Rayleigh distribution

Rayleigh distribution
Sannolikhetstäthet
distributionsfunktion
alternativ	$\sigma >0$
Bärare	$x\in [0;\infty )$
Sannolikhetstäthet	${\frac {x}{{{\sigma }^{{2))))}\exp \left(-{\frac {{{x}^{{2)))){2{{\sigma } ^{{2}}}}}\höger)$
distributionsfunktion	$1-\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
Förväntat värde	${\sqrt {{\frac {\pi }{2))))\sigma$
Median	$\sigma {\sqrt {\ln(4)))$
Mode	$\sigma$
Dispersion	$\left(2-\pi /2\right){{\sigma }^{{2}}}$
Asymmetrikoefficient	${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{{3/2)))))$
Kurtos koefficient	$-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}$
Differentialentropi	$1+\ln \left({\frac {\sigma }{{\sqrt {2))))\right)+{\frac {\gamma }{2))$
Genererande funktion av moment	$1+\sigma t\,e^{{\sigma ^{2}t^{2}/2}}{\sqrt {{\frac {\pi }{2}}}}\left({\textrm { erf}}\left({\frac {\sigma t}{{\sqrt {2}}}}\right)\!+\!1\right)$
karakteristisk funktion	$1\!-\!\sigma te^{{-\sigma ^{2}t^{2}/2}}{\sqrt {{\frac {\pi }{2))))\!\left( {\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{{\sqrt {2}}}}\right)\!-\!i\right)$

Rayleigh- fördelningen är sannolikhetsfördelningen för en slumpvariabel med en densitet $\displaystyle X$

f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2} }}\right),x\geqslant 0,\sigma >0,

var är skalparametern. Motsvarande distributionsfunktion har formen $\displaystyle \sigma$

{\mathsf P}(X\leqslant x)=\int \limits _{0}^{x}f(\xi )\,d\xi =1-\exp \left(-{\frac {x^{ 2}}{2\sigma ^{2}}}\right),x\geqslant 0.

Infördes för första gången 1880 av John William Strutt (Lord Rayleigh) i samband med problemet med att lägga till harmoniska svängningar med slumpmässiga faser.

Applikation

I uppgifter om att skjuta vapen. Om avvikelser från målet för två inbördes vinkelräta riktningar är normalfördelade och okorrelerade, sammanfaller målkoordinaterna med origo, då, betecknar spridningen längs axlarna som och , får vi ett uttryck för missvärdet i formen . I detta fall har kvantiteten en Rayleigh-fördelning. $X$ $Y$ $R={\sqrt {{{X}^{{2}}}+{{Y}^{{2}}}}}$ $R$
I radioteknik för att beskriva amplitudfluktuationerna för en radiosignal.

Relation med andra distributioner

Om och är oberoende gaussiska slumpvariabler med noll matematiska förväntningar och lika varianser , då har slumpvariabeln en Rayleigh-fördelning. ${X}$ ${Y}$ ${{\sigma }^{{2))}$ $Z={\sqrt {{{X}^{{2}}}+{{Y}^{{2}}}}}$
Om oberoende Gaussiska slumpvariabler och har matematiska förväntningar som inte är noll, som i allmänhet är ojämlika, blir Rayleigh-fördelningen Rice-fördelningen . ${X}$ ${Y}$
Täthetsfördelningen av kvadraten av Rayleigh-kvantiteten c har en chi-kvadratfördelning med två frihetsgrader. ${\sigma =1}$
Rayleigh-fördelningen, genom förändring av variabel, reduceras till gammafördelningen .

Se även

Litteratur

Perov, AI Statistical Theory of Radio Engineering Systems. - M . : Radioteknik, 2003. - 400 sid. — ISBN 5-93108-047-3 .

Sannolikhetsfördelningar
Diskret	Bernoulli Binom Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerligt	Beta Weibulla Gamma- hyperexponentiell Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussian) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformig kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerande Tracey - Vidoma Fiskare Chi-kvadrat Exponentiell Varians-gamma Multivariat normal kopula