Homogen mosaik

En enhetlig plattsättning är en vertextransitiv plattsättning på ett plan med regelbundna polygonala ytor.

En enhetlig plattsättning kan finnas både på det euklidiska planet och på det hyperboliska planet . Enhetliga plattsättningar är relaterade till ändliga enhetliga polyedrar , som kan ses som enhetliga tesseller av sfären .

De flesta enhetliga plattsättningar kan erhållas genom Wythoffs symmetrikonstruktion , med början från en enda genereringspunkt inuti grundområdet . Plansymmetrigruppen har en polygonal fundamental region och kan representeras av ordningen av speglar i en sekvens av hörn.

En triangulär fundamental domän har spegelordningar ( p q r ), och en rektangulär triangulär domän har spegelordningar ( p q 2), där p , q , r är heltal större än ett. En triangel kan vara en sfärisk triangel , en euklidisk triangel eller en triangel i det hyperboliska planet, vilket beror på värdena p , q och r .

Det finns flera symboliska scheman för att namnge de resulterande figurerna, som börjar med den modifierade Schläfli-symbolen för grundområdet i form av en rätvinklig triangel ( p q 2) → { p , q }. Coxeter-Dynkin-diagrammet är en graf med märkta p , q , r - kanter. Om r = 2 är grafen linjär, eftersom noder av ordning 2 inte bildar några reflektioner. Wythoff-tecknet använder 3 heltal med en separat vertikal streck (|) mellan dem. Om genereringspunkten inte är på en spegel, placeras symbolen för vertexet mittemot spegeln före den vertikala stapeln.

Slutligen kan plattsättningar beskrivas i termer av deras vertexkonfiguration , dvs. sekvenser av polygoner runt varje vertex.

Alla enhetliga plattsättningar kan byggas med olika operationer som tillämpas på vanliga plattsättningar . Namnen på dessa operationer gavs av den amerikanske matematikern Norman Johnson , dessa är trunkering ( trunkering , avskärning av hörn), korrigering ( fullständig trunkering , avskärning av hörn tills de ursprungliga kanterna försvinner helt) och cantellation ( avfasning , skärkanter). Omnitruncation ( trunkation ) är en operation som kombinerar trunkering och avfasning. Snubbning (avklippning av näsor) är en operation med alternerande trunkering av helt trunkerade former. (Se Wythoff byggoperatörer för en detaljerad förklaring av verksamheten.)

Coxeter-grupper

Coxeter-grupper i planet definierar Wythoff-konstruktionen och kan representeras av Coxeter-Dynkin-diagram :

För grupper med heltalsordning:

Euklidiskt plan

Orbifold symmetri	Coxeter grupp			Anteckningar
Kompakt
*333	(3 3 3)	${\tilde{A}}_2$	[3 [3] ]	3 spegelformar, 1 snubb
*442	(4 4 2)	${\tilde {B}}_{2}$	[4,4]	5 spegelformer, 1 snubb
*632	(6 3 2)	${\tilde{G}}_2$	[6,3]	7 spegelformer, 1 snubb
*2222	(∞2∞2)	${\tilde{I}}_1$ × ${\tilde{I}}_1$	[∞,2,∞]	3 spegelformar, 1 snubb
Icke-kompakt ( trottoarkant )
*∞∞	(∞)	${\tilde{I}}_1$	[∞]
*22∞	(2 2∞)	${\tilde{I}}_1$ × ${\tilde{A}}_2$	[∞,2]	2 spegelformar, 1 snubb

hyperboliskt plan

Orbifold symmetri	Coxeter grupp		Anteckningar
Kompakt
*pq2	(pq 2)	[p,q]	2(p+q) < pq
*pqr	(pqr)	[(p,q,r)]	pq+pr+qr < pqr
Paracompact
*∞p2	(s ∞ 2)	[p,∞]	p>=3
*∞pq	(pq∞)	[(p,q,∞)]	p,q>=3, p+q>6
*∞∞s	(p∞∞)	[(p,∞,∞)]	p>=3
*∞∞∞	(∞∞∞)	[(∞,∞,∞)]

Enhetliga plattsättningar i det euklidiska planet

Det finns symmetrigrupper på det euklidiska planet, som erhålls från de fundamentala trianglarna (4 4 2), (6 3 2) och (3 3 3). Var och en av dem representeras av en uppsättning raka linjer (speglar) som delar planet i grundläggande trianglar.

