Janko Group J2

Gruppteori
Grundläggande koncept	Undergrupp Normal undergrupp Faktorgrupp Arbete direkt halvdirekt fri
Algebraiska egenskaper	kommutativ grupp Cyklisk grupp beställd grupp Förvandla grupp Lösbar grupp Schreiers Lemma Lagranges sats Sylows satser Klassificering av enkla ändliga grupper
ändliga grupper	Finit cyklisk grupp C n Symmetrisk grupp S n Dihedral grupp D n Alternerande grupp A n Klein Quadruple Group Mathieu-grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fisher grupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiska grupper	Lögngrupper Ortogonal grupp O(n) Special ortogonal grupp SO(n) Enhetsgrupp U(n) Särskild enhetlig grupp SU(n) Symplektisk grupp Sp(n) Exceptionellt enkelt Lorentz grupp Poincaré-gruppen
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fouriertransform

Janko-gruppen J 2 , Hall-Janco-gruppen ( HJ ), eller Hall-Janco-Wells- gruppen är en sporadisk ordningsgrupp

2 7 • 3 3 • 5 2 • 7 = 604800.

Historik och egenskaper

J 2 är en av 26 sporadiska grupper . Ett annat namn är Hall-Yanko-Wells- gruppen . 1969 förutspådde Zvonimir Janko J 2 som en av två enkla grupper som har 2 1+4 :A 5 som involutionscentraliseraren (den andra är Janko-gruppen J 3 ). Gruppen konstruerades av Hall and Wells [1] som en permutationsgrupp med 3 100 poäng.

Både Schur-multiplikatorn och den yttre automorfismgruppen har ordning 2.

J 2 är den enda av de 4 Janko-grupperna som är en underfaktor till monster , så gruppen är en del av familjen som Robert Griss kallade happy . Eftersom gruppen finns i Conways Co1-grupp är den också en del av den andra lyckliga familjen .

Visningar

J 2 är en undergrupp av index två automorfismgrupper i Hall-Yanko grafen , vilket leder till en permutationsrepresentation av ordning 100. Gruppen är en undergrupp av index två av automorfismgrupperna i en Hall-Janko nästan oktagon [2] , vilket leder till en permutationsrepresentation av ordning 315.

Gruppen har en modulär representation dimension sex över ett fält med fyra element. Om vi med karakteristik två har w 2 + w + 1 = 0, så genereras J 2 av två matriser

{\mathbf {A} }=\left({\begin{matrix}w^{2}&w^{2}&0&0&0&0\\1&w^{2}&0&0&0&0\\1&1&w^{2}&w^{2 }&0&0\\w&1&1&w^{2}&0&0\\0&w^{2}&w^{2}&w^{2}&0&w\\w^{2}&1&w^{2}&0&w^{2}&0\end{matris }}\höger)

och

{\mathbf {B} }=\left({\begin{matrix}w&1&w^{2}&1&w^{2}&w^{2}\\w&1&w&1&1&w\\w&w&w^{2}&w^{2} &1&0\\0&0&0&0&1&1\\w^{2}&1&w^{2}&w^{2}&w&w^{2}\\w^{2}&1&w^{2}&w&w^{2}&w\end{matris}} \höger).

Dessa matriser uppfyller ekvationerna

{\mathbf {A} }^{2}={\mathbf {B} }^{3}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} })^{7}=({ \mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {B} })^{12}=1.

J 2 är en Hurwitz-grupp , en finit homeomorf bild av triangelgruppen (2,3,7) .

Matrisrepresentationen ovan bildar en inbäddning i Dixon-gruppen G 2 (4) . Det finns två coset i G 2 (4) och de är ekvivalenta i automorfism av fältet F 4 . Deras skärningspunkt (den "riktiga" undergruppen) är en enkel grupp av ordningen 6048. G 2 (4) är i sin tur isomorf till en undergrupp av Conway-gruppen Co 1 .

Maximala undergrupper

Det finns 9 coset av maximala undergrupper av gruppen J 2 . Några åtgärder på Hall-Janko-grafen som beskrivs här i termer.

U 3 (3) av ordning 6048 är en enpunktsstabilisator med banor 36 och 63.

En enkel grupp som innehåller 36 enkla undergrupper av ordningen 168 och 63 involutioner, alla coset verkar på 80 punkter. Dessa involutioner finns i 12 168 undergrupper. Dess centraliserare har strukturen 4.S 4 , som innehåller 6 ytterligare varv.

