss beteckna förbilden av elementet när det visas med bokstaven . Vi är intresserade av delmängden : $v$ $\Phi$ $H$ $A\in {\mathbb {R}}^{{Dn}}$

A=H\cap Conv(\prod _{{n}}^{{}}F_{n})=\{q_{n}|q_{n}\in Conv(F_{n}),\summa _ {{n}}^{{}}q_{n}=v\}.

Antagande betyder att det inte är tomt. Dessutom, eftersom det finns en polytop och är ett affint delrum av , är det också en polytop. Låt vara en av dess toppar. Som tidigare, , var vid . Vi kommer också att bevisa att alla punkter utom högst punkter är hörn . Eftersom varje vertex måste tillhöra , kommer beviset för detta påstående att fungera som ett bevis på lemmat som helhet. $v\in \sum _{{n}}^{{}}Conv(F_{n})$ $A$ $Conv(\prod _{{n}}^{{}}F_{n})$ $H$ $A$ $q_{n}$ $v=\summa _{{n}}^{{}}q_{n}$ $q_{n}\in Conv(F_{n})$ $q_{n}\i A$ $q_{n}$ $D$ $Konv(F_{n})$ $Konv(F_{n})$ $F_{n}$

Antag att det angivna påståendet är falskt och att det finns punkter som inte är hörn . Låt oss beteckna dem $D+1$ $q_{n}$ $F_{n}$

q_{n},\dots ,q_{{D+1}}.

För varje finns det en vektor och ett antal sådant $q_{n}$ $z_{n}\in {\mathbb {R}}^{D}$ $\varepsilon_{n}$

\forall t\in [-\varepsilon _{n},\varepsilon _{n}],q_{n}+tz_{n}\in Conv(F_{n}).

Beteckna

\varepsilon =\min _{{1\leqslant n\leqslant D+1}}\varepsilon _{n}.

Så, om det finns vektorer i dimensionsutrymmet , finns det ett linjärt beroende mellan dem . Därför finns det inte alla tal lika med noll så att $D+1$ $D$ $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{{D+1}}$

\sum _{{n}}^{{D+1}}\alpha _{n}z_{n}=0.

Vi kan anta att kl . Nu definierar vi två tillhörande punkter och : $|\alpha _{n}|\leqslant 1$ $1\leqslant n\leqslant D+1$ ${\mathbb {R}}^{{Dn}}$ $q_{n}'$ $q_{n}''$

q_{n}'=q_{n}+\varepsilon \alpha _{n}z_{n},1\leqslant n\leqslant D+1,

q_{n}''=q_{n}-\varepsilon \alpha _{n}z_{n},1\leqslant n\leqslant D+1,

q_{n}'=q_{n}=q_{n}''

i andra fall.

Den följer det och tillhör . Förutom, $\forall t\in [-\varepsilon _{n},\varepsilon _{n}],q_{n}+tz_{n}\in Conv(F_{n}).$ $q_{n}'$ $q_{n}''$ $Konv(F_{n})$

\sum _{{n}}^{{}}q_{n}'=\summa _{{n}}^{{}}q_{n}'+\varepsilon \sum _{{n=1}} ^{{D+1}}\alpha _{n}z_{n}=v,

\sum _{{n}}^{{}}q_{n}''=\summa _{{n}}^{{}}q_{n}'-\varepsilon \sum _{{n=1} }^{{D+1}}\alpha _{n}z_{n}=v.

Därför punkter och tillhör . Samtidigt så klart $q_{n}'$ $q_{n}''$ $A$

q_{n}=1/2q_{n}'+1/2q_{n}''.

I motsats till antagandet, kan inte vara en topp . $q_{n}$ $A$

Applikationer

Lemmat tillåter forskare att extrapolera resultat som är relevanta för Minkowski-summor av konvexa mängder till andra summor av inte nödvändigtvis konvexa mängder. Shapley, Folkman och Starrs verktyg har hittat tillämpningar inom ekonomi , matematisk optimering och sannolikhetsteori .

Ekonomi

Många ekonomiska relationer, beroenden och processer kan modelleras genom att presentera deras geometriska tolkning. Därför, om någon uppsättning som har ekonomisk betydelse lämpar sig för Minkowski-additionsoperationen, blir lemmat, satsen och deras konsekvenser relevanta för modellen för detta ekonomiska fenomen. Ett exempel på en sådan uppsättning är indifferenskurvan , en enkel men viktig mikroekonomisk modell för konsumtion och nytta .

