Lagrangian

Lagrangian , Lagrangefunktionen av ett dynamiskt system , är en funktion av generaliserade koordinater och beskriver systemets utveckling. Till exempel är rörelseekvationerna (för klassisk mekanik) i detta tillvägagångssätt härledda från principen om minsta åtgärd , skriven som ${\mathcal {L}}[\varphi _{i}]$ $\ \varphi _{i}(s)$

{\frac {\delta {\mathcal {S))}{\delta \varphi _{i))}=0,

där handling är en funktionell ${\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(s)]{}\,d^{n}s},$

a - generaliserade koordinater (till exempel partikelkoordinater eller fältvariabler), betecknar en uppsättning systemparametrar, i fallet med klassisk mekanik - oberoende rumsliga koordinater och tid, och, mer allmänt, elektriska eller andra fysiska parametrar. Uppkallad efter Joseph Louis Lagrange . $\varphi _{i}$ $\s_{j}$

Ekvationerna som erhålls genom att sätta den funktionella derivatan av den funktionella i alla riktningar till noll är identiska med de vanliga Euler-Lagrange-ekvationerna . Dynamiska system vars ekvationer kan erhållas via principen om minsta verkan för en bekvämt vald Lagrange-funktion är kända som Lagrangiska dynamiska system .

Det finns många exempel på lagrangska dynamiska system, allt från den klassiska versionen av standardmodellen i partikelfysik till Newtons ekvationer i klassisk mekanik (se Lagrangemekanik ). Också inkluderat i detta område är rent matematiska problem som problemet med att hitta ekvationerna för geodetik och platåproblemet .

Genom Legendre-omvandlingen är Lagrangian släkt med Hamiltonian (där momenta tas som grund ). Den Hamiltonska formuleringen av klassisk mekanik är baserad på Hamiltonian.

Ett exempel från klassisk mekanik

Begreppet Lagrange-funktionen introducerades ursprungligen för att omformulera klassisk mekanik i den form som kallas Lagrangemekanik . I detta sammanhang brukar Lagrange-funktionen ses som skillnaden mellan kinetiska och potentiella energier i ett mekaniskt system.

Låt rummets dimension vara lika med tre och Lagrange-funktionen skrivas i formen

{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m{\dot {{\vec {x}}}}^{2}-V({\vec {x}} ),

där tidsderivatan betecknas med en punkt över den differentierbara kvantiteten, är radievektorn för partikeln, är dess massa och är den potentiella energin. Då blir Euler-Lagrange-ekvationen ${\vec {x}}$ $m$ $V$

m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V=0,

var är gradienten . $\nabla V$

Med hjälp av detta resultat kan man enkelt visa att detta tillvägagångssätt är likvärdigt med Newtons. Vi skriver kraften i termer av potentialen , då får vi ekvationen , som liknar Newtons ekvation med konstant massa. Enkla beräkningar kommer att leda oss till uttrycket , som är Newtons andra lag i dess generaliserade form. $F$ ${\vec {F}}=-\nabla V(x)$ ${\vec {F}}=m{\ddot {{\vec {x}}}}$ ${\vec {F}}=d{\vec {p}}/dt$

För ett tredimensionellt system med sfäriska koordinater r , θ, φ med Lagrangian

{\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{ 2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r)

Följande Euler-Lagrange-ekvationer kan erhållas:

m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+V'=0 ,

{\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2 }=0,

{\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0.

Den klassiska relativistiska Lagrangian av en fri partikel

Den klassiska (icke-quantum, bland annat ignorerande spin ) lagrangian för en fri partikel i relativitetsteorin sammanfaller (upp till ett tecken) med tillväxttakten för längden på dess världslinje i Minkowski-rymden (det vill säga, med ändringshastigheten för korrekt tid ), multiplicerat med partikelns massa och med kvadraten på ljusets hastighet : $m$ $c$

{\mathcal {L}}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},

var är den vanliga tredimensionella hastigheten för partikeln. $v$

Av detta följer Lagrangian den klassiska dynamiken hos relativistiska partiklar ( relativistisk dynamik ).

Lagrangians och Lagrangian densitet i fältteori

I klassisk och kvantfältteori skiljer man mellan det lagrangska L , i termer av vilket handlingen uttrycks som en integral endast över tid

S=\int {L\,dt},

och densiteten av Lagrangian , som måste integreras över hela den fyrdimensionella (och i vissa teorier ännu mer multidimensionella ) rum-tid: $\mathcal{L}$

S[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x)]\,d^{4}x}.

Då är Lagrangian integralen över rymdvariabler av densiteten hos Lagrangian.

Nyligen hänvisas ofta till lagrangians täthet helt enkelt som Lagrangian; detta är användbart i relativistiska teorier eftersom det är lokalt definierat. Denna definition av termer är uppenbarligen ett alternativ till den som ges i början av stycket. Ofta introduceras också en distinktion mellan Lagrange- och Lagrange-funktionen, varvid man förstår den senare som integralen av Lagrangian över rymden. $\mathcal{L}$

Båda definitionerna av Lagrangian kan erhållas som specialfall av den allmänna definitionen, beroende på om de rumsliga variablerna ingår i indexet eller i parametrarna i . Kvantfältsteorier inom partikelfysik , såsom kvantelektrodynamik , brukar beskrivas i termer av . Detta formulär är bekvämt eftersom det snabbt översätts till reglerna som används för att utvärdera Feynman-diagram . ${\vec x}$ $i$ $s$ $\varphi _{i}(s)$ $\mathcal{L}$

Elektromagnetisk lagrange

I det här avsnittet talar vi om rent klassisk (inte kvantelektrodynamik) (den kvantelektrodynamiska Lagrangian beskrivs i följande avsnitt), i synnerhet vad som sades om ett laddat ämne med vilket ett elektromagnetiskt fält interagerar - det vill säga både interaktionsterm och Lagrangian för själva ämnet (lagrangian för det fria elektromagnetiska fältet är i allmänhet densamma i klassisk och kvantteori).

Elektrostatik

Elektrostatik är fysiken hos statiska (det vill säga konstanta) elektriska fält, som kan (ungefär eller exakt) beskrivas av en skalär [1] potential, och en ganska långsamt rörlig laddad substans, som alltså lyder Newtonsk mekanik.

I klassisk mekanik är lagrangian

{\mathcal {L}}=TV,

var är den kinetiska energin och är den potentiella energin. $T$ $V$

För en laddad partikel med massa och laddning lokaliserad i ett elektriskt (elektrostatiskt) fält med en skalär potential , ges den kinetiska energin av uttrycket $m$ $q$ $\varphi \$

T_{s}={1 \över 2}m{\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {v}}

- för en partikel (för många tas summan).

Fältets interaktionsenergi med ett laddat ämne ser ut som

V=q\varphi \

för en punktsladdning (lägger till för många),

eller

V=\int \rho \varphi \dxdydz

— i form av kontinuerlig avgiftsfördelning.

(Det visar sig vara användbart att skriva ut båda typerna separat, även om de så klart reduceras till varandra om du använder deltafunktionen ). Fältenergin ingår i den kinetiska energitermen tillsammans med den kinetiska energin för partiklar [2] , skriven som:

T_{f}=\int {1 \over 2\varkappa }(\nabla \varphi )^{2}dxdydz,

var är "kraftkonstanten", som slutligen träder in i Coulombs lag . $\varkappa$

Således är lagrangian för elektrostatik, som inkluderar den kinetiska energin hos laddade partiklars (långsamma) rörelse, som följer:

{\mathcal {L}}=T_{f}-V+T_{s},

(varje medlem av den är skriven ovan).

Naturligtvis kan denna Lagrangian, om nödvändigt, kompletteras med andra termer som beskriver icke-elektriska krafter, till exempel av elasticitetsenergin, etc.

Genom att variera verkan med den lagrangiska som beskrivs i detta stycke [3] är det lätt att få fältekvationen för elektrostatik ( Poissons ekvation ):

\nabla ^{2}\varphi =-\varkappa \rho

och rörelseekvationen för en partikel i ett elektrostatiskt fält (i allmänhet sammanfaller med det som erhålls i exemplet för en klassisk partikel i början av artikeln):

m{\dot {\mathbf {v} }}=-q\nabla \varphi .