3.PGL(2,9) av ordning 2160 - har subfaktor A 6
2 1+4 :A 5 order 1920 är centraliseraren av involutionen som verkar på 80 punkter
2 2+4 :(3 × S 3 ) beställ 1152
A 4 × A 5 av order 720.

Innehåller 2 2 × A 5 (cirka 240), centraliserare 3 varv, vardera verkar på 100 punkter

A 5 × D 10 cirka 600
PGL(2,7) order 336
5 2 :D 12 beställ 300 :-
En 5 order 60

Konjugationsklasser

Den maximala ordningen för något element överstiger inte 15. Som permutationer verkar elementen på 100 hörn av Hall-Janko-grafen.

Ordning	Element	Struktur av cykler och cosets
1 = 1	1 = 1	1 klass
2 = 2	315 = 3 2 • 5 • 7	2 40 , 1 klass
2 = 2	2520 = 2 3 • 3 2 • 5 • 7	2 50 , 1 klass
3=3	560 = 2 4 • 5 • 7	3 30 , 1 klass
3=3	16800 = 2 5 • 3 • 5 2 • 7	3 32 , 1 klass
4 = 2 2	6300 = 2 2 • 3 2 • 5 2 • 7	2 6 4 20 , 1 klass
5 = 5	4032 = 2 6 • 3 2 • 7	5 20 , 2 klasser
5 = 5	24192 = 2 7 • 3 3 • 7	5 20 , 2 klasser
6 = 2 • 3	25200 = 2 4 • 3 2 • 5 2 • 7	2 4 3 6 6 12 , 1:a klass
6 = 2 • 3	50400 = 2 5 • 3 2 • 5 2 • 7	2 2 6 16 , 1:a klass
7=7	86400 = 2 7 • 3 3 • 5 2	7 14 , 1:a klass
8 = 2 3	75600 = 2 4 • 3 3 • 5 2 • 7	2 3 4 3 8 10 , 1:a klass
10 = 2 • 5	60480 = 2 6 • 3 3 • 5 • 7	10 10 , 2 klasser
10 = 2 • 5	120960 = 2 7 • 3 3 • 5 • 7	5 4 10 8 , 2 klasser
12 = 2 2 • 3	50400 = 2 5 • 3 2 • 5 2 • 7	3 2 4 2 6 2 12 6 , 1 klass
15 = 3 • 5	80640 = 2 8 • 3 2 • 5 • 7	5 2 15 6 , 2 klasser

Anteckningar

↑ Hall, Wales, 1968 .
↑ Den nära oktagonen på 315 pekar . Hämtad 4 september 2017. Arkiverad från originalet 29 juli 2021. (obestämd)

Litteratur

Robert L. Griess , Jr. Tolv sporadiska grupper. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1998. - (Springer-monogram i matematik). — ISBN 3-540-62778-2 .
Hall M., Wales D. The simple group of order 604 800 // Journal of Algebra . - 1968. - T. 9 . — S. 417–450 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(68)90014-8 .
Janko Z. Några nya enkla grupper av ändlig ordning. I // Symposia Mathematica (INDAM, Rom, 1967/68). - Boston, MA: Academic Press , 1969. - V. 1. - S. 25-64.
Wales DB Det unika med den enkla gruppen av ordning 604800 som en undergrupp av SL(6,4) // Journal of Algebra 11. - 1969. - s. 455–460 .
Wales DB Generators av Hall–Janko-gruppen som en undergrupp till G2(4) // Journal of Algebra. - 1969. - T. 13 . — S. 513–516 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(69)90113-6 .

Länkar

MathWorld: Janko Groups Arkiverad 5 september 2017 på Wayback Machine
Atlas över ändliga grupprepresentationer: J 2
Undergruppens gitter av J 2

Gruppteori
Grundläggande koncept	Undergrupp Normal undergrupp Faktorgrupp Arbete direkt halvdirekt fri
Algebraiska egenskaper	kommutativ grupp Cyklisk grupp beställd grupp Förvandla grupp Lösbar grupp Schreiers Lemma Lagranges sats Sylows satser Klassificering av enkla ändliga grupper
ändliga grupper	Finit cyklisk grupp C n Symmetrisk grupp S n Dihedral grupp D n Alternerande grupp A n Klein Quadruple Group Mathieu-grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fisher grupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiska grupper	Lögngrupper Ortogonal grupp O(n) Special ortogonal grupp SO(n) Enhetsgrupp U(n) Särskild enhetlig grupp SU(n) Symplektisk grupp Sp(n) Exceptionellt enkelt Lorentz grupp Poincaré-gruppen
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fouriertransform