Dessa symmetrigrupper skapar 3 vanliga plattsättningar och 7 semi-regelbundna plattor. Antalet halvregelbundna plattsättningar upprepas för olika symmetrikonstruktioner.

Den prismatiska symmetrigruppen, representerad av symbolen (2 2 2 2), ges av två uppsättningar parallella speglar, som i allmänhet kan ha ett rektangulärt grundområde. Gruppen bildar inga nya plattsättningar.

Vidare har den prismatiska symmetrigruppen som representeras av symbolen (∞ 2 2) en oändlig fundamental domän. Gruppen ger två enhetliga plattsättningar, ett oändligt vinklat prisma och ett oändligt vinklat antiprisma .

Genom att kombinera ändytorna på dessa två prismatiska plattsättningar får vi en icke-Withoff homogen plattsättning i planet. Det kallas isokurnosny triangulär parkett och består av på varandra följande lager av kvadrater och trianglar.

Rättvinklad fundamental triangel ( p q 2)

( s q 2)	Förälder	Trunkerad	Helt stympad	Bicut	Helt bicut (dubbel)	fasad	Trunkerad	plattnosig
Wythoff symbol	q \| p2 _	2 q \| sid	2 \| p q	2p \| _ q	p \| q2 _	p q \| 2	p q 2 \|	\| p q 2
Schläfli symbol	t { p , q }	t { p , q }	r{p,q}	2t{p,q}=t{q,p}	2r{p,q}={q,p}	rr{p,q}	tr{p,q}	sr{p,q}
Coxeter diagram
Vertex figur	p q	q.2p.2p	(pq) 2	s.2q.2q	qp _	s.4.q.4	4,2p.2q	3.3.s.3.q
Fyrkantig mosaik (4 4 2)	{4,4}	4.8.8	4.4.4.4	4.8.8	{4,4}	4.4.4.4	4.8.8	3.3.4.3.4
Sexkantig mosaik (6 3 2)	{6,3}	3.12.12	3.6.3.6	6.6.6	{3,6}	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Allmänna grundtrianglar (pqr)

Wythoff-symbol (pqr)	q \| pr	rq \| sid	r \| pq	rp \| q	p \| qr	pq \| r	pqr \|	\| pqr
Coxeter diagram
Vertex-konfiguration	(pq) r	r.2p.q.2p	(pr) q	q.2r.p.2r	(qr) sid	q.2r.p.2r	r.2q.p.2q	3.r.3.q.3.p
Triangulär (3 3 3)	(3.3) 3	3.6.3.6	(3.3) 3	3.6.3.6	(3.3) 3	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

Icke-enkla fundamentala domäner

Den enda möjliga fundamentala domänen i det euklidiska rummet som inte är en simplex är rektangeln (∞ 2 ∞ 2) med Coxeter-diagrammet . Endast fyrkantiga parketter tillverkas från detta område .

Homogena plattsättningar på det hyperboliska planet

Det finns oändligt många enhetliga plattsättningar av konvexa regelbundna polygoner i det hyperboliska planet , var och en baserad på en annan spegelsymmetrigrupp (pqr).

Exemplen som visas här ges i Poincare diskprojektion .

Coxeter-Dynkin-diagram ges i linjär form, även om de egentligen är trianglar där ändsegmentet r är kopplat till den första noden.