I mikroekonomisk teori antas det att konsumentpreferenser definieras över hela utrymmet för vissa "korgar" , det vill säga kvantitativt definierade uppsättningar av olika varor: konsumenter har exakt kunskap om sina preferenser och deras kvantitativa egenskaper. Varje korg representeras av en icke-negativ vektor , vars koordinater indikerar mängden av varje produkt i fråga. På denna uppsättning korgar bestäms indifferenskurvor för varje konsument . Varje kurva representerar platsen för punkter som motsvarar de korgar som konsumenten anser vara likvärdiga i användbarhet . Köparen upplever med andra ord likgiltighet för vilken korg (bland de som ligger på samma kurva) han kommer att få. I denna modell antas det att endast en indifferenskurva kan passera en viss korg (punkt). Köparens ekonomiska möjligheter begränsas av budgetposten (i tvådimensionellt utrymme). Det optimala beslutet för konsumenten är alltså att välja den korg som är placerad vid den punkt där budgetraden rör vid någon likgiltighetskurva. En konsuments preferensuppsättning är föreningen av någon indifferenskurva och alla punkter som ligger ovanför dess graf (det vill säga uppsättningen av vissa korgar som är lika värdefulla för konsumenten och alla andra mer värdefulla korgar) . En konsumentpreferensrelation är konvex om denna preferensuppsättning är konvex [37] [38] .

Så, om lösningen som är optimal för konsumenten hittas, är budgetraden referenslinjen för den bästa tillgängliga indifferenskurvan. Budgetpostens position bestäms av prisvektorn och köparens inkomstvektor (mer exakt, inkomstvektorn och konsumtionsbenägenheten). Därför är uppsättningen av optimala korgar en funktion av priser, och denna funktion kallas konsumentefterfrågan . Om preferensuppsättningen är konvex, är konsumentens efterfrågan också en konvex uppsättning till vilket pris som helst. Ett exempel på konvexa efterfrågefunktioner är den enstaka optimala korgen och segmentet av optimala korgar [39] .

Icke-konvex preferensrelation

Men om uppsättningen av preferenser är icke-konvex, bildas till vissa priser en sådan budgetpost som tillåter valet av en av två isolerade optimala korgar. Till exempel kan en djurskötare som vill köpa ett lejon eller en örn (som värderas lika mycket) inte köpa en del av ett djur och en del av det andra - hans preferensuppsättning är inte konvex. Således vägrar konsumenten att köpa en strikt konvex kombination av varor till förmån för att köpa endast en produkt i en godtycklig kvantitet [40] .

Om konsumentens preferensuppsättning är icke-konvex, är konsumentens efterfrågefunktion till vissa priser inte ett anslutet utrymme . Harold Hotelling talade om osammanhängande efterfrågan:

Om vi, när vi överväger att köpa indifferenskurvor, antar att de är böljande, konvexa på vissa ställen och konkava på andra, kommer vi undantagslöst att dra slutsatsen att endast de konvexa delarna kan uppfattas som varande av någon betydelse, eftersom de andra i huvudsak är omöjliga att observera. De kan endast upptäckas av luckor som kan uppstå i efterfrågan med en förändring i priskvoterna; [avbrott] leder till skarpa hopp i kontaktpunkten "över avgrunden" som uppstår när [tangential] linjen roterar. Men även om dessa luckor kan indikera förekomsten av "avgrunder", kommer de inte att kunna karakterisera deras djup i princip. Likgiltighetskurvornas konkava och deras multidimensionella generaliseringar, om de existerar, kommer för alltid att förbli i omätbar dunkel [41] .

Originaltext (engelska)[ visaDölj] Om likgiltighetskurvor för köp anses ha en vågig karaktär, konvexa till ursprunget i vissa regioner och konkava i andra, tvingas vi dra slutsatsen att det bara är de partier som är konvexa mot ursprunget som kan anses ha någon betydelse , eftersom de andra i huvudsak är oobserverbara. De kan endast upptäckas av de diskontinuiteter som kan uppstå i efterfrågan med variation i priskvoter, vilket leder till ett abrupt hopp av en tangenspunkt över en avgrund när den räta linjen roteras. Men även om sådana diskontinuiteter kan avslöja förekomsten av avgrunder, kan de aldrig mäta deras djup. De konkava delarna av likgiltighetskurvorna och deras mångdimensionella generaliseringar, om de existerar, måste för alltid förbli i omätbar dunkel.

Svårigheten att studera icke-konvexa preferenser noterades av Herman Vold [42] [43] och Paul Samuelson . Den senare, enligt Divert [44] , skrev att icke-utbuktningar är "höljda i evigt mörker" [ca. 7] [45] .

Ändå ett antal publikationer 1959-1961 i The Journal of Political Economybelysa problemet med icke-konvexa preferenser. Farrell [46] [47] [48] , Baytor [49] [50] , Koopmans [51] [52] och Rotenberg [53] [54] blev de ledande forskarna inom detta område . I synnerhet övervägdes frågan om ungefärlig konvexitet för summor av icke-konvexa mängder i Rotenbergs arbete [55] . Artiklar i JPE drev Shapley och Martin Shubikatt skriva ett papper som beskrev "konvexa" konsumentpreferensförhållanden. Begreppet "ungefärlig jämvikt" nämndes också där för första gången [ 56 ] . Artikeln av Shapley och Shubik, såväl som tidigare publikationer, inspirerade Robert Aumann att mynta termen " kvasi-jämvikt " [57] .

The 1969 Starr Report and Modern Economics

Medan han studerade vid Stanford University tog Ross Starr en speciell ekonomisk och matematisk kurs av avancerad komplexitet under ledning av Kenneth Arrow . Arrow, som tidigare sammanställde en kommenterad bibliografi över publikationer om ämnet icke-konvexitet i ekonomi, gav den vidare till en ung kollega [58] . Starr tillbringade sin termins arbete med att studera den allmänna jämvikten i en fiktiv ekonomi där icke-konvexa preferensrelationer ersattes av deras konvexa skrov. Den sammanlagda efterfrågan i denna "konvexa" ekonomi var summan av de konvexa skalen av konsumentefterfrågefunktioner vid varje pris. Starrs idéer intresserade Shapley och Folkman: inom ramen för privat korrespondens bevisade vetenskapsmän det lemma och teorem som fick deras namn, och sedan publicerades dessa resultat i Starrs 1969 papper [1] .

Starr kunde finna att om antalet agenter på marknaden överstiger varu-"dimensionen" (antalet varor som byts ut), så är den allmänna jämvikten i den "konvexa" ekonomin mycket nära den ursprungliga ekonomins kvasi-jämvikter . Ekonomen har erhållit ett rigoröst bevis på att det i en sådan situation finns minst en priskvasijämviktsopt , som har följande egenskaper:

till varje pris kan alla konsumenter välja de optimala korgarna (föredragna och prisvärda ur budgetsynpunkt),
till priser p opt är marknaden för varje produkt i en "konvex" ekonomi i jämvikt (utbud och efterfrågan är lika),
för varje kvasi-jämvikt bidrar priserna till en nästan fullständig rensning av marknaden: värdet av den övre gränsen för avståndet mellan uppsättningen av jämvikter för den "konvexa" ekonomin och uppsättningen av kvasi-jämvikter för den ursprungliga ekonomin bestäms av Starr-följden [59] [60] .

Starr hittade det

i allmänhet är diskrepansen mellan lokalisering i en fiktiv ekonomi [genererad genom att hitta de konvexa skroven för alla konsument- och produktionsset] och någon plats i en real ekonomi, oberoende av antalet ekonomiska aktörer [61] .

Originaltext (engelska)[ visaDölj] sammantaget är diskrepansen mellan en allokering i den fiktiva ekonomin genererad av [att ta de konvexa skroven av alla konsumtions- och produktionsset] och viss allokering i den reala ekonomin avgränsad på ett sätt som är oberoende av antalet ekonomiska aktörer .

Resultaten av Shapley, Folkman och Starr har också tillämpats inom andra grenar av ekonomisk vetenskap: mikroekonomi [62] [63] , allmän jämviktsteori [59] [64] [65] [66] [67] , offentlig sektors ekonomi [ 68] (inkluderar i teorin om marknadsmisslyckanden [69] ), såväl som i spelteori [70] , matematisk ekonomi [71] och tillämpad matematik [72] [73] [74] [75] . Framgångarna av Shapley, Folkman och Starr gav impulser till införandet av teorin om fast mått och teorin om integration i ekonomisk metodik [76] .

Matematisk optimering

Icke-linjär optimering baseras på följande grundläggande koncept:

en funktionsgraf ären uppsättning par av funktionsargumentoch funktionsvärde: $f$ $x$ $f(x)$

graf(f)=\{x,f(x)\},

Epigrafen för en verklig funktionär uppsättningen punkter som ligger ovanför grafen för funktionen: $f$

Epi(f)=\{x,u;f(x)<u\},

en reell funktion är konvex om dess epigraf är en konvex mängd [77] .

Till exempel är funktionerna och konvexa, men funktionen (sinusform) har inte en sådan egenskap (sinusformen är inte konvex på intervallet ). $f(x) = x^2$ $g(x)=|x|$ $h(x)=sinx$ $[0,\pi ]$

Problem med additiv optimering

I många optimeringsproblem är objektivfunktionen separerbar , det vill säga den är summan av många summor av funktioner, som var och en har sitt eget argument: $f(x)$

f(x)=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\summa f_{n}(x_{n})

Särskilt objektiva funktioner i linjära programmeringsproblem är separerbara.

Optimeringsproblem kan vara "konvexa" genom att hitta konvexa skrov av sammanställningar av funktioner. Den optimala lösningen på ett sådant problem är gränsen för sekvensen [ca. 8] punkter med koordinater som hör till mängden [5] . Den optimala punkten, enligt lemma, är summan av punkterna i graferna för funktionernas "konvexa" termer och ett visst antal punkter i graferna för de ursprungliga funktionerna. $(x_{j},f(x_{j}))$ $\sum Conv(Graph(f_{n}))$ $D$

Denna analys publicerades först av Ivar Ekelandår 1974. Matematikern försökte sedan förklara varför separerbara problem med ett stort antal termer är konvexa när de initiala termerna inte är konvexa. Några månader tidigare, den franske vetenskapsmannen Claude Lemarechalframgångsrikt tillämpat iterativa metoder för konvex minimering för att lösa icke-konvexa problem. Lösningen av det dubbla icke-linjära minimeringsproblemet innehåller inte alltid information som är användbar för att lösa det direkta problemet (men för konvexa direkta problem som uppfyller regularitetsvillkoren är detta inte fallet). Lemarechals problem var additivt separerbart, och varje summeringsfunktion var icke-konvex. Ändå gav lösningen av det dubbla problemet en ganska exakt approximation av det optimala värdet för det direkta problemet [78] [79] [80] [5] [81] . Ekelands analys klargjorde orsakerna till framgången med konvexa minimeringsmetoder tillämpade på stora och separerbara problem med icke-konvexa summeringar av funktioner. Ekeland och andra menade att additiv separerbarhet gjorde det möjligt att betrakta problemet som ungefär konvext om termerna inte var konvexa. En vändpunkt inom detta forskningsområde var matematikernas vädjan till Shapley-Folkman-lemmat [81] [5] [82] [83] . Lemmats utseende stimulerade användningen av konvexa minimeringsmetoder för att lösa andra klasser av problem med separerbara funktioner [5] [6] [73] [84] .

Sannolikhets- och måttteori

Konvexa mängder studeras ofta inom ramen för sannolikhetsteorin . Varje punkt som hör till det konvexa skrovet i en icke-tom uppsättning i ett ändligt dimensionellt utrymme är förväntningsvärdet för en enkel slumpmässig vektor som tar värden på uppsättningen (detta följer av Carathéodorys lemma [Not 9]) . för en icke-tom uppsättning är uppsättningen förväntningsvärden för värdena för en enkel slumpmässig vektor ekvivalent med det konvexa skrovet av en uppsättning — därför kan lemmat tillämpas i detta område också.85 På å andra sidan har sannolikhetsteorin i sig verktyg för att studera konvexa mängder i allmänhet och lemma i synnerhet.86 Resultaten av Shapley, Folkaman och Starr har använts flitigt i probabilistisk teori om slumpmässiga mängder $F$ $F$ $F$ $F$ [87] , till exempel för att bevisa lagen om stora tal [7] [88] , den centrala gränssatsen [88] [89] och teorin om stora avvikelser[90] . För att undvika antagandet att alla slumpmässiga mängder är konvexaanvändes resultaten av Shapley, Folkman och Starr för att bevisa dessa gränssatser för sannolikhetsteorin .

Lemma har även tillämpningar i de delar av måttteori som inte är relaterade till sannolikhet, till exempel i teorierna om volym och vektormått. Lemmat gör det möjligt att förfina Brunn-Minkowski-satsen , som fastställer förhållandet mellan volymen av en mängd-summa och summan av volymerna av mängder-summan [91] . Volymen av en uppsättning kännetecknas av Lebesgue-måttet , som definieras för uppsättningar i det euklidiska rummet . Lemmat användes också i beviset för Lyapunovs sats , vilket indikerar att bilden [ca. 10] av ett atomlöst vektormått är konvext [92] . Ett vektormått vars värden är vektorer är en generalisering av begreppet ett mått. Till exempel, om och är sannolikhetsmått definierade på ett mätbart utrymme, så är deras produktfunktion ett vektormått, där den definieras för varje slumpmässig händelse : $p_{1}$ $p_{2}$ $p_{1}p_{2}$ $p_{1}p_{2}$ $\omega$

(p_{1}p_{2})(\omega )=(p_{1}(\omega ),p_{2}(\omega ))

Lyapunovs teorem används i matematisk ekonomi [93] , teorin om automatiska reläkontrolleroch statistisk teori[94] . Denna sats anses vara en kontinuerlig analog till Shapley-Folkman-lemmat [2] , som i sin tur kallas den diskreta "dubbeln" av Lyapunovs sats [95] .

