Bernoulli distribution

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 oktober 2021; kontroller kräver 4 redigeringar .

Bernoulli distribution
Sannolikhetsfunktion
distributionsfunktion
alternativ	$p\in(0,1)$ $q\equiv 1-s$
Bärare	$k=\{0,1\}$
Sannolikhetsfunktion	${\begin{matrix}q&k=0\\p~~&k=1\end{matrix}}$
distributionsfunktion	${\begin{matrix}0&k<0\\q&0\leq k<1\\1&k\geq 1\end{matris))$
Förväntat värde	$sid$
Mode	${\begin{cases}0,&q>p\\0,1,&q=p\\1,&q<p\end{cases}}$
Dispersion	$pq$
Asymmetrikoefficient	${\frac {qp}{{\sqrt {pq))))$
Kurtos koefficient	${\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)))$
Differentialentropi	$-q\ln qp\ln p$
Genererande funktion av moment	$q+pe^{t}$
karakteristisk funktion	$q+pe^{it}$

Bernoulli-fördelningen i sannolikhetsteori och matematisk statistik är en diskret sannolikhetsfördelning som modellerar ett slumpmässigt experiment av godtycklig karaktär, med en förutbestämd sannolikhet för framgång eller misslyckande.

Definition

En slumpvariabel har en Bernoulli-fördelning om den bara tar två värden: och med sannolikheter respektive . På det här sättet: $X$ $ett$ $0$ $sid$ $q\equiv 1-s$

{\mathbb {P}}(X=1)=p

{\mathbb {P}}(X=0)=q

Det är brukligt att säga att en händelse motsvarar "framgång" och en händelse motsvarar "misslyckande". Dessa namn är villkorade, och beroende på den specifika uppgiften kan de ersättas med motsatta. $\{X=1\}$ $\{X=0\}$

Egenskaper

Begränsa egenskap

Gränsegenskapen beskrivs av Poissons teorem :

Låt det finnas en sekvens av serier av Bernoulli-försök, där är sannolikheten för "framgång", är antalet "framgångar". $p_n$ $\mu _{n}$

Sedan om

$\lim _{{n\to \infty }}p_{n}=0;$
$\lim _{{n\to \infty }}np_{n}=\lambda ;$
$\lambda >0,$

sedan

\lim _{{n\to \infty }}P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{{-\lambda }}{\cfrac {\lambda ^{m} }{m!}}.

Moments of the Bernoulli distribution

{\mathbb {E}}[X]=s

\operatörsnamn {D}[X]=p(1-p)=pq

, eftersom: .

\operatörsnamn {E} X^{2}-\left(\operatörsnamn {E} X\right)^{2}=pp^{2}=p\cdot (1-p)=pq

I allmänhet är det lätt att se det

\mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\Pr(X=1)\cdot 1^{n}+\Pr(X=0)\cdot 0^{n}= p\cdot 1^{n}+q\cdot 0^{n}=p=\mathbb {E} [X],\forall n\in \mathbb {N}

Notera

Om de oberoende slumpmässiga variablerna , har en Bernoulli-fördelning med sannolikhet för framgång , då $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $sid$

Y=\summa \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}

har en binomialfördelning med frihetsgrader. $n$

Se även

Spelaren förstör problem#Bernoulli-schema .

Litteratur

Hazewinkel, Michiel, red. (2001), "Binomial distribution", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Sannolikhetsfördelningar
Diskret	Bernoulli Binom Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerligt	Beta Weibulla Gamma- hyperexponentiell Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussian) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformig kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerande Tracey - Vidoma Fiskare Chi-kvadrat Exponentiell Varians-gamma Multivariat normal kopula