Dessutom finns det på det hyperboliska planet fyrkantiga fundamentala områden med start från (2 2 2 3) som kan bilda nya former. Det finns också fundamentala områden med hörn i oändligheten, såsom (∞ 2 3).

Rättvinklade grundläggande trianglar ( p q 2)

(pq 2)	Fond. trianglar	Förälder	stympad	Helt stympad	Bicut	Helt bicut (dubbel)	fasad	Trunkerad	plattnosig
Wythoff symbol		q \| p2	2 q \| sid	2 \| pq	2p \| q	p \| q2	pq \| 2	pq 2 \|	\| pq 2
Schläfli symbol		t{p,q}	t{p,q}	r{p,q}	2t{p,q}=t{q,p}	2r{p,q}={q,p}	rr{p,q}	tr{p,q}	sr{p,q}
Coxeter-Dynkin diagram
Vertex figur		p q	(q.2p.2p)	(pqpq)	(sid. 2q.2q)	qp _	(sid. 4.q.4)	(4.2p.2q)	(3.3.s. 3.q)
(Hyperboliskt plan) (5 4 2)	V4.8.10	{5,4}	4.10.10	4.5.4.5	5.8.8	{4,5}	4.4.5.4	4.8.10	3.3.4.3.5
(Hyperboliskt plan) (5 5 2)	V4.10.10	{5,5}	5.10.10	5.5.5.5	5.10.10	{5,5}	5.4.5.4	4.10.10	3.3.5.3.5
(Hyperboliskt plan) (7 3 2)	V4.6.14	{7,3}	3.14.14	3.7.3.7	7.6.6	{3,7	3.4.7.4	4.6.14	3.3.3.3.7
(Hyperboliskt plan) (8 3 2)	V4.6.16	{8,3} ]	3.16.16	3.8.3.8	8.6.6	{3,8	3.4.8.4	4.6.16	3.3.3.3.8

Grundtrianglar (pqr) av allmän form

Wythoff-symbol (pqr)	Fundam. trianglar	q \| pr	rq \| sid	r \| pq	rp \| q	p \| qr	pq \| r	pqr \|	\| pqr
Coxeter-Dynkin diagram
Vertex figur		(pr) q	(r.2p.q.2p)	(pq) r	(q.2r.p. 2r)	(qr) sid	(r.2q.p. 2q)	(2p.2q.2r)	(3.r.3.q.3.p)
Hyperbolisk (4 3 3)	V6.6.8	(3.4) 3	3.8.3.8	(3.4) 3	3.6.4.6	(3.3) 4	3.6.4.6	6.6.8	3.3.3.3.3.4
Hyperbolisk (4 4 3)	V6.8.8	(3.4) 4	3.8.4.8	(4.4) 3	3.6.4.6	(3.4) 4	4.6.4.6	6.8.8	3.3.3.4.3.4
Hyperbolisk (4 4 4)	V8.8.8	(4.4) 4	4.8.4.8	(4.4) 4	4.8.4.8	(4.4) 4	4.8.4.8	8.8.8	3.4.3.4.3.4

Utökad lista över enhetliga plattsättningar

Det finns flera sätt att utöka listan över homogena mosaiker:

Vertexformer kan ha degenererade ansikten och lindas runt en vertex mer än en gång.
Du kan aktivera plattsättning med stjärnpolygoner .
Apeirogoner , {∞}, kan användas som plattsättningsytor .
Begränsningen att ytorna på en plattsättning vidrör kant-till-kant kan släppas, vilket resulterar i ytterligare plattsättningar som pythagoras plattsättning .

Symmetrigrupptrianglar med degenererade ansikten inkluderar:

(4/3 4/3 2) (6 3/2 2) (6/5 3 2) (6 6/5 3) (6 6 3/2)

Symmetrigrupptrianglar med oändligheter inkluderar:

(4 4/3 ∞) (3/2 3 ∞) (6 6/5 ∞) (3 3/2 ∞)

Branko Grünbaum i 1987 års bok Tilings and patterns (Mosaics and patterns) i avsnitt 12.3 listar 25 enhetliga plattsättningar, inklusive 11 konvexa och 14 till, som han kallar ihåliga plattsättningar . Bland de senare ingår de två första utsträckta plattsättningarna som nämnts ovan, plattsättningar med stellerade polygonytor och vertexfigurer.