Anteckningar

Kommentarer

↑ Varianter av Folkman , Folkmann används också i litteraturen .
↑ 1 2 3 4 Tilldelningen av Nobelpriset i ekonomiska vetenskaper är inte formellt arvet från Alfred Nobel . Priset har delats ut av Statens Bank sedan 1969.
↑ En tom sanning är ett meningslöst uttalande om alla element i någon tom klass. Således blir implikationen "om A... då B..." en tom sanning om A är uppenbart falsk.
↑ se artikeln " Exakta övre och nedre gränser för uppsättningar "
↑ Användningen av ordet "icke-konvexitet" i denna betydelse är endast tillåten i detta avsnitt. I andra avsnitt används ordet som en antonym för termen "bula".
↑ Nedan följer utdrag ur Ivar Ekelands bevis på lemma. Beteckningarna som används i denna artikel skiljer sig från de som presenteras i originalkällan. Bytet gjordes för att bibehålla enhetlighet i designen.
↑ Engelska. höljd i evigt mörker
↑ En punkt kallas gränsen för en sekvens om det för var och en finns ett tal så att olikheten gäller för alla . $a$ $\{x_n\}$ $\varepsilon >0$ $N_{{\varepsilon ))$ $n>N_{{\varepsilon ))$ $|x_{n}-a|<\varepsilon$
↑ Möjligheten att representera punkter i en konvex mängd med slumpvariabler är relevant för slutna avgränsade mängder i ett Banach-utrymme med egenskapen Radon-Nikodim(enligt Edgar-satsen) och för slutna helt avgränsade mängder i lokalt konvexa utrymmen (enligt Krein-Milman-satsen )
↑ Här betyder termen "bild" en uppsättning värden som elementen i den ursprungliga uppsättningen mappas till.

Använd litteratur och källor

↑ 1 2 3 4 5 Starr , 1969 .
↑ 1 2 3 4 Starr , 2008 .
↑ 12 Howe , 1979 , sid. ett.
↑ Guesnerie , 1989 , sid. 138.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Ekeland , 1999 , sid. 357–359.
↑ 1 2 Bertsekas , 1996 , sid. 364–381.
↑ 1 2 Artstein & Vitale , 1975 , sid. 881–882.
↑ Ilyin och Poznyak , 2010 , sid. 42-43.
↑ Ilyin och Poznyak , 2010 , sid. 48-50.
↑ Encyclopedia of Mathematics , 1977-1985 .
↑ 1 2 Rockafellar , 1997 , sid. tio.
↑ Arrow & Hahn , 1980 , sid. 376.
↑ Rockafellar , 1997 .
↑ Green & Heller , 1981 , sid. 37.
↑ 1 2 3 Carter , 2001 , sid. 94.
↑ Schneider , 1993 , sid. xi.
↑ Rockafellar , 1997 , sid. 16.
↑ Rockafellar , 1997 , sid. 17.
↑ Starr , 1997 , sid. 78.
↑ Schneider , 1993 , sid. 2–3.
↑ Arrow & Hahn , 1980 , sid. 387.
↑ Starr , 1969 , sid. 35–36.
↑ Schneider , 1993 , sid. 131.
↑ Schneider , 1993 , sid. 140.
↑ Borwein & O'Brien , 1978 , sid. 100-102.
↑ Schneider , 1993 , sid. 129.
↑ Starr , 1969 , sid. 36.
↑ 12 Starr , 1969 , sid. 37.
↑ 12 Starr , 1981 , sid. 315.
↑ Schneider , 1993 , sid. 129–130.
↑ Arrow & Hahn , 1980 , sid. 392–395.
↑ Cassels , 1975 , sid. 435–436.
↑ Schneider , 1993 , sid. 128.
↑ Artstein , 1980 , sid. 180.
↑ Anderson , 2005 , sid. 1-5.
↑ Starr , 1981 , sid. 314–317.
↑ Mas-Colell , 1985 , sid. 58–61.
↑ Arrow & Hahn , 1980 , sid. 76–79.
↑ Arrow & Hahn , 1980 , sid. 79–81.
↑ Starr , 1969 , sid. 26.
↑ Hotelling , 1935 , sid. 74.
↑ Wold , 1943 , sid. 231, 239-240.
↑ Wold & Juréen , 1953 , sid. 146.
↑ Diewert , 1982 , sid. 552–553.
↑ Samuelson , 1950 , sid. 359–360.
↑ Farrell(a) , 1959 , sid. 371–391.
↑ Farrell (b) , 1961 , sid. 484–489.
↑ Farrell (c) , 1961 , sid. 493.
↑ Bator(a) , 1961 , sid. 480–483.
↑ Bator (b) , 1961 , sid. 489.
↑ Koopmans , 1961 , sid. 478–479.
↑ Koopmans , 1957 , sid. 1–126.
↑ Rothenberg , 1960 , sid. 435–468.
↑ Rothenberg , 1961 , sid. 490-492.
↑ Arrow & Hahn , 1980 , sid. 182.
↑ Shapley & Shubik , 1966 , sid. 806.
↑ Aumann , 1966 , sid. 1–2.
↑ 1 2 Starr & Stinchcombe , 1999 , sid. 217–218.
↑ 12 Arrow & Hahn , 1980 , sid. 169–182.
↑ Starr , 1969 , sid. 27–33.
↑ Green & Heller , 1981 , sid. 44.
↑ Varian , 1992 , sid. 393–394.
↑ Mas-Colell, Whinston & Green , 1995 , sid. 627–630.
↑ Mas-Colell , 1985 , sid. 52–55, 145–146, 152–153, 274–275.
↑ Hildenbrand , 1974 , sid. 37, 115–116, 122, 168.
↑ Starr , 1997 , sid. 169.
↑ Ellickson , 1994 , sid. xviii, 306-310, 312, 328-329, 347, 352.
↑ Laffont , 1988 , sid. 63–65.
↑ Salanié , 2000 , sid. 112–113, 107–115.
↑ Ichiishi , 1983 , sid. 24–25.
↑ Cassels , 1981 , sid. 127.
↑ Carter , 2001 , sid. 93–94, 143, 318–319, 375–377, 416.
↑ 12 Aubin , 2007 , sid. 458–476.
↑ Moore , 1999 , sid. 309.
↑ Florenzano & Le Van , 2001 , sid. 47–48.
↑ Trockel , 1984 , sid. trettio.
↑ Rockafellar , 1997 , sid. 23.
↑ Lemarechal , 1973 , sid. 38.
↑ Aardal , 1995 , sid. 2–3.
↑ Hiriart-Urruty & Lemaréchal , 1993 , sid. 143–145, 151, 153, 156.
↑ 1 2 Ekeland , 1999 , sid. 149–151.
↑ Aubin & Ekeland , 1976 , s. 226, 233, 235, 238, 241.
↑ Di Guglielmo , 1977 , sid. 287–288.
↑ Bertsekas , 1999 , sid. 496.
↑ Schneider & Weil , 2008 , sid. 45.
↑ Cassels , 1975 , sid. 433–434.
↑ Molchanov , 2005 , sid. 195-198, 218, 232, 237-238, 407.
↑ 12 Puri & Ralescu , 1985 , sid. 154–155.
↑ Weil , 1982 , sid. 203, 205-206.
↑ Cerf , 1999 , sid. 243–244.
↑ Ruzsa , 1997 , sid. 345.
↑ Tardella , 1990 , sid. 478–479.
↑ Vind , 1964 , sid. 168, 175.
↑ Artstein , 1980 , sid. 172–183.
↑ Mas-Colell , 1978 , sid. 210.

