Mycket av

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 16 juli 2022; kontroller kräver 4 redigeringar .

En uppsättning är ett av matematikens nyckelbegrepp ; som är en uppsättning, en samling av alla (allmänt sett, alla) objekt - element i denna uppsättning [1] . Två mängder är lika om och endast om de innehåller exakt samma element [2] .

Studiet av allmänna egenskaper hos mängder behandlas av mängdlära , samt relaterade grenar av matematik och matematisk logik . Exempel: en uppsättning invånare i en given stad, en uppsättning kontinuerliga funktioner , en uppsättning lösningar till en given ekvation. En uppsättning kan vara tom eller icke-tom , ordnad eller oordnad , ändlig eller oändlig . En oändlig mängd kan vara räknebar eller oräknelig . Dessutom, i både naiva och axiomatiska mängdteorier, anses alla objekt i allmänhet vara en mängd. Konceptet med en uppsättning tillåter nästan alla grenar av matematiken att använda en gemensam ideologi och terminologi.

Begreppets historia

Grunden till teorin om ändliga och oändliga mängder lades av Bernard Bolzano , som formulerade några av dess principer [3] [4] [5] .

Från 1872 till 1897 (främst 1872-1884) publicerade Georg Cantor ett antal verk där huvudgrenarna inom mängdläran systematiskt presenterades, inklusive teorin om punktmängder och teorin om transfinita tal (kardinal och ordningsföljd) [6 ] . I dessa arbeten introducerade han inte bara de grundläggande begreppen för mängdlära, utan berikade också matematiken med argument av en ny typ, som han använde för att bevisa satser inom mängdläran, i synnerhet, för första gången till oändliga mängder. Därför är det allmänt accepterat att Georg Cantor skapade teorin om mängder. I synnerhet definierade han en uppsättning som "ett enda namn för samlingen av alla objekt som har en given egenskap" och kallade dessa objekt för elementen i en uppsättning . Mängden av alla objekt som har en egenskap (det vill säga ett påstående vars sanning beror på värdet av variabeln x ), angav han, och själva egenskapen kallades den karakteristiska egenskapen för mängden $Yxa)$ $\{x\mid A(x)\},$ $Yxa)$ $x.$

Trots den goda kvaliteten på denna definition ledde Cantors uppfattning till paradoxer - i synnerhet Russells paradox .

Eftersom mängdlära faktiskt används som grunden och språket för alla moderna matematiska teorier, axiomatiserades mängdläran 1908 oberoende av Bertrand Russell och Ernst Zermelo . I framtiden reviderades och ändrades båda systemen, men behöll i princip sin karaktär. Dessa är kända som Russells typteori och Zermelos mängdteori . Därefter blev Cantors mängdteori känd som naiv mängdteori , och teorin (i synnerhet Russell och Zermelo), som byggdes om efter Cantor, blev axiomatisk mängdlära .

I praktiken som har utvecklats sedan mitten av 1900-talet definieras en uppsättning som en modell som uppfyller ZFC-axiomen ( Zermelo-Fraenkel-axiomen med valets axiom ). Men med detta tillvägagångssätt, i vissa matematiska teorier, uppstår samlingar av objekt som inte är mängder. Sådana samlingar kallas klasser (av olika ordning).

Element av set

Objekten som utgör en mängd kallas mängdelement eller börvärden . Uppsättningar betecknas oftast med stora bokstäver i det latinska alfabetet , deras element är gemener. Om är ett element i mängden , då skriver de (" tillhör "). Om det inte är ett element i uppsättningen skriver de (" hör inte hemma "). $a$ $A$ $a\i A$ $a$ $A$ $a$ $A$ $a\notin A$ $a$ $A$

Om varje element i mängden finns i , så skriver de (" ligger i , är dess delmängd "). Enligt mängdteorin, om , då för något element antingen , eller definieras . $A$ $B$ $A\delmängd B$ $A$ $B$ $X\delmängd Y$ $a\in Y$ $a\in X$ $a\not \in X$

Således påverkar inte ordningen i vilken elementen i en mängd skrivs själva mängden, det vill säga . Dessutom följer det av ovanstående att antalet förekomster av identiska element inte är definierat för en uppsättning, det vill säga att posten generellt sett inte är vettig om den är en uppsättning. Det kommer dock att vara korrekt att skriva uppsättningen . $\{6,11\}=\{11,6\}$ $A=\{11,11,6,11,6\}$ $A$ $B=\{11,\{11\},\{6,11\},6\}$

Ange en uppsättning

Det finns två huvudsakliga sätt att definiera uppsättningar : genom att lista element och genom att beskriva dem.

