Kaluza-Klein teori

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 april 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Kaluza-Klein-teorin är en av de multidimensionella teorierna om gravitation , som låter dig kombinera två grundläggande fysiska interaktioner: gravitation och elektromagnetism . Teorin publicerades första gången 1921 av den tyske matematikern Theodor Kaluza , som utökade Minkowski-rymden till 5-dimensionell rymd och härledde från ekvationerna i hans teori ekvationerna för allmän relativitet och Maxwells klassiska ekvationer . Skälet till att den femte dimensionen (dess kompakthet) inte kunde observeras föreslogs av den svenske fysikern Oscar Klein 1926 [1] .

Denna teori var en av de första framgångsrika teorierna som lade grunden för den geometriska tolkningen av mätfält (nämligen den enda välkända vid tiden för dess skapelse, förutom gravitationen, det elektromagnetiska fältet). Det var också den första framgångsrika föreningsteorin , som, även om den inte ledde till experimentellt bekräftade upptäckter, var en internt konsekvent och ideologiskt meningsfull teori som inte motsade experiment.

Den ursprungliga versionen av teorin inkluderade inte andra grundläggande interaktioner (starka och svaga) som inte var kända vid den tiden, och det fanns heller inget utrymme för partiklar med halvheltalsspin. Men idén om flerdimensionella unified field-teorier med kompakterade komplementära utrymmen har funnit tillämpning i moderna teorier om supersymmetri , supergravitation och supersträngar [2] .

Historik

Det geometriska tillvägagångssättet i fysiken lades av R. Descartes , I. Kant och G. Galileo . Länge kunde begreppet rymdkrökning inte uppstå inom vetenskapen på grund av dominansen av idéer om rums och tids homogenitet, som byggde på Euklids femte axiom och sammanföll med vardagsupplevelsen [3] . Förkastandet av axiomet för parallellism av raka linjer ledde N. I. Lobachevsky till upptäckten av en ny (icke-euklidisk) geometri i ett utrymme med negativ krökning . B. Riemann upptäckte en annan typ av icke-euklidisk geometri med positiv krökning , när det inte finns en enda parallell linje parallell med den givna (geodesiska linjer) som passerar genom någon punkt som inte ligger på denna linje [4] . Riemanns sfäriska geometri beskriver världen med en ändlig volym. W. Clifford förutspådde några konsekvenser av sfärisk geometri, övervägde idéer om världen av en skalbagge som kryper på en sfär och ställde en fråga om vårt universums geometri och dess samband med fysik:

Låt oss fråga oss om vi inte på samma sätt kan betrakta de handlingar som i själva verket har sitt ursprung på förändringar i krökningen av vårt rum som en förändring av den fysiska karaktären. Kommer det inte att visa sig att alla eller några av orsakerna som vi kallar fysiska härrör från den geometriska strukturen i vårt utrymme? [5]

Cliffords väsentliga antagande var sambandet mellan det elektriska fältet och rymdens geometri [6] . Men forskare som är engagerade i sökandet efter en geometrisk beskrivning av världen kunde inte komma till konstruktionen av en allmän relativitetsteori före införandet av tid som en av koordinaterna för vårt rum, vilket främjades i verk av H. Lorentz , A. Einstein , G. Minkowski [7] . År 1913 föreslog M. Grossman och A. Einstein att gravitationsinteraktionen beror på krökningen av den 4-dimensionella rum-tiden. Vid årsskiftet 1915 och 1916, nästan samtidigt, dök ekvationer för gravitationsfältet upp i verk av A. Einstein och D. Hilbert [8] .

Teoretisk fysik beskriver världen genom matematik, försöker hitta universalitet i dess lagar. Newton märkte att gravitationen som verkar på ett äpple är samma gravitation som styr himlakropparnas rörelse. Idag är fyra grundläggande interaktioner kända, och modern teori överväger möjligheten att beskriva alla interaktioner på ett enhetligt sätt genom att åberopa högre dimensioner [9] . I detta sammanhang är kvantfältteori i femdimensionellt rum (5D) en naturlig förlängning av Einsteins allmänna relativitetsteori (GR) [10] .

Gunnar Nordström försökte först kombinera gravitationsteorin med elektromagnetism, med åberopande av den femte dimensionen, 1914. Men i det här fallet lades den femte komponenten till den elektromagnetiska vektorpotentialen, som är den Newtonska gravitationspotentialen, eftersom hans teori dök upp tidigare än den allmänna relativitetsteorin, och han antog inte gravitationspotentialens tensorkaraktär [11] , och tillät skriva Maxwells ekvationer i fem dimensioner [12 ] [13] .

Utvecklingen av den femdimensionella (5D) teorin är uppdelad i tre steg. Den ursprungliga gissningen beror på Theodor Kaluza , som skickade sina resultat till Einstein 1919 [14] och publicerade dem 1921 [15] . Kaluza presenterade en rent klassisk 5D-förlängning av generell relativitetsteori med en metrisk tensor på 15 komponenter. 10 komponenter identifieras med ett fyrdimensionellt rum-tidsmått, fyra komponenter med en elektromagnetisk vektorpotential och en komponent med ett oidentifierat skalärfält , vilket Kaluza inte ansåg, ibland kallat " radion " eller "dilaton". Följaktligen ger 5D Einstein-ekvationerna 4D Einstein-ekvationerna för fältet , Maxwells ekvationer för det elektromagnetiska fältet och ekvationen för det skalära fältet. Kaluza introducerade också hypotesen "cylindriskt tillstånd", enligt vilken ingen av komponenterna i den femdimensionella metriken är explicit beroende av den femte koordinaten. Utan detta antagande dyker det upp termer som inkluderar derivator av fälten med avseende på den femte koordinaten, vilka, liksom det skalära fältet, inte observeras i experiment. Denna ytterligare frihetsgrad är sådan att femte-koordinatfältsekvationerna blir otroligt komplexa. Standardfysik i 4D dyker upp när ett cylindriskt villkor införs, och motsvarande matematik antar en enklare form [16] .