Litteratur

A–D

Aardal K. Optima intervju Claude Lemaréchal // Optima: Mathematical Programming Society nyhetsbrev. - 1995. - Nr 45 . — S. 2–4 .
Anderson RM The Shapley–Folkman theorem // Economics 201B: Nonconvex preferens and approximate equilibria. — Ekonomiavdelningen, University of California, Berkeley, 2005.
Arrow K. , Hahn F. Allmän konkurrensanalys. - North-Holland, 1980. - ISBN 0-444-85497-5 .
Artstein Z., Vitale RA En stark lag för stora tal för slumpmässiga kompakta uppsättningar // Sannolikhetens annaler. - 1975. - V. 3 , nr 5 . — S. 879–882 . - doi : 10.1214/aop/1176996275 .
Artstein Z. Diskreta och kontinuerliga bang-bang och ansiktsutrymmen, eller: Leta efter extrempunkterna // SIAM Review. - 1980. - V. 2 , nr 22 . — S. 172–185 . - doi : 10.1137/1022026 .
Aubin J.-P., Ekeland I. Estimations of the duality gap in nonconvex optimization // Mathematics of Operations Research. - 1976. - Nr 3 . — S. 225–245 . - doi : 10.1287/moor.1.3.225 .
Aubin J.P. 14.2 Dualitet i fallet med icke-konvexa integralkriterier och begränsningar // Matematiska spelmetoder och ekonomisk teori. - Dover Publications, Inc, 2007. - ISBN 978-0-486-46265-3 .
Aumann YRJ Förekomst av konkurrenskraftig jämvikt på marknader med ett kontinuum av handlare // Econometrica . - 1966. - T. 34 , nr 1 . — S. 1–17 .
Bator FM Om konvexitet, effektivitet och marknader // The Journal of Political Economy. - 1961. - T. 69 , nr 5 . — S. 480–483 .
Bator FM Om konvexitet, effektivitet och marknader: Rejoinder // The Journal of Political Economy. - 1961. - T. 69 , nr 5 . - S. 489 .
Bertsekas DP 5.6 Storskaliga separerbara heltalsprogrammeringsproblem och den exponentiella metoden för multiplikatorer // Begränsad optimering och Lagrange-multiplikatormetoder. - Athena Scientific, 1996. - ISBN 1-886529-04-3 .
Bertsekas DP 5.1.6 Separerbara problem och deras geometri // Icke-linjär programmering. - Athena Scientific, 1999. - ISBN 1-886529-00-0 .
Borwein MJ, O'Brien RC Cancellation karakteriserar konvexitet // Nanta Mathematica. - 1978. - Nr 11 . — S. 100–102 .
Carter M. Grunderna för matematisk ekonomi. - MIT Press, 2001. - ISBN 0-262-53192-5 .
Cassels JWS Mått på mängder av icke-konvexitet och Shapley-Folkman-Starr-satsen // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1975. - Nr 3 . — S. 433–436 . - doi : 10.1017/S0305004100051884 .
Cassels JWS Appendix A Konvexa uppsättningar // Ekonomi för matematiker. - Cambridge University Press, 1981. - ISBN 0-521-28614-X .
Cerf R. Stora avvikelser för summor av iid slumpmässiga kompakta uppsättningar // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1999. - T. 127 , nr 8 . — S. 2431–2436 . - doi : 10.1090/S0002-9939-99-04788-7 .
Di Guglielmo F. Nonconvex dualitet i multiobjektiv optimering // Mathematics of Operations Research. - 1977. - Nr 3 . — S. 285–291 . - doi : 10.1287/moor.2.3.285 .
Diewert WE Duality approaches to microeconomic theory // Handbook of matematical economics, Volym II. - North-Holland, 1982. - ISBN 978-0-444-86127-6 .

E-O

Ekeland I. Appendix I: En a priori uppskattning i konvex programmering // Konvex analys och variationsproblem. - Society for Industrial and Applied Mathematics, 1999. - ISBN 0-89871-450-8 .
Ellickson B. Konkurrensjämvikt: Teori och tillämpningar. - Cambridge University Press, 1994. - ISBN 978-0-521-31988-1 .
Farrell MJ Konvexitetsantagandet i teorin om konkurrensutsatta marknader // The Journal of Political Economy. - 1959. - T. 67 , nr 4 . — S. 371–391 .
Farrell MJ om konvexitet, effektivitet och marknader: ett svar // The Journal of Political Economy. - 1961. - T. 69 , nr 5 . — S. 484–489 .
Farrell MJ Konvexitetsantagandet i teorin om konkurrensutsatta marknader: Rejoinder // The Journal of Political Economy. - 1961. - T. 69 , nr 5 . - S. 493 .
Florenzano M., Le Van C. Finit dimensionell konvexitet och optimering. - Springer-Verlag, 2001. - ISBN 3-540-41516-5 .
Green J., Heller WP Matematisk analys och konvexitet med tillämpningar till ekonomi // Handbook of matematical economics, Volym I. - North-Holland, 1981. - ISBN 0-444-86126-2 .
Guesnerie R. Första bästa allokering av resurser utan konvexitet i produktionen // Bidrag till operationsforskning och ekonomi: tjugoårsjubileet av CORE (Papper från symposiet som hölls i Louvain-la-Neuve, januari 1987) . - MIT Press, 1989. - ISBN 0-262-03149-3 .
Hildenbrand W. Kärnan och jämvikten i en stor ekonomi. - Princeton University Press, 1974. - ISBN 978-0-691-04189-6 .
Hiriart-Urruty J.-B., Lemaréchal C. XII Abstrakt dualitet för praktiker // Konvex analys och minimeringsalgoritmer, Volym II: Avancerad teori och paketmetoder. - Springer-Verlag, 1993. - ISBN 3-540-56852-2 .
Hotelling H. Efterfrågan funktioner med begränsad budget // Econometrica . - 1935. - V. 3 , nr 1 . — s. 66–78 .
Howe RE Om tendensen mot konvexitet hos vektorsumman av mängder. — Cowles Foundation for Research in Economics, 1979.
Ichiishi T. Spelteori för ekonomisk analys. - Academic Press, Inc., 1983. - ISBN 0-12-370180-5 .
Koopmans TC Resursfördelning och prissystemet // Tre essäer om ekonomisk vetenskaps tillstånd. – McGraw–Hill Book Company, 1957.
Koopmans TC Konvexitetsantaganden, allokativ effektivitet och konkurrenskraftig jämvikt // The Journal of Political Economy. - 1961. - T. 69 , nr 5 . — S. 478–479 .
Laffont J.-J. 3 Icke-konvexiteter // Grunderna i offentlig ekonomi . - MIT Press, 1988. - ISBN 0-262-12127-1 .
Lemarechal C. Utilization de la dualité dans les problémes non convexes. - National Institute for Research in Computer Science and Control, 1973.
Mas-Colell A. En anteckning om kärnekvivalenssatsen: Hur många blockerande koalitioner finns det? // Journal of Mathematical Economics. - 1978. - V. 5 , nr 3 . — S. 207–215 . - doi : 10.1016/0304-4068(78)90010-1 .
Mas-Colell A. 1.L Genomsnitt av mängder // The Theory of General Economic equilibrium: A differentiable approach. - Cambridge University Press, 1985. - ISBN 0-521-26514-2 .
Mas-Colell A. Icke-konvexitet // The New Palgrave Dictionary of Economics. — Palgrave Macmillan, 1987.
Mas-Colell A. , Whinston MD, Green J. 17.1 Stora ekonomier och icke - konvexiteter // Mikroekonomisk teori. - Oxford University Press, 1995. - ISBN 978-0-19-507340-9 .
Molchanov I. 3 Minkowski addition // Teori om slumpmässiga mängder. - Springer-Verlag London Ltd, 2005. - ISBN 978-1-84996-949-9 .
Moore JC Matematiska metoder för ekonomisk teori: Volym I. - Springer-Verlag, 1999. - ISBN 3-540-66235-9 .

