Femkantig parkett
Pentagonal parkett- i geometri : en plattsättning som består av konvexa femkanter . En plattsättning av regelbundna femhörningar i det euklidiska rymden är inte möjlig, eftersom den totala vinkeln för en regelbunden femhörning är 108° och delar varken 180° eller 360°. Däremot kan de belägga hyperboliska planet och sfären .
För planet är dock problemet med en fullständig beskrivning av alla möjliga plattsättningar av oregelbundna femhörningar (beskrivningar av alla typer av femhörningar för vilka en sådan plattsättning är möjlig) mycket komplext, och forskning om det har pågått i mer än ett sekel .
Kakelsättning av planet med en konvex platta
Antalet parketter från en konvex platta
Pentagonala parketter i allmänhetDet antas att det bara finns 15 klasser av femhörningar, varav oändliga parketter kan kakla ett plan. Sökandet efter alla sådana klasser fortsatte till 2015, och den 1 maj 2017 presenterade Mikael Rao ett bevis på att det inte finns några andra sådana femhörningar [1] [2] . Från och med december 2017 har datorprogrammet som används och speciellt skrivits för att bevisa teoremet reproducerats och verifierats oberoende av Thomas Hales , professor i matematik vid University of Pittsburgh [3] [4] , och resten av artikeln är fortfarande under peer review .
Kant-till-kant parkettEn enklare uppgift är att hitta alla parketter som utgör en kant-till-kant plattsättning, det vill säga när ingen sida av någon kakel sammanfaller med två sidor av två andra på en gång (eller, med andra ord, när ingen av hörnen på plattsättningens polygoner ligger mitt på någon sida av en annan polygon).
Totalt finns det åtta typer av rib-till-ribb femkantiga konvexa parkettplattor. Det faktum att det inte finns några andra sådana typer av parkettplattor, förutom de som redan hittats, bevisades av Olga Bagina vid Omsk Algebraic Seminar 2011 [5] . Beviset publicerades 2017 [6] .
Oavsett Bagina erhölls beviset också av Sugimoto 2012 [7] .
Anmärkningsvärda parketttyper
Ingen av de femton kända klasserna av tesselbara femhörningar är helt täckt av andras förening. Vissa klasspar kan dock överlappa varandra. Dessutom finns det i vissa klasser polygoner, för vilka det, förutom standardschemat för plattsättning av ett plan med plattor av denna klass, också finns alternativa metoder för plattsättning.
I ovanstående klassificering av plattor betecknas femhörningens hörn med A,B,C,D,E, och längderna på dess sidor med a, b, c, d, e, där |EA|=a, | AB|=b, |BC|= c, |CD|=d, |DE|=e. Många av dessa klasser har frihetsgrader uttryckta av ekvationer för vinklar och sidor. Speciellt klasserna 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 och 13 tillåter parametrar som gör pentagoner icke-konvexa.
| ett | 2 | 3 | fyra | 5 | |
|---|---|---|---|---|---|
B+C=180° A+D+E=360° |
c=e B+D=180° |
a = b, d = c + e A = C = D = 120° |
b = c, d = e B = D = 90° |
a = b, d = e A = 60°, D = 120° | |
| 6 | 7 | åtta | 9 | tio | |
a = d = e, b = c B + D = 180°, 2B = E |
b = c = d = eB + 2E = 2C + D = 360° |
b = c = d = e2B + C = D + 2E = 360° |
b = c = d = e2A + C = D + 2E = 360° |
a = b = c + e A = 90°, B + E = 180°, B + 2C = 360° | |
| elva | 12 | 13 | fjorton | femton | |
2a + c = d = e A = 90°, 2B + C = 360° C + E = 180° |
2a = d = c + e A = 90°, 2B + C = 360° C + E = 180° |
d = 2a = 2e B = E = 90°, 2A + D = 360° |
2a = 2c = d = e A = 90°, B ≈ 145,34°, C ≈ 69,32°, D ≈ 124,66°, E ≈ 110,68° (2B + C = 360°, C + E = 180°). |
a = c = e, b = 2a A = 150°, B = 60°, C = 135°, D = 105°, E = 90° | |
Periodiska plattsättningar kan karakteriseras av sin symmetrigrupp , till exempel p2 (2222) för plattsättningar som innehåller 4 rotationspunkter (med hänsyn till parallell translation) av ordning 2 (bilden förvandlas till sig själv när den roteras med 360/2=180 °). Detta används senare i illustrationerna, där samma färger visas, mosaikens brickor, förvandlas till varandra med lämplig rotation.
