Dirichlet skylt

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 november 2018; kontroller kräver 4 redigeringar .

Dirichlet-testet är ett teorem som indikerar tillräckliga villkor för konvergensen av felaktiga integraler och summerbarheten av oändliga serier . Uppkallad efter den tyske matematikern Lejeune Dirichlet .

Dirichlet-testet för konvergens av felaktiga integraler

Betrakta funktioner och definierade på intervallet , , och har en singularitet (av det första eller andra slaget) vid punkten. Låt följande villkor vara uppfyllda: $f$ $g$ $[a; b)$ $a\in {\mathbb {R}}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \))$ $b$

en integral med en övre variabelgräns definieras för alla och begränsas till ; $\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ $x\in[a; b)$ $[a; b)$
funktionen är monoton på och . $g(x)$ $[a; b)$ $\lim _{x\to b-}g(x)=0$

Konvergerar sedan . $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$

Bevis

Betrakta integralen för vissa (utan förlust av allmänhet, kommer vi att anta ). Eftersom den är monoton på , är den integrerbar på den, och därmed integrerbar på som en produkt av integrerbara funktioner. $\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt$ $x_{1},x_{2}\in [a;b)$ ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2))$ $g(t)$ $[x_{1};x_{2}]$ $f(t)g(t)$ $[x_{1};x_{2}]$

$med)$ — integrerbar, — monoton. Villkoren för den andra medelvärdessatsen är uppfyllda och det finns en punkt sådan att $g(t)$ $\xi \in [x_{1};x_{2}]$

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt=g(x_{1})\int \limits _{x_{1} }^{\xi }f(t)\,dt+g(x_{2})\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt

Funktionen är begränsad till , vilket betyder att det finns sådana att , . Sedan: $\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)\,dt$ $[a;b)$ $M\geq 0$ $\left|\int \limits _{x_{1}}^{\xi}f(t)\,dt\right|\leq M$ $\left|\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\right|\leq M$

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\right|=\left|g(x_{1})\ int \limits _{x_{1}}^{\xi}f(t)\,dt+g(x_{2})\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t) \,dt\right|\leq |g(x_{1})|\left|\int \limits _{x_{1}}^{\xi}f(t)\,dt\right|+|g( x_{2})|\left|\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\right|\leq |g(x_{1})|M+|g( x_{2})|M=M(|g(x_{1})|+|g(x_{2})|)

$g(x)$ motoriskt tenderar till noll, därför är den begränsad å ena sidan och å andra sidan . Sedan och $g(a)$ $0$ $|g(x_{2})|\leq |g(x_{1})|$

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\right|\leq 2M|g(x_{1})|

$g(x)\to 0$ , vilket per definition betyder

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\ \forall x\in (\delta ;b)\colon |g(x)|<\varepsilon

Sedan ( ta mindre än eller lika med ) $\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b)$ $x_{1}$ $x_{2}$

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\leq 2M|g(x_{1})|<2M\varepsilon

vilket inte är något annat än Cauchy-kriteriet för konvergensen av en otillbörlig integral.

Tecknet kan också formuleras för fallet när singulariteten är vid punkten . Låt , och definieras på . I det här fallet ändras villkoren enligt följande: $a$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{-\infty \))$ $b\in \mathbb {R}$ $f$ $(a;b]$

integralen med en nedre variabel gräns definieras för alla och begränsas till ; $\int \limits _{x}^{b}f(t)\,dt$ $x \in (a; b]$ $(a;b]$
$g(x)$ är monotont på och . $(a;b]$ $\lim _{x\to a+}g(x)=0$

Konvergerar sedan . $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$

Det är inte heller nödvändigt att . Om , då är konvergensen ekvivalent med konvergensen av . $a<b$ $a>b$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=-\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\, dx$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$ $\int \limits _{b}^{a}f(x)g(x)\,dx$

Om integralen uppfyller villkoren för Dirichlet-kriteriet, är följande uppskattning sann för resten:

|r_{\xi }|=\left|\int \limits _{\xi }^{b}f(t)g(t)\,dt\right|\leq 2M|g(\xi ) |

Här är ett godtyckligt tal från intervallet och är det tal som integralen med den övre variabelgränsen begränsas av. Genom att använda denna uppskattning kan man approximera värdet av den felaktiga integralen med den rätta integralen med vilken som helst förutbestämd noggrannhet. $\xi$ $M$

Dirichlet-kriteriet för konvergens av serier av Abelian-typ

Definition (Abel typ serie)

Serien , där och sekvensen är positiv och monoton (med utgångspunkt från en viss plats, åtminstone i ordets vidaste bemärkelse), kallas en serie av Abeltyp . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}b_{n}$ $|B_{n}|=\left|\summa _{{k=1}}^{n}b_{k}\right|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb{N}$ $\{en}\}$

Teorem (Dirichlet-test för konvergens av serier av Abelian-typ)

Låt följande villkor vara uppfyllda:

Sekvensen av delsummor är begränsad, det vill säga . $B_{n}=\summa _{{k=1}}^{n}b_{k}$ $\exists M>0:|B_{n}|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb{N}$
$a_{n}\geqslant a_{{n+1}}\quad \forall n\in \mathbb{N}$ .
$\lim _{{n\to \infty }}a_{n}=0$ .

