Geometrisk fördelning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 30 maj 2014; kontroller kräver 53 redigeringar .

Den geometriska fördelningen i sannolikhetsteorin betyder en av två fördelningar av en diskret slumpvariabel :

sannolikhetsfördelning av en slumpvariabel lika med antalet första "framgång" i en serie av Bernoulli-försök och tar värden ; $X$ $n=1,2,3,...$
sannolikhetsfördelning av en slumpvariabel lika med antalet "misslyckanden" före den första "framgången" och ta värdena . $Y=X-1$ $n=0,1,2,...$

Definition

En slumpvariabel sägs ha en geometrisk fördelning med parameter , och skrivs om den tar värden med sannolikheter . En slumpvariabel med denna fördelning har betydelsen av numret på den första framgångsrika studien i Bernoulli-schemat med sannolikhet för framgång . $X$ $p\in(0,1)$ $\mathrm {Geom} _{1}(p)$ $n=1,2,3,...$ $\mathbb {P} (X=n)=(1-p)^{n-1}p$ $sid$

Låta vara en oändlig sekvens av oberoende slumpvariabler med Bernoulli-fördelningen , d.v.s. $Z_{1},\ldots ,Z_{n},\ldots$

Z_{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&p\\0,&q\equiv 1-p\end{matrix}}\right.,\;i=1,2,\ ldots

. Låt oss bygga en slumpvariabel - antalet "misslyckanden" före den första "framgången". Fördelningen av en slumpvariabel kallas geometrisk med sannolikheten för "framgång" , vilket betecknas enligt följande: . Sannolikhetsfunktionen för en slumpvariabel har formen: .

Y=\min \left\{i\mid Z_{i}=1\right\}-1

Y

sid

Y\sim \mathrm {Geom} _{0}(p)

Y

\mathbb{P}(Y = n) = q^np,\; n=0,1,2,\ldots

Notera

Det antas ibland per definition att det är numret på den första "framgången". Då tar sannolikhetsfunktionen formen där . Tabellen till höger visar formlerna för båda alternativen. $X$ $\mathbb {P} (X=n)=q^{n-1}p,\;$ $n=1,2,3,\ldots$
Sannolikhetsfunktionen är en geometrisk progression , vilket är varifrån fördelningens namn kommer.

Moments

Låt och . Då har den genererande funktionen för momenten i den geometriska fördelningen formen: $X\sim \mathrm {Geom} _{1}(p)$ $Y\sim \mathrm {Geom} _{0}(p)$

M_{Y}(t)={\frac {pe^{t}}{1-qe^{t}}}

var

\mathbb {E} [X]={\frac {1}{p))

{\displaystyle \mathrm {D} [X]={\frac {q}{p^{2))))

. Det är rättvist det .

\mathbb {E} [Y]=\mathbb {E} [X-1]={\frac {1}{p}}-1={\frac {1-p}{p}}={ \frac {q}{p}}

Egenskaper för den geometriska fördelningen

Av alla diskreta fördelningar med stöd och ett fast medelvärde är den geometriska fördelningen en av fördelningarna med den maximala informationsentropin . $\{1,2,3,\dots\}$ $\mu>1$ $\mathrm{Geom}(1/\mu)$
Om och är oberoende , då $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $X_{i}\sim \mathrm {Geom} (p_{i}),\;i=1,\ldots ,n$

X=\min \limits _{i}(X_{i})\sim \mathrm {Geom} \left(1-\prod \limits _{i=1}^{n}(1-p_{ i})\right)

Den geometriska fördelningen är oändligt delbar .

Brist på minne

Om alltså , det vill säga antalet tidigare "misslyckanden" påverkar inte antalet framtida "misslyckanden". $X\sim \mathrm {Geom} (p)$ $\mathbb {P} (X>m+n\mid X\geq m)=\mathbb {P} (X>n)\;,\forall m,n\in \mathbb {N} \cup \ {0\}$

Den geometriska fördelningen är den enda diskreta fördelningen med egenskapen no-memory .

Relation med andra distributioner

Den geometriska fördelningen är ett specialfall av den negativa binomialfördelningen : . $\mathrm{Geom}(p) \equiv \mathrm{NB}(1,p)$
Om och är oberoende , då $Y_1,\ldots, Y_n$ $Y_i \sim \mathrm{Geom}(p),\; i=1,\ldots,n$

\sum\limits_{i=1}^n Y_i \sim \mathrm{NB}(n,p)

Om parametern r=1 i den negativa binomialfördelningen blir den negativa binomialfördelningen den geometriska fördelningen . Den sista distributionen är Bose-Einstein-distributionen för en enda källa [1]

Exempel

Låt tärningarna rullas tills de första sex kommer upp.

Beräkna sannolikheten för att antalet försök som utförs före den första framgången, inklusive den sista framgångsrika försöket, inte kommer att vara fler än tre.

Låt . Sedan

X\sim \mathrm {Geom} _{1}(p=1/6)

\mathbb {P} (X\leq 3)=\mathbb {P} (X=1)+\mathbb {P} (X=2)+\mathbb {P} (X=3)=

= \left(\frac{5}{6}\right)^{\!0} \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right) ^{\!1} \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right)^{\!2} \left(\frac{1}{ 6}\höger) \approx 0{,}42

Beräkna sannolikheten för att antalet "misslyckanden" före den första "framgången" inte kommer att vara fler än två.

Låt . Sedan

Y\sim \mathrm {Geom} _{0}(p=1/6)

\mathbb {P} (Y\leq 2)=\mathbb {P} (Y=0)+\mathbb {P} (Y=1)+\mathbb {P} (Y=2)=

=\left({\frac {5}{6}}\right)^{0}\left({\frac {1}{6}}\right)+\left({\frac {5} {6}}\right)^{1}\left({\frac {1}{6}}\right)+\left({\frac {5}{6}}\right)^{2}\left ({\frac {1}{6}}\right)\approx 0{,}42

Se även

Binomialfördelning .

Länkar

↑ Schopper H. (Ed.) Elektron - Positroninteraktioner. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 1992. S. 133// https://www.twirpx.org/file/3458790/ Arkiverad 10 maj 2021 på Wayback Machine

Sannolikhetsfördelningar
Diskret	Bernoulli Binom Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerligt	Beta Weibulla Gamma- hyperexponentiell Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussian) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformig kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerande Tracey - Vidoma Fiskare Chi-kvadrat Exponentiell Varians-gamma Multivariat normal kopula