En primitiv cell är den minsta av brickorna, som, när de kopieras och flyttas, bildar hela den givna mosaiken.
Typer 1,2,3,4,5 (Reinhardt, 1918)De första fem typerna av plattsättningar beskrevs 1918 av Carl Reinhardt . [8] Alla dessa fem plattor var isoedriska , det vill säga var och en av plattorna kunde översättas till varandra genom en enkel rotation och translation, utan användning av spegelreflektion.
Grünbaum och Shephard visade att det finns exakt 24 typer av distinkta isoedriska plattsättningar. [9] Alla dessa 24 typer tillhörde de klasser som Reinhardt beskrev, men krävde ibland ytterligare villkor. Det finns två isoedriska plattor för varje uppsättning av typ 2, och en för var och en av de andra fyra. 15 av 18 andra typer är specialfall av plattsättning typ 1. 9 av 24 typer är kant-till-kant-parketter. [tio]
Symmetrigrupperna bredvid bilderna nedan ges i orbifold notation .
För plattor av den första typen finns det många sätt att kakla planet med dem. Följande är fem topologiskt olika exempel på tesselleringar:
| p2 (2222) | cmm (2*22) | cm (*×) | pmg (22*) | pgg (22x) | p2 (2222) | cmm (2*22) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| p1 (°) | p2 (2222) | p2 (2222) | ||||
| Primitiv cell med 2 brickor | Primitiv cell med 4 brickor | |||||
B + C = 180° A + D + E = 360° |
a = c, d = e A + B = 180°, A + D + E = 360° |
a = c A + B = 180°, C + D + E = 360° |
a = eB + C = 180°, A + D + E = 360° |
d = c + e A = 90°, C + D = 180° 2B + C = 360° B + E = 270° | ||
| Typ 2 | |
|---|---|
| pgg (22x) | |
| p2 (2222) | |
| Primitiv cell med 4 brickor | |
c = eB + D = 180° |
c = e, d = b B + D = 180° |
| Typ 3 | Typ 4 | Typ 5 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| p3 (333) | p31m (3*3) | p4 (442) | p4g (4*2) | p6 (632) | ||
| Primitiv cell med 3 brickor | Primitiv cell med 4 brickor | Primitiv cell med 6 brickor | Primitiv cell med 18 brickor | |||
a = b, d = c + e A = C = D = 120° |
b = c, d = e B = D = 90° |
a = b, d = e A = 60°, D = 120° |
a = b = c, d = e A = 60°, B = 120°, C = 90° D = 120°, E = 150° | |||
Richard Kershner beskrev ytterligare tre typer av plattor 1968. Han hävdade att det, förutom de åtta typer som nu hittats, inte finns några andra, men han visade sig ha fel.
I typerna 7 och 8 visas kirala plattor först (det vill säga för en fullständig beskrivning av symmetribanorna, för första gången är det nödvändigt att använda inte bara rotationer utan också reflektioner). På bilden nedan indikeras par av kirala plattor med färgpar (gul, grön) och (blå, ljusblå).
Alla exemplen nedan är 2-isohedriska.
| Typ 6 | Typ 6 (även typ 5) |
Typ 7 | Typ 8 | |
|---|---|---|---|---|
| p2 (2222) | pgg (22x) | pgg (22x) | ||
| p2 (2222) | p2 (2222) | |||
a = d = e, b = c B + D = 180°, 2B = E |
a = d = e, b = c B = 60°, A = C = D = E = 120° |
b = c = d = eB + 2E = 2C + D = 360° |
b = c = d = e2B + C = D + 2E = 360° | |
Primitiv cell med 4 brickor |
Primitiv cell med 4 brickor |
Primitiv cell med 8 brickor |
Primitiv cell med 8 brickor | |
Efter att ha granskat Kershners resultat i Martin Gardners kolumn "Math Games" i Scientific American , hittade Richard James en annan typ av femhörning som nu kallas typ 10.