Sedan konvergerar serien. $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}b_{n}$

Dirichlet-testet för konvergens av Abelian-serier är analogt med Dirichlet-testet för konvergens av en felaktig integral av det första slaget.
Det är lätt att se att Leibniz-kriteriet för konvergens av alternerande serier är ett specialfall av detta teorem, nämligen:

\sum _{{n=1}}^{\infty }(-1)^{{n+1}}c_{n},\quad c_{n}>0,\;c_{{n+1} }\leqslant c_{n}\quad \forall n\in \mathbb{N} ,\quad \lim _{{n\to \infty }}c_{n}=0;

b_{n}=(-1)^{n+1}\Rightarrow |B_{n}|=\left|\summa _{k=1}^{n}(-1)^{k+ 1 }\right|\leqslant 1\quad \forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow

konvergens av Leibniz-serien baserad på Dirichlet-testet.

Uppskattning av återstoden av en serie av Abelisk typ
Betrakta serien och låt villkoren för Dirichlet-kriteriet vara uppfyllda. Därefter sker följande uppskattning: . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}b_{n}$ $|r_{n}|=\left|\summa _{{k=n+1}}^{\infty }a_{k}b_{k}\right|\leqslant 2Ma_{{n+1}}\quad \forall n\in \mathbb{N}$
Beviset för Dirichlet-kriteriet följer av Abelförvandlingen .

Dirichlet-kriteriet för enhetlig konvergens av en felaktig integral med parametern

Låt funktionen och definieras på mängden , , och det antas att integralen för vissa punkter har en singularitet vid punkten . Låt följande villkor vara uppfyllda: $f$ $g$ $[a;b)\ gånger Y$ $a\in {\mathbb {R}}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \))$ $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx$ $y\i Y$ $b$

integralen med en övre variabelgräns är definierad för alla och enhetligt avgränsad på ; $\int \limits _{a}^{x}f(t,y)\,dt$ $x\in[a; b)$ $y\i Y$ $[a;b)\ gånger Y$
funktionen är monoton i på för varje betong och för . $g(x,y)$ $x$ $[a; b)$ $y\i Y$ $g(x,y)\rightrightarrows 0$ $x\to b-$

Konvergerar sedan enhetligt. $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)g(x,y)\,dx$

Bevis

Beviset är nästan identiskt med fallet med en integral utan parameter. Vi fixar och betraktar vidare funktionerna och som funktioner för en variabel . För dem gör vi allt på samma sätt som i beviset för integraler utan en parameter, förutom att vi tar likadant för alla (detta kan göras genom fullständig begränsning). Komma till $y\i Y$ $f(x,y)$ $g(x,y)$ $x$ $M$ $y\i Y$

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t,y)g(t,y)\,dt\right|\leq 2M|g(x_{ 1},y)|

$g(x,y)$ tenderar jämnt till noll. Vi skriver definitionen av enhetlig konvergens:

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \i [a;b)\ \forall x\in (\delta ;b)\forall y\in Y\colon |g(x,y)|< \varepsilon

Sedan $\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b),x_{1}<x_{2},\forall y\in Y$

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t,y)g(t,y)\,dt\leq 2M|g(x_{1},y)| <2M\varepsilon

Vi kom fram till Cauchy-kriteriet för enhetlig konvergens av en felaktig integral med en parameter.

Se även

Abel tecken

Litteratur

A. K. Boyarchuk "Funktioner av en komplex variabel: teori och praktik" Referensbok om högre matematik. T.4 M.: Redaktionell URSS, 2001. - 352s.

Tecken på konvergens av serier
För alla rader	Nödvändigt skick Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
För tecken-positiva serier	Huvudkriteriet Jämförelse tecken Kummer tecken Gauss tecken Cauchys radikala tecken Integrerad funktion D'Alemberts tecken makt tecken logaritmiskt tecken Tecken på Raabe Bertrand skylt Tecken på Jamet Tecken på Schlömilch Tecken på Ermakov Lobatsjovskijs tecken teleskopskylt Tecken på Sapogov
För alternerande serier	Leibniz tecken
För rader i formuläret $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tecken Dedekinds tecken Dubois-Reymond skylt Dirichlet skylt
För funktionella serier	Weierstrass tecken
För Fourier-serien	Dini tecken Tecken på de la Vallée Poussin Jordan tecken Jung tecken Salem tecken Lebesgue tecken Lebesgue-Gergen tecken Martsinkevichs tecken