Uppräkning

Den första metoden kräver att man specificerar (listar) alla element som ingår i uppsättningen. Till exempel, mängden icke-negativa jämna tal mindre än 10 ges av: Det är bekvämt att tillämpa denna metod endast på ett begränsat antal ändliga mängder. $Y$ $Y=\{0,2,4,6,8\}.$

Beskrivning

Den andra metoden används när mängden inte kan eller är svår att specificera genom uppräkning (till exempel om mängden innehåller ett oändligt antal element). I det här fallet kan det beskrivas av egenskaperna hos de element som hör till den.

En uppsättning anges om ett villkor anges som är uppfyllt av alla delar av och som inte är uppfyllt av . beteckna $Y\subset X$ $Yxa)$ $x\in X:x\in Y$ $x\in X:x\notin Y$ $Y={\big \{}x\in X:A(x){\big \}}.$

Till exempel kan grafen för en funktion definieras enligt följande: $f\kolon X\till Y$

\Gamma ={\big \{}(x,y)\in X\ gånger Y:f(x)=y{\big \)),

var är den kartesiska produkten av uppsättningar. $\ gånger$

Relationer mellan uppsättningar

För uppsättningar och , kan relationer anges : $A$ $B$

$A$ ingår i om varje element i uppsättningen också tillhör uppsättningen : $B$ $A$ $B$ $A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A\Rightarrow a\in B$
$A$ inkluderar om det ingår i : $B$ $B$ $A$ $A \supseteq B \Leftrightarrow B \subseteq A$
$A$ är lika med om och ingår i varandra: $B$ $A$ $B$ $A=B\Leftrightarrow A\subseteq B,\,B\subseteq A$
- För alla set $A=A$
- Om , då $A=B$ $B=A$
- Om , då . $A=B$ $B=C$ $A=C$

Ibland särskiljs en strikt inkludering ( ) från en icke-strikt ( ), som skiljer sig från . Men i de flesta fall beskrivs inte strängheten av inneslutningar, varför det finns register över godtyckliga inneslutningar med strikta inneslutningstecken. $A\delmängd B$ $A\subseteq B$ $A\subset B\not \Rightarrow A=B$

Operationer på uppsättningar

För en visuell representation av operationer används ofta Venn-diagram , som presenterar resultatet av operationer på geometriska former som uppsättningar av punkter.

Grundläggande funktioner

skärningspunkt : (uppsättning gemensamma punkter) $A\cap B=\{x:x\in A,\,x\in B\};$
union : (uppsättning av alla punkter) $A\cup B=\{x,y:x\in A,\,y\in B\};$

Unionen av osammanhängande och ( ) står också för:

A

B

A\cap B=\varnothing

A+B=A\cup B;

skillnad : (uppsättning punkter av den första utan den andra) $A\setminus B=\{x:x\in A,\,x\notin B\};$
symmetrisk skillnad : $A\bigtriangleup B\equiv A~{\dot {-}}~B=(A\cup B)\setminus (A\cap B);$

tillägg för (sätt utan ): $A\delmängd B$ $B$ $A$ ${\overline {A}}\equiv A^{\complement }=B\setminus A;$

boolean (uppsättning av alla delmängder): $A$ $2^{A}=\{X:X\subset A\}.$

För operationer på uppsättningar gäller även de Morgans lagar :

$A\backslash (B\cap C)=(A\backslash B)\cup (A\backslash C)$

$A\backslash (B\cup C)=(A\backslash B)\cap (A\backslash C)$

Bevis

Vi introducerar mängdens indikator som Det är lätt att visa att Vi bevisar ett av påståendena, förutsatt att det andra beviset är liknande: . (använd ) $A$ $I_{a}:X\supset A\to \{0,1\}:I_{a}(x)={\begin{cases}1,\,\forall x\in A,\\0 ,\,\forall x\notin A;\end{cases}}$
$I_{a\cap b}=I_{a}I_{b};\,\,\,I_{a\cup b}=I_{a}+I_{b}-I_{a}I_{ b};\,\,\,I_{a\setminus b}=I_{a}-I_{a}I_{b}.$

