Femkantigt nummer

Pentagonala tal är en av klasserna av klassiska polygonala tal . Sekvensen av femkantiga tal har formen (sekvens A000326 i OEIS ):

1 , 5 , 12 , 22 , 35 , 51 , 70 , 92 , 117 , 145 , 176 , 210 , 247 , 287 , 330 , 376 , 425 , 477 ...

Den allmänna formeln för det femkantiga talet i ordning är: $n$

P_{n}^{(5)}={\frac {3n^{2}-n}{2))

Definition

Pentagonala tal, liksom alla andra klassiska -vinkeltal, kan definieras som delsummor av en aritmetisk progression som börjar från 1, och dess skillnad för femkantiga tal är : $k$ $k-2=3$

1+4+7+10+\dots

Man kan också definiera det -th femkantiga talet som summan av på varandra följande naturliga tal : $n$

P_{n}^{(5)}=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+\dots +(2n-1)

Summan av det -th kvadrattalet med det -th triangulära talet ger det -th femkantiga talet: $n$ $(n-1)$ $n$

{\displaystyle n^{2}+T_{n-1}=P_{n}^{(5)))

Denna teorem publicerades först av Nicomachus ("Introduktion till aritmetik", II århundradet) [1] .

Slutligen, ett annat sätt att definiera ett femkantigt tal är rekursivt :

P_{1}^{(5)}=1;\quad P_{n}^{(5)}=P_{n-1}^{(5)}+3n-2=2P_{n- 1}^{(5)}-P_{n-2}^{(5)}+3

Egenskaper

Pentagonala tal är nära besläktade med triangulära [1] :

P_{n}^{(5)}={\frac {n(3n-1)}{2}}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{ n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}={\frac {1}{3}}T_{3n-1}

Om du anger en mer allmän sekvens i formeln : ${\textstyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}$ $n$

n=0,\;1,\;-1,\;2,\;-2,\;3,\;-3\prickar

då får vi generaliserade femkantiga tal :

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155... ( OEIS - sekvens A001318 )

Leonhard Euler upptäckte generaliserade femkantiga tal i följande identitet :

(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\ldots =1-xx^{2}+x^{5}+x^{7}-x ^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-x^{35}-x^{40}+\ldots

Krafterna på den högra sidan av identiteten bildar en sekvens av generaliserade femkantiga tal [2] . $x$

Testa för ett femkantigt nummer

Uppgift . Ta reda på om det givna naturliga talet är femkantigt. $x>2$

Lösning. Låt oss beräkna värdet på uttrycket:

n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.

$x$ är ett femkantigt tal om och endast om är ett heltal, och talet i sekvensen av femkantiga tal är lika med $n$ $x$ $n.$

Fyrkantiga femkantiga tal

Det finns tal som är både kvadratiska och femkantiga [3] :

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801 , 8676736387298001 , 83314021887196947001 , 7999812294841286918…

Anteckningar

↑ 12 Dickson , 2005 , sid. 2.
↑ Weinstein F.V. Partitionering av nummer. // Journal "Quantum". - 1988. - Nr 11.
↑ Weisstein, Eric W. " Pentagonal Square Number Arkiverad 13 november 2017 på Wayback Machine ." Från MathWorld -- En Wolfram webbresurs.

Litteratur

Deza E., Deza M. Lockiga siffror. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 sid. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .
Dickson LE Polygonal. pyramid- och figurtal //Talteorin Historia . - New York: Dover, 2005. - Vol. 2: Diofantinanalys. - S. 22-23.

Länkar

Lockiga siffror . OSNOVA Publishing Group. Tillträdesdatum: 10 februari 2021. (obestämd)
Weisstein, Eric W. Figurate Number (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
- Weisstein, Eric W. Centered Polygonal Numbe (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

lockiga siffror

platt

Klassisk polygonal	triangulär Fyrkant Femsidig Hexagonal Heptagonal Åttkantig Dodecagonal
Centrerad	triangulär Fyrkant Femsidig Hexagonal Heptagonal Åttkantig Niovinklad Dekagonal

Pyramidformad	tetraedrisk Fyrkantig pyramidform
mångfasetterad	kubisk Oktaedral Dodekaedral icosahedral Stellad oktaedral

mångfasetterad	Pentatopisk Bisquare