P-Z

Puri ML, Ralescu DA Gränssatser för slumpmässiga kompakta mängder i Banach-rymden // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1985. - Nr 1 . — S. 151–158 . - doi : 10.1017/S0305004100062691 .
Rockafellar RT Convex analys. - Princeton University Press, 1997. - ISBN 0-691-01586-4 .
Rothenberg J. Icke-konvexitet, aggregering och Pareto-optimalitet // The Journal of Political Economy. - 1960. - T. 68 , nr 5 . — S. 435–468 .
Rothenberg J. Kommentarer om icke-konvexitet // The Journal of Political Economy. - 1961. - T. 69 , nr 5 . — S. 490–492 .
Ruzsa IZ Brunn–Minkowski-ojämlikheten och icke-konvexa uppsättningar // Geometriae Dedicata . - 1997. - Nr 67 . — S. 337–348 . - doi : 10.1023/A:1004958110076 .
Salanié B. 7 Nonconvexitie // Mikroekonomi av marknadsmisslyckanden. - MIT Press, 2000. - ISBN 0-262-19443-0 .
Samuelson, PA The problem of integrability in utility theory // Economica. - 1950. - T. 17 , nr 68 . — S. 355–385 .
Schneider R. Konvexa kroppar: Brunn–Minkowski-teorin. - Cambridge University Press, 1993. - ISBN 0-521-35220-7 .
Schneider R., Weil W. Stokastisk och integralgeometri. - Springer, 2008. - ISBN 978-3-540-78858-4 .
Shapley LS , Shubik M. Kvasikärnor i en monetär ekonomi med icke-konvexa preferenser // Econometrica . - 1966. - T. 34 , nr 4 . — S. 805–827 .
Starr RM Kvasi-jämvikt på marknader med icke-konvexa preferenser (Bilaga 2: Shapley–Folkman-satsen) // Econometrica . - 1969. - Nr 37 . — s. 35–37 .
Starr RM Approximation av punkter i det konvexa skrovet av en summa av mängder efter punkter av summan: En elementär metod // Journal of Economic theory. - 1981. - Nr 1 . — S. 314–317 .
Starr RM 8 Konvexa mängder, separationssatser och icke-konvexa mängder i R N // Allmän jämviktsteori: En introduktion. - 1997. - ISBN 0-521-56473-5 .
Starr RM, Stinchcombe MB Marknader, information och osäkerhet: Uppsatser i ekonomisk teori till ära av Kenneth J. Arrow. - Cambridge University Press, 1999. - ISBN 978-0-521-08288-4 .
Starr RM Shapley–Folkmans teorem // The New Palgrave Dictionary of Economics. — Palgrave Macmillan, 2008.
Tardella F. Ett nytt bevis på Lyapunovs konvexitetssats // SIAM Journal on Control and Optimization. - 1990. - Nr 2 . — S. 478–481 . - doi : 10.1137/0328026 .
Trockel W. Marknadsefterfrågan: En analys av stora ekonomier med icke-konvexa preferenser. - Springer-Verlag, 1984. - ISBN 3-540-12881-6 .
Varian HR 21.2 Konvexitet och storlek // Mikroekonomisk analys. - W. W. Norton & Company, 1992. - ISBN 978-0-393-95735-8 .
Vind K. Edgeworth-allokationer i en valutaekonomi med många handlare // International Economic Review. - 1964. - V. 5 , nr 2 . — S. 165–177 .
Weil W. En tillämpning av den centrala gränssatsen för Banach-rymdvärderade stokastiska variabler på teorin om slumpmängder // Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. - 1982. - T. 60 , nr 2 . — S. 203–208 . - doi : 10.1007/BF00531823 .
Wold H. En syntes av ren efterfrågeanalys II // Skandinavisk Aktuarietidskrift. - 1943. - Nr 26 . — S. 220–263 .
Wold H., Juréen L. Efterfrågeanalys: En studie i ekonometri. — John Wiley and Sons, Inc., 1953.

A-Z

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Linjär algebra. — M.: Fysikalisk-matematisk litteratur, 2010. — ISBN 978-5-9221-0481-4 .
Mathematical Encyclopedia , red. I. M. Vinogradova . - M .: Soviet Encyclopedia, 1977-1985.