Exemplen som presenteras här är 3-isohedriska.
| typ 10 | |
|---|---|
| p2 (2222) | cmm (2*22) |
a=b=c+e A=90, B+E=180°, B+2C=360° |
a=b=2c=2e A=B=E=90°, C=D=135° |
Primitiv cell med 6 brickor | |
Amatörmatematikern Marjorie Rice hittade ytterligare fyra typer av plattor som var lämpliga för kakel 1976 och 1977.
Alla fyra typer av parketter är 2-isohedriska. På bilden nedan indikeras par av kirala plattor med färgpar (gul, grön) och (blå, ljusblå).
Av de fyra typerna är det bara typ 9 som ger kant-till-kant plattsättning.
Primitiva celler innehåller 8 brickor överallt.
| Typ 9 | Typ 11 | Typ 12 | Typ 13 |
|---|---|---|---|
| pgg (22x) | |||
| p2 (2222) | |||
b=c=d=e 2A+C=D+2E=360° |
2a+c=d=e A=90°, 2B+C=360° C+E=180° |
2a=d=c+e A=90°, 2B+C=360° C+E=180° |
d=2a=2e B=E=90°, 2A+D=360° |
Primitiv cell med 8 brickor |
Primitiv cell med 8 brickor |
Primitiv cell med 8 brickor |
Primitiv cell med 8 brickor |
Den fjortonde mosaiken hittades av Rolf Stein 1985. Kakelplattan han hittade är 3-isohedrisk och är inte av kant-till-kant-typ.
Dessutom består dess kakel av strikt fasta plattor - det finns ingen variation genom ekvationer för vinklar, som i de tidigare typerna finns det inga frihetsgrader här. Här är några alternativ för denna fasta bricka:
Från dessa värden kan du enkelt härleda resten.
En primitiv cell av en sådan plattsättning innehåller sex plattor.
| typ 14 | |||
|---|---|---|---|
| pgg (22x) | |||
2a=2c=d=e A=90°, B≈145,34°, C≈69,32°, D≈124,66°, E≈110,68° (2B+C=360°, C+E=180°). |
Primitiv cell med 6 brickor | ||
Forskare från University of Washington i Bothell, matematikerna Casey Mann, Jennifer Macleod och David von Duray, hittade 2015, med hjälp av datorberäkningar, den femtonde typen av parkett. Deras arbete publicerades i oktober 2015. [elva]
Denna plattsättning är inte en kant-till-kant plattsättning. Det är 3-isohedriskt (detta säkerställs av två symmetrier - rotation 180° runt centrum av korsningen av ljusgula plattor i en elementär cell och spegelreflektion kring centrum av korsningen av ljusgula plattor från två olika elementära celler) . Det finns kirala plattor i mosaiken - på bilden indikeras de med färgpar (gul, ljusgul), (blå, cyan), (röd, rosa). Den primitiva cellen innehåller 12 brickor.
Precis som typ 14 parkett kan denna parkett byggas av en enda kakel, det finns inga frihetsgrader att ändra vinklar och längder på sidorna.
| Typ 15 | ||
|---|---|---|
( Större bild ) |
a=c=e, b=2a, d= √ 2 + √ 3 a A=150°, B=60°, C=135° D=105°, E=90° |
Primitiv cell med 12 brickor |
Icke-periodiska parketter
Icke-periodiska parketter av femkantiga plattor finns också. De har radiell symmetri, det vill säga de sammanfaller med sig själva efter att ha vridit sig genom en viss vinkel i förhållande till centrum.
Nedan kommer vi att prata om en plattsättning med radiell ordningssymmetri om den sammanfaller med sig själv efter en rotation genom omkring centralpunkten.
2016 visade Bernard Claasen att det för alla existerar en icke-periodisk femkantig plattsättning med ordningens radiell symmetri [12] [13] . Hans konstruktionsmetod var att fylla planet med par av femhörningar, sammanfogade på ena sidan på ett sådant sätt att de bildar en hexagon. Om en av vinklarna på femhörningen är lika och längderna på sidorna väljs på rätt sätt, kan man, med utgångspunkt från sådana femhörningar trivialt sammanfogade runt en punkt, förutsägbart fylla lagren som omger dem en efter en.