Harold Coxeter et al., i 1954 års tidning 'Uniform polyhedra' i Tabell 8 Uniform plattsättning listar de tre första förlängningarna och listar 38 enhetliga plattsättningar.

Slutligen, om vi räknar plattsättningar med 2 oändligheter, kan vi räkna totalt 39 enhetliga plattsättningar.

7 nya plattsättningar med {∞} ytor med vertexformer och Wythoff-symboler :

∞.∞ (två halvplansytor, oändlig dihedron )
4.4.∞ — ∞ 2 | 2 ( prisma med oändlig vinkel )
3.3.3.∞ - | 2 2 ∞ ( antiprisma med oändlig vinkel )
4.∞.4/3.∞ - 4/3 4 | ∞ (växelvis fyrkantig parkett)
3.∞.3.∞.3.∞ - 3/2 | 3 ∞ (alternativ trekantig parkett)
6.∞.6/5.∞ - 6/5 6 | ∞ (växelvis trihexagonal plattsättning, endast med hexagoner)
∞.3.∞.3/2 - 3/2 3 | ∞ (växelvis trihexagonal plattsättning, endast med trianglar)

Den återstående listan innehåller 21 plattsättningar med 7 {∞} ytor (oändliga goner). Om plattsättningarna ritas som grafer återstår endast 14 unika plattsättningar, och den första är identisk med plattsättning 3.4.6.4 .

21 mosaiker grupperade efter vanliga grafer med indikering av vertexfiguren och Wythoff-symbolen:

Sorts	Vertex- konfiguration	Wythoff symbol
ett	3/2.12.6.12	3/2 6 \| 6
ett	4.12.4/3.12/11	2 6 (3/2 3) \|
2	8/3.4.8/3.∞	4∞ \| 4/3
	8/3.8.8/5.8/7	4/3 4 (2∞) \|
	8.4/3.8.∞	4/3∞ \| fyra
3	12/5.6.12/5.∞	6∞ \| 6/5
	12/5.12.12/7.12/11	6/5 6 (3∞) \|
	12.6/5.12.∞	6/5∞ \| 6
fyra	12/5.3.12/5.6/5	3 6 \| 6/5
	12/5.4.12/7.4/3	2 6/5 (3/2 3) \|
	4.3/2.4.6/5	3/2 6 \| 2
5	8.8/3.∞	4/3 4∞ \|
6	12.12/5.∞	6/5 6 ∞ \|
7	8,4/3,8/5	2 4/3 4 \|
åtta	6.4/3.12/7	2 3 6/5 \|
9	12.6/5.12/7	3 6/5 6 \|
tio	4,8/5,8/5	2 4 \| 4/3
elva	12/5.12/5.3/2	2 3 \| 6/5
12	4.4.3/2.3/2.3/2	newiethoff
13	4.3/2.4.3/2.3/2	\| 2 4/3 4/3 (platt näsa)
fjorton	3.4.3.4/3.3.∞	\| 4/3 4 ∞ (snubb)

Självdubbla plattsättningar

Mosaik kan vara självdubbel . En fyrkantig parkett med Schläfli-symbolen {4,4} är självdubbel. Bilden visar två fyrkantiga parketter (röd och svart) dubbla mot varandra.