Elektrodynamik

3D-formulering

När det gäller elektrodynamik måste man inte använda den klassiska potentiella energin, utan den generaliserade (beroende på hastigheterna) potentiella energin (interaktionsenergin):

V=q\varphi -{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} ,

eller

V=\int (\rho \varphi -{1 \over c}\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} )dxdydz,

där är ljusets hastighet , är partikelns hastighet, j är strömdensitetsvektorn , A är vektorpotentialen . $c$ $v$

Energin i det elektromagnetiska fältet bör även inkludera, i jämförelse med fallet med elektrostatik, även magnetfältets energi [4] :

T_{f}=\int {\frac {1}{2\varkappa }}(E^{2}-H^{2})dxdydz,

där vektorerna för den elektriska fältstyrkan E och den magnetiska fältstyrkan H bör anses uttryckta i termer av skalärpotentialen och vektorpotentialen A : $\varphi$

\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t)),

\mathbf {H} =\mathbf {rot} \mathbf {A} .

Då kan den elektromagnetiska Lagrangian skrivas i formen

L=T_{f}-q\varphi +{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} +T_{s}.

eller

L=T_{f}+\int (-\rho \varphi +{\frac {\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} }{c)))dxdydz+T_{s}.

Här, som materiens lagrangian, kan man använda det ungefärliga uttrycket för långsamma partiklar, som beskrivs i stycket om elektrostatik, eller så kan man använda (eftersom för elektrodynamik, som inte är begränsad till långsamma rörelser, är detta generellt sett relevant ) den relativistiska lagrangian för snabba partiklar $T_{s}$

T_{s}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}} }}.

Liksom i fallet med elektrostatik, om nödvändigt, kan ytterligare termer som beskriver icke-elektromagnetiska krafter, andra fält etc. läggas till denna Lagrangian, vilket dock går utanför ramen för problemet med att beskriva den elektromagnetiska Lagrangian. Att skriva ut den kinetiska energin för ett ämne går strängt taget också över dessa gränser, men vi skrev ut det så att beskrivningen behåller sin integritet.

När man varierar verkan med denna Lagrangian i φ och in (oberoende för varje, med den andra formen av att skriva Lagrangian), erhålls Maxwells ekvationer , och när man varierar i koordinaterna för laddade partiklar - med den första formen av skrivning - ekvationerna rörelse av laddade partiklar i ett fält, vilket reducerar till: $A_{x},A_{y},A_{z}$

d{\mathbf p}/dt={\mathbf F}_{L},

där p är partikelns (tredimensionella) rörelsemängd, är Lorentzkraften (inklusive den elektriska termen). ${\mathbf F}_{L}$

Det enklaste och kortaste sättet att få en sådan härledning är dock i den fyrdimensionella formuleringen (se nedan).

Fyrdimensionell formulering

I en fyrdimensionell formulering ser densiteten av lagrangian av det elektromagnetiska fältet , dess interaktion med ett laddat ämne och (för att fullborda bilden) själva ämnet ut så här (med c = 1 enhetssystemet ):

L={\frac {1}{4\varkappa }}F_{{ik}}F^{{ik}}+A_{i}j^{i}+L_{s}.

Den andra termen (som beskriver interaktionen) kan skrivas om så att motsvarande åtgärd är:

S_{{int}}=-\int qA_{i}dx^{i}.

( Termen är den vanliga densiteten för lagrangian för en snabb - i det allmänna fallet - partikel; den kan inte skrivas explicit, eftersom den inte behövs för den klassiska teorin, eftersom den behöver lagrangian för en sådan partikel, utskriven som vanligt - se ovan - och inte dess densitet). $L_{s}$

Här är den elektromagnetiska fälttensoren (lagrangian inkluderar dess faltning, kvadraten), är 4-potentialen , är den fyrdimensionella strömtätheten , är 4-koordinaten för punkten i regionen där integrationen utförs; Einsteins regel om summering över ett upprepat index är underförstått . $F^{{ik}}$ $A_{i}$ $j^{i}$ $x^i$

Genom att variera med , erhålls Maxwells ekvationer lätt i fyrdimensionell form: $A_{i}$

\partial _{i}F^{ik}=\varkappa j^{k},

och genom att variera i - rörelseekvationen för partikeln: $x^i$

dp_{i}/d\tau =qF_{ik}u^{k},\,

var är 4-momentum , är 4-hastighet . $p_{i}=mu_{i}$ $u^{k}$

Kvantfältteorins Lagrangian

Kvantfältsteorin (QFT) överensstämmer i princip med den klassiska, förutom de fall då det är svårt att introducera klassiska analoger för någon del av fältvariablerna eller att korrekt tolka dem; men även då är det vanligtvis möjligt, åtminstone rent formellt, att erhålla vad som kallas de klassiska rörelseekvationerna genom att använda, istället för en eller annan procedur för att kvantisera fältet med en given Lagrangian, approximationen av den stationära fasen ( stationär action ) - det vill säga genom att hitta den klassiska approximationen av beskrivningen av systemet.