Femkantig plattsättning med radiell symmetri av ordning 5 |
Pentagonal plattsättning med radiell symmetri av ordning 6 |
Pentagonal plattsättning med radiell symmetri av ordning 7 |
Ett exempel på en Claasen plattsättning för |
Parketter dubbla till homogena parketter
Det finns tre typer av parketter dubbla till homogena parketter . Alla dessa parketter är av typen rib-till-ribb. Symmetrierna i de dubbla parketterna sammanfaller med symmetrierna i motsvarande homogena parketter. Eftersom homogena parketter är isogonala , är deras dubbla parketter isoedriska.
| cmm (2*22) | p4g (4*2) | p6 (632) |
|---|---|---|
| Prismatisk femkantig parkettTyp 1 -instans [8] | Kairo femkantig mosaikTyp 4 -instans [8] [14] | Blommig femkantig mosaikFörekomst av typ 1, 2 och 5 |
120°, 120°, 120°, 90°, 90° V3.3.3.4.4 |
120°, 120°, 90°, 120°, 90° V3.3.4.3.4 |
120°, 120°, 120°, 120°, 60° V3.3.3.3.6 |
Kakla ett plan med flera brickor
Parketter dubbla till k -homogena
Andra k -homogena parketter, vars alla hörn har fem utgående kanter, har också dubbla femkantiga parketter, men består av flera olika plattor. Däremot förekommer inga andra plattor i dem, förutom de tre som förekommer i vanliga parketter, dubbla till homogena.
Parketterna dubbla till k -homogena parketten är k -isohedriska.
Till exempel nedan är femkantiga parketter dubbla till 2,3,4 och 5-homogena, samt separat (under varje) plattorna som utgör dem.
| 2-isohedral | 3-isohedral | |||
|---|---|---|---|---|
| p4g (4*2) | pgg (22x) | p2 (2222) | p6 (*632) | |
| 4-isohedral | 5-isohedral | |||
| pgg (22x) | p2 (2222) | p6m (*632) | ||
| 5-isohedral | ||||
| pgg (22x) | p2 (2222) | |||
Pentagonal-hexagonal plattsättning
Pentagonerna står i intressanta relationer med hexagonerna. Vissa typer av hexagoner kan delas upp i femhörningar - i synnerhet kan en enda hexagon delas upp i:
- 2 brickor typ 1
- 3 typ 3 brickor
- 4 typ 4 brickor
- 9 typ 3 brickor
På grund av denna mångfald av möjligheter, kan planet beläggas i femhörningar på ett oändligt antal sätt, genererat från en underavdelning av hexagonerna i en vanlig plattsättning.
Kakla planet med en femkantig platta (typ 1) genom bildandet av en vanlig mosaik av hexagoner (som var och en är uppdelad i 2 femhörningar) |
Kakla planet med en femkantig platta (typ 3) genom bildandet av en vanlig mosaik av hexagoner (som var och en är uppdelad i 3 femhörningar) |
Kakla planet med en femkantig platta (typ 4) genom bildandet av en vanlig mosaik av hexagoner (som var och en är uppdelad i 4 femhörningar) |
Kakla planet med en femkantig platta (typ 3) genom att forma en vanlig mosaik av hexagoner i två olika storlekar (som var och en är uppdelad i antingen 3 eller 9 brickor) |
Kakelsättning med icke-konvexa femhörningar
Plattläggning av planet med icke-konvexa polygoner finns också. Ett sådant exempel är Sphinx -kakel, en icke-periodisk plattsättning genom att öka storleken på en delande bricka . För figuren "Sphinx" finns också en periodisk plattsättning genom sammansättningen av deras par till parallellogram och en trivial plattsättning av planet med sådana parallellogram.
2003 visade Gerver hur en regelbunden triangel kan delas upp i tre icke-konvexa polygoner. Med samma schema kan man dela upp vilken vanlig -gon som helst i icke- konvexa femhörningar på ett oändligt antal sätt. I synnerhet är denna metod lämplig för 3, 4 och 6-goner, genom uppdelningen av vanliga tesseller av vilka man sålunda kan generera en annan oändlig klass av plattsättningar av planet i icke-konvexa polygoner.