Se även

Wythoff symbol
Lista över enhetliga plattsättningar
Enhetliga plattsättningar på det hyperboliska planet
Uniform polyeder

Anteckningar

Litteratur

Norman Johnson Uniform Polytopes , Manuscript (1991)
- NW Johnson : Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. Avhandling, University of Toronto, 1966
Grünbaum, Branko , G.C. Shephard. Plattläggning och mönster (obestämd) . — W. H. Freeman and Company, 1987. - ISBN 0-7167-1193-1 . (Stjärnplattor avsnitt 12.3)
HSM Coxeter , MS Longuet-Higgins, JCP Miller, Uniform polyhedra , Phil. Trans. 1954, 246 A, 401–50 JSTOR : [1] (Tabell 8)

Länkar

Weisstein, Eric W. Uniform tessellation (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Uniform Tessellations på Euclid-planet Arkiverad 4 juni 2016 på Wayback Machine
Tessellations of the Plane Arkiverade 24 februari 2020 på Wayback Machine
David Baileys World of Tessellations Arkiverad 2 april 2016 på Wayback Machine
k-uniforma plattsättningar
n-uniform plattsättning Arkiverad 21 maj 2016 på Wayback Machine
Richard Klitzing, 4D, euklidiska plattsättningar Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine

Grundläggande konvexa regelbundna och enhetliga bikakor i utrymmen med dimensionerna 2–10

Familj	${\tilde{A}}_{n-1}$	${\tilde{C}}_{n-1}$	${\tilde{B}}_{n-1}$	${\tilde{D}}_{n-1}$	${\tilde{G}}_2$ / / ${\tilde{F}}_4$ ${\tilde {E}}_{n-1}$
Homogen mosaik	{3 [3] }	δ3 _	hδ 3	qδ 3	Hexagonal
Homogena konvexa bikakor	{3 [4] }	δ4 _	hδ 4	qδ 4
enhetlig femdimensionell bikaka	{3 [5] }	δ5 _	hδ 5	qδ 5	Bikaka med 24 celler
enhetlig sexdimensionell bikaka	{3 [6] }	δ6 _	hδ 6	qδ 6
enhetlig sjudimensionell bikaka	{3 [7] }	δ7 _	hδ 7	qδ 7	222 _
enhetlig åttadimensionell bikaka	{3 [8] }	δ8 _	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
enhetlig niodimensionell bikaka	{3 [9] }	δ9 _	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
Enhetliga n - dimensionella bikakor	{3 [n] }	δn _	hδn _	qδn _	1 k2 • 2 k1 • k 21

geometriska mosaiker

Periodisk

Pythagoras
Rombisk
Schwartz triangel
Rektangulär
- Domino
Femsidig
Homogen mosaik
Honeycombs
- Färgläggning
- Konvex
- Delad mosaik
Platt kristallografisk grupp
Wythoff konstruktion

Aperiodisk

Ammann-Binker
Aperiodisk uppsättning mosaikplattor
- Lista
En brickutmaning
- Sokolara - Taylor
Gilbert
Penrose
pinwheel
Kupolformad
Delande och självklistrade set
- Sfinx
Truche

Övrig

Non- isohedral och isohedral
Arkitektonisk och reflekterande
Circle Limit III
Datorgrafik
honungskakor
Kant transitiv
Paket
Uppgifter
- Skåpbil
- heesh
- kvadrera
Mosaikplattor
- Conways kriterium
- Girih
Regelbunden uppdelning av planet
Vanligt galler
Byten
Voronoi diagram
Foderberg

Genom vertexkonfiguration
_

Sfärisk	2n _ 3 3 n V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _
Korrekt	2∞ _ 3 6 4 4 6 3
halvkorrekt _	3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 .4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6 _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2 .∞ 4.6.12 4,8 2
Hyperbolisk _	3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 3 8 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3.4.6 2.4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3.7) 2 (3.8) 2 3,14 2 3,16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 4 5 4 6 4 7 4 8 4∞ _ (4.5) 2 (4.6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4.7) 2 (4.8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4,14 2 4,16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5,8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6.8) 2 6,8 2 6.10 2 6.12 2 6,16 2 7 3 74 _ 7 7 7,6 2 7,8 2 7.14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8,6 2 8.16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞.6 2 ∞.8 2