Lagrangianerna som skrivs nedan är alltså inte i en viss mening specifika endast för kvantteorin för motsvarande fält; ändå används de i QFT, och representerar i ett visst avseende dess grund.

Kvantelektrodynamikens lagrangian

Lagrangisk densitet för kvantelektrodynamik (QED):

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\not \!\,Dm)\psi -{1 \over 4}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu},

där är spinorn (fyrdimensionell), är dess Dirac-konjugation , är det elektromagnetiska fältets tensor , D är den kovarianta derivatan av mätaren och är Feynman-notationen för . $\psi$ ${\bar \psi }=\psi ^{\dolk }\gamma ^{0}$ ${\displaystyle F^{\mu \nu ))$ $\inte \!\,D$ $\gamma ^{\sigma }D_{\sigma }$

Dirac's Lagrangian

Densitet av Lagrangian för Dirac-fältet

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\inte \!\;\partial -m)\psi .

Lagrangian av kvantkromodynamiken

Lagrangisk densitet för kvantkromodynamik [5]

{\mathcal {L}}=-{1 \over 4}F^{\alpha }{}_{\mu \nu }F_{\alpha }{}^{\mu \nu}-\summa _{n}{\bar {\psi }}_{n}(\not \!\,D_{\mu }+m_{n})\psi _{n},

var är den kovarianta derivatan av QCD och är gluonfältstyrkan . ${\displaystyle D_{\mu ))$ ${\displaystyle F^{\alpha }{}_{\mu \nu ))$

Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för Lagrange-ekvationens existens och unika

Inom klassisk mekanik är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för Lagrange-ekvationens existens och unika [6] . $det\left\|{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{k}}}\ höger\|_{j,k=1}^{n}\neq 0$

Länkar

Christoph Schiller . Globala beskrivningar av rörelse: komplexitetens enkelhet , Motion Mountain (2005)
David Tong Classical Dynamics (Cambridge föreläsningsanteckningar)

Anteckningar

↑ Här menar vi naturligtvis en skalär av vanligt tredimensionellt rum, och inte en invariant av Lorentz-transformationerna.
↑ Detta bestäms av tecknet som bör erhållas som ett resultat i rörelseekvationerna och av det faktum att man av vissa skäl vill ha en positiv fältenergi. Allt detta kan mer eller mindre noggrant motiveras, men här kommer vi att begränsa oss till de enkla överväganden som just presenterats.
↑ För att erhålla fältekvationen är det bekvämare att använda interaktionen Lagrangian uttryckt i termer av , för att erhålla rörelseekvationen för en partikel i fältet - i termer av positionen för en punktpartikel (i termer av ). $\rho$ $q\varphi$
↑ Frågan om tecken, som gjordes ovan för det elektrostatiska fältet, kommer inte att diskuteras i detalj här, även om det finns en ganska rigorös motivering, som återigen begränsar sig till observationen att det är just sådana tecken som ger de nödvändiga tecknen i finalen ekvationer.
↑ Quantum Chromodynamik (QCD) . Hämtad 21 februari 2006. Arkiverad från originalet 9 juli 2011. (obestämd)
↑ Aizerman M. A. Klassisk mekanik. - M., Nauka, 1980. - sid. 165

Litteratur

Historiska publikationer

J. Lagrange . Analytisk mekanik. - M. - L .: Statens förlag för teknisk och teoretisk litteratur, 1950. - 594 sid.

Teoretiska fysikkurser

Landau L. D., Lifshitz E. M. Mechanics. - 5:e upplagan, stereotypt. — M .: Fizmatlit , 2004 . — 224 sid. — (”Teoretisk fysik”, volym I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
Landau L. D., Lifshitz E. M. Fältteori (Theoretical Physics, vol. II ). — M. : Fizmatlit, 2003. — 536 sid. — ISBN 5-9221-0056-4 .