Anteckningar
- ↑ Konyaev, Andrey . Fransk matematiker löste problemet med att kakla planet , N+1 (12 juli 2017). Arkiverad från originalet den 5 januari 2018. Hämtad 4 januari 2018.
- ↑ Förtryck av Raos arbete . Hämtad 12 mars 2018. Arkiverad från originalet 2 augusti 2017.
- ↑ Hales programkod
- ↑ Publicering av Hales verk Arkiverad 6 augusti 2017 på Wayback Machine på Quanta Magazines webbplats
- ↑ Omsk algebraiskt seminarium . Hämtad 12 mars 2018. Arkiverad från originalet 12 mars 2018.
- ↑ O. G. Bagina. Om egenskaper hos mosaik femhörningar med ett par lika intilliggande sidor // Institute of Mathematics im. S. L. Soboleva Siberian Electronic Mathematical News. - Elektronisk tidning, 2017. - 8 december ( vol. 14 ). - S. 1380-1412 . doi : 10.17377 / semi.2017.14.119 .
- ↑ Sugimoto, Teruhisa (2012), Convex pentagons for edge-to-edge tiling, I. , Forma T. 27 (1): 93–103 , < http://www.scipress.org/journals/forma/abstract/ 2701/27010093.html > Arkiverad 20 maj 2020 på Wayback Machine
- ↑ 1 2 3 Reinhardt, Karl (1918), Über die Zerlegung der Ebene in Polygone , Dissertation Frankfurt am Main, Borna-Leipzig, Druck von Robert Noske,, sid. 77–81 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN316479497&DMDID=DMDLOG_0013&LOGID=LOG_0013&PHYSID=PHYS_0083 > (observera: det finns minst ett fel i verket summan av vinklarna γ +δ i de två första typerna av brickor på sidan 77 ska vara π, inte 2π)
- ↑ Grünbaum, Shephard, 1978 .
- ↑ Schattschneider, 1978 .
- ↑ Mann, Casey; McLoud-Mann, Jennifer & David Von Derau (2015), Convex pentagons that admit $i$-block transitive tilings, arΧiv : 1510.01186 [math.MG].
- ↑ Klaassen, Bernard. Rotationssymmetriska plattor med konvexa femkanter och sexkanter // Elemente der Mathematik : journal. - 2016. - Vol. 71 , nr. 4 . - S. 137-144 . — ISSN 0013-6018 . - doi : 10.4171/em/310 .
- ↑ Klaassen, Bernhard (2016), Rotationssymmetriska plattor med konvexa femhörningar och sexkanter, arΧiv : 1509.06297 [math.MG].
- ↑ Kairo pentagonal beläggning genererad av en femhörnig typ 4 - fråga Arkiverad 28 december 2017 på Wayback Machine och av en pentagon typ 2 - plattsättningsfråga Arkiverad 29 december 2017 på Wayback Machine på wolframalpha.com Arkiverad 24 februari 2011 på Wayback Machine ( caution Wayback Machine) wolfram definition av pentagon typ 2 plattsättning överensstämmer inte med typ 2 definierad av Reinhardt 1918)
Länkar
- Branko Grünbaum, Geoffrey C. Shephard. Isoedriska plattsättningar av planet med polygoner // Commentarii Mathematici Helvetici. - 1978. - T. 53 . - S. \u003d 542-571 . — ISSN 0010-2571 . - doi : 10.5169/seals-40786 . (inte tillgänglig länk)
- Schattschneider, Doris (1978), Tiling the plane with congruent pentagons , Mathematics Magazine vol. 51 (1): 29–44, ISSN 0025-570X , DOI 10.2307/2689644
- Gerver, ML (2003), Theorems on tessellations by polygons , Sbornik: Mathematics vol. 194 (6): 879–895 , doi 10.1070/sm2003v194n06abeh000743
- Pentagon plattor
- Matematiker har hittat en ny typ av femkantig parkett
- Matematisk parkett
| geometriska mosaiker | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Periodisk |
| ||||||||
| Aperiodisk |
| ||||||||
| Övrig |
| ||||||||
| Genom vertexkonfiguration _ |
| ||||||||