År 1926 gav Oskar Klein den klassiska femdimensionella Kaluza-teorin en kvanttolkning i enlighet med upptäckterna av Heisenberg och Schrödinger [17] [18] . Klein antog att den femte dimensionen är ihoprullad och mikroskopisk för att förklara det cylindriska tillståndet, och cyklisk rörelse i den femte dimensionen kan naturligtvis förklara kvantiseringen av elektronladdningen [19] . Klein föreslog att geometrin för den extra femte dimensionen kunde vara cirkulär med en radie på 10–30 cm . Klein bidrog också till klassisk teori genom att tillhandahålla en korrekt normaliserad 5D-metrik [18] . Arbetet med Kaluza-fältteorin fortsatte in på 1930-talet av Einstein och hans kollegor vid Princeton [20] .

Den ursprungliga Kaluza-Klein-teorin anses vara felaktig av flera skäl. I synnerhet leder kompakteringen av den femte dimensionen till slutsatsen att partiklarna som kommer att dominera världen måste ha Planckmassor, vilket inte observeras i experimentet. Detta problem är känt som masshierarkiproblemet . Att ignorera det skalära fältet i Calucei lämnar heller inget sätt att förklara närvaron av mörk energi i vårt universum [19] . Enligt Einstein utesluter också det cylindriska tillståndet, som är orsaken till uppkomsten av massor, den geometriska tolkningen av massor [21] .

På 1940-talet fullbordades den klassiska teorin och de fullständiga fältekvationerna, inklusive skalärfältet, erhölls av tre oberoende forskargrupper [22] : Thiry [23] [24] [25] , arbetande i Frankrike på en avhandling under Lichnerovich ; Jordan, Ludwig och Müller i Tyskland [26] [27] [28] [29] [30] , med kritiska bidrag från Pauli och Fierz; och Scherrer [31] [32] [33] som arbetade ensam i Schweiz. Jordans arbete ledde till Brans-Dickes skalärtensorteorin [34] ; Bruns och Dike kände uppenbarligen inte till Tiri och Scherrer. De kompletta Kaluza-ekvationerna med det cylindriska tillståndet är ganska komplexa, och de flesta engelskspråkiga recensionerna, liksom Thirys engelska översättningar, innehåller några fel. Krökningstensorerna för de kompletta Kaluza-ekvationerna beräknades med hjälp av tensoralgebra-datorsystemet 2015 [35] , genom att kontrollera resultaten från Ferrari [36] och Coquero och Esposito-Farese [37] . Den 5D-kovarianta formen av källan (energimomentumtensor) övervägdes av Williams [38] .

Kaluzas hypotes

I sin uppsats från 1921 [15] använde Kaluza alla beståndsdelar i klassisk femdimensionell teori: metriken, fältekvationer, rörelseekvationer, energi-momentum-tensorn och det cylindriska tillståndet. Utan att använda fria parametrar utvidgade han den allmänna relativitetsteorien till fem dimensioner.

Låt oss börja med en hypotes om formen på den femdimensionella metriken. , där latinska index täcker fem dimensioner. Vi introducerar också ett fyrdimensionellt rum-tidsmått , där de grekiska indexen täcker de vanliga fyra dimensionerna av rum och tid; 4-vektorn identifieras med den elektromagnetiska vektorpotentialen; och skalärt fält [39] . Sedan delar vi 5D-metriken så att 4D-metriken ramas in av en elektromagnetisk vektorpotential med ett skalärt fält vid den femte positionen på diagonalen. Detta kan representeras som: ${\widetilde {g}}_{ab}$ ${\displaystyle {g}_{\mu \nu ))$ ${\displaystyle A^{\mu ))$ $\phi$

{\widetilde {g}}_{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu }&\phi ^ {2}A_{\mu }\\\phi ^{2}A_{\nu}&\phi ^{2}\end{bmatrix}}\,.

Mer exakt kan man skriva

{\widetilde {g}}_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu}+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu},\qquad {\widetilde { g))_{5\nu }\equiv {\widetilde {g))_{\nu 5}\equiv \phi ^{2}A_{\nu },\qquad {\widetilde {g))_{55 }\equiv \phi ^{2}\,,

där indexet anger den femte koordinaten enligt konvention, medan de första fyra koordinaterna har indexen 0, 1, 2 och 3. Motsvarande inversa måttenhet är $5$

{\widetilde {g}}^{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g^{\mu \nu }&-A^{\mu }\\-A^{\nu }&g_{\ alpha \beta }A^{\alpha }A^{\beta }+{1 \over \phi ^{2}}\end{bmatrix}}\,.

Denna expansion är ganska generell och alla termer är dimensionslösa. Kaluza tillämpar sedan apparaten för standard allmän relativitet på detta mått . