Schreiers Lemma

Schreier Lemma är ett teorem från gruppteorin som används i Schreier-Sims-algoritmen . Teoremet bevisades av Otto Schreyer 1927 [1] .

Det följer av satsen att vilken undergrupp som helst av en ändligt genererad grupp med ett ändligt index också genereras ändligt [2] .

Formulering

Låta vara någon undergrupp av en ändligt genererad grupp med genereringsmängd , det vill säga . $H$ $G$ $S$ $G=\langle S\rangle$

Låt vara en tvärgående av vänster cosets . Beteckna av representanten för den coset som innehåller . $R=G/H$ $hH$ $\overline{x}$ $x\in G$

I sådan notation genereras undergruppen av uppsättningen . $H$ ${\textstil \{({\overline {sg)))^{-1}sg:g\in R,s\in S\}}$

Bevis

Formulering för banor

I Schreier-Sims-algoritmen tillämpas satsen på det specifika fallet när det verkar på en mängd och är stabilisatorn för något element . $G$ $\Omega$ ${\displaystyle H=G_{\omega ))$ $\omega \i \Omega$

Det finns en en-till-en-överensstämmelse mellan elementen i omloppsbanan och den tvärgående . Alla element i en angränsande klass överförs nämligen till samma element i omloppsbanan. $G\omega$ ${\displaystyle G/G_{\omega ))$ $\omega$

Därför betecknar vi med elementet som översätts till , det vill säga . I sådan notation kan lemma skrivas på följande sätt: . $\overline {\alpha }$ ${\displaystyle G/G_{\omega ))$ $\omega$ $\alfa$ ${\overline {\alpha }}\omega =\alpha$ ${\textstyle G_{\omega }=\langle \{({\overline {s\alpha }})^{-1}s{\overline {\alpha }}|\alpha \in G_{\omega },s \in S\}\rangle }$

Se även

Schreier-Sims algoritm

Anteckningar

↑ Otto Schreier. Die Untergruppen der freien Gruppen // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — 1927-12. - T. 5 , nej. 1 . — S. 161–183 . — ISSN 1865-8784 0025-5858, 1865-8784 . - doi : 10.1007/bf02952517 .
↑ Hall, Marshall 1910-1990 Verfasser. Theory of Groups . — ISBN 9780486816906 , 0486816907.

Gruppteori
Grundläggande koncept	Undergrupp Normal undergrupp Faktorgrupp Arbete direkt halvdirekt fri
Algebraiska egenskaper	kommutativ grupp Cyklisk grupp beställd grupp Förvandla grupp Lösbar grupp Schreiers Lemma Lagranges sats Sylows satser Klassificering av enkla ändliga grupper
ändliga grupper	Finit cyklisk grupp C n Symmetrisk grupp S n Dihedral grupp D n Alternerande grupp A n Klein Quadruple Group Mathieu-grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fisher grupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiska grupper	Lögngrupper Ortogonal grupp O(n) Special ortogonal grupp SO(n) Enhetsgrupp U(n) Särskild enhetlig grupp SU(n) Symplektisk grupp Sp(n) Exceptionellt enkelt Lorentz grupp Poincaré-gruppen
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fouriertransform