$A\backslash (B\cup C)\,\,\Leftrightarrow I_{a}-I_{a}\cdot I_{b\cup c}\,\,\Leftrightarrow I_{a}-I_{a }\cdot (I_{b}+I_{c}-I_{b}\cdot I_{c})=I_{a}-I_{a}\cdot I_{b}-I_{a}\cdot I_{ c}+I_{a}\cdot I_{b}\cdot I_{c}=$
$=I_{a}^{2}-I_{a}^{2}\cdot I_{b}-I_{a}^{2}\cdot I_{c}+I_{a}\cdot I_ {c}\cdot I_{b}=(I_{a}-I_{a}\cdot I_{b})\cdot (I_{a}-I_{a}\cdot I_{c})\Leftrightarrow (A \backslash B)\cap (A\backslash C)$ $I_{a}^{2}=I_{a}$

Prioritet för operationer

Sekvensen för att utföra operationer på set, som vanligt, kan anges inom parentes. I avsaknad av parenteser utförs först unära operationer (komplement), sedan korsningar , sedan fackföreningar , skillnader och symmetriska skillnader . Operationer med samma prioritet utförs från vänster till höger. Samtidigt bör man komma ihåg att, till skillnad från aritmetisk addition och subtraktion , för vilket det är sant att , detta inte är sant för liknande operationer på mängder. Till exempel, om då men, samtidigt, . $(a+b)-c=a+(bc)$ $A=\{1,3\},B=\{1,2\},C=\{2,3\},$ $(A\cup B)\setminus C=\{1\},$ $A\cup (B\setminus C)=\{1,3\}$

Kartesisk produkt

En kartesisk produkt av uppsättningar är en uppsättning som betecknas med , vars element är alla möjliga par av element i de ursprungliga uppsättningarna; $A$ $B$ $(A\times B)$ $A\times B=\{\{a,b\}:a\in A,\,b\in B\}.$

Det är bekvämt att föreställa sig att elementen i en kartesisk produkt fyller en tabell med element, vars kolumner beskriver alla element i en uppsättning respektive raderna i en annan.

Power

Kraften hos en mängd är en egenskap hos en mängd som generaliserar begreppet antalet element i en ändlig mängd på ett sådant sätt att mängderna mellan vilka det är möjligt att etablera en bijektion är lika kraftfulla. Betecknad eller . Kardinaliteten för en tom mängd är noll, för ändliga mängder sammanfaller kardinaliteten med antalet element, för oändliga mängder införs speciella kardinaltal , som korrelerar med varandra enligt inklusionsprincipen (om , då ) och utökar egenskaperna för den booleska kardinaliteten för en ändlig mängd: till fallet med oändliga mängder. Själva beteckningen är till stor del motiverad av denna fastighet. $|A|$ $\skarp A$ $A\subseteq B$ $|A| \leqslant |B|$ $|2^A| = 2^{|A|}$ $2^A$

Den minsta oändliga makten betecknas , detta är kraften i en räknebar mängd (bijektiv ). Kardinaliteten för en kontinuummängd (bijektiv eller ) betecknas med eller . På många sätt är definitionen av kontinuumets makt baserad på kontinuumhypotesen - antagandet att det inte finns några mellanpotenser mellan den räknebara kraften och kontinuumets makt. $\aleph_0$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {R}$ $2^{\mathbb {N} }$ $\mathfrak c$ $2^{\aleph_0}$

Vissa typer av uppsättningar och liknande objekt

Specialset

En tom uppsättning är en uppsättning som inte innehåller några element.
En en -elementuppsättning är en uppsättning som har ett element.
En universell mängd (universum) är en mängd som innehåller alla tänkbara objekt. I samband medRussells paradoxtolkas detta begrepp för närvarande mer snävt som "en uppsättning som inkluderar alla uppsättningar och objekt som deltar i det aktuella problemet."

Liknande objekt

En tuppel (specifikt ett ordnat par ) är en ordnad samling av ett ändligt antal namngivna objekt. Det är skrivet inom parentes eller vinkelparenteser, och element kan upprepas.
En multimängd (i teorin om Petrinät kallas en "mängd") är en mängd med flera element.
Ett utrymme är en uppsättning med ytterligare struktur.
En vektor är ett element i ett linjärt utrymme som innehåller ett ändligt antal element i något fält som koordinater. Ordning spelar roll, element kan upprepas.
En sekvens är en funktion av en naturlig variabel. Representeras som en oändlig uppsättning element (inte nödvändigtvis olika), vars ordning är viktig.
En fuzzy mängd är ett matematiskt objekt som liknar en mängd vars medlemskap inte ges av en relation utan av en funktion . Med andra ord, när det gäller elementen i en luddig uppsättning, kan man säga "i vilken utsträckning" de ingår i den, och inte bara om de ingår i den eller inte.

Efter hierarki

Ett mängdsystem (uppsättning av mängder) är en mängd vars alla element också är mängder, vanligtvis av liknande ursprung (till exempel kan de alla vara delmängder av någon annan mängd) [7] .
- Algebra av mängder , ring av mängder är exempel på typer av strukturer som är system av mängder.
- Boolean är mängden av alla delmängder av en given mängd.
En familj av uppsättningar är en indexerad analog av ett system av uppsättningar.
Delmängd
superset

Anteckningar

↑ Set // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer) . - M .: Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3. - S. 762.
↑ Stoll, Robert. Mängder, logik och axiomatiska teorier . - W. H. Freeman and Company, 1974. - S. 5 .
↑ Steve Russ. Bernard Bolzanos matematiska verk . - OUP Oxford, 9 december 2004. - ISBN 978-0-19-151370-1 . Arkiverad 27 april 2022 på Wayback Machine
↑ William Ewald. Från Kant till Hilbert Volym 1: A Source Book in the Foundations of Mathematics / William Ewald, William Bragg Ewald. - OUP Oxford, 1996. - S. 249. - ISBN 978-0-19-850535-8 . Arkiverad 22 april 2022 på Wayback Machine
↑ Paul Rusnock. Bernard Bolzano: Hans liv och arbete / Paul Rusnock, Jan Sebestik. - OUP Oxford, 25 april 2019. - P. 430. - ISBN 978-0-19-255683-7 . Arkiverad 17 april 2022 på Wayback Machine
↑ "Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens - welche Elemente der Menge genannt werden - zu einem Ganzen." Arkiverad kopia . Hämtad 22 april 2011. Arkiverad från originalet 10 juni 2011. (obestämd)
↑ Studopedia - uppsättningsteori . Hämtad 2 maj 2020. Arkiverad från originalet 25 november 2020. (obestämd)

Litteratur

K. Kuratovsky , A. Mostovsky . Mängdlära / Översatt från engelska av M. I. Kortfattat, redigerad av A. D. Taimanov. - M . : Mir, 1970. - 416 sid.
Stoll R. R. Sets. Logik. axiomatiska teorier. / Översättning från engelska av Yu. A. Gastev och I. Kh. Shmain, redigerad av Yu. A. Shikhanovich . - M . : Utbildning, 1968. - 232 sid.

Logik

Filosofi • Semantik • Syntax • Historia

Logiska grupper

klassisk logik	Aristotelisk logik propositionell logik Första beställningslogik Andra ordningens logik högre ordningslogik
matematisk logik	mängdteori Modellteori Beräkningsbarhetsteori Bevisteori och konstruktiv matematik Linjär logik formellt system naturlig slutsats Sekvenskalkyl Algebra av logik Relevant logik Deontisk logik intuitionistisk logik Lambek kalkyl
Icke-klassisk logik	intuitionism rolig logik Substrukturell logik logik Beskrivningslogik Flervärdig logik Logisk syntes Bindande logik Temporal logik Modal logik ( Hybrid logik ) epistemisk logik
Filosofisk logik	Kritiskt tänkande informell logik deduktiva resonemang

Komponenter

Bortförande (logik)
Sannolikhet
påstående
Avdrag / Induktion / Traduktion
Verklighet
induktivt resonemang
slutledning
boolesk konstant
Sann
logiskt följa
Logisk form
Nödvändiga och tillräckliga förutsättningar
Beskrivning
Definition
Utbyte
Paket
Kontrovers ( Antinomy )
Syntetisk bedömning / Analytisk bedömning
Länk

Lista över booleska symboler

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor norsk Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4038613-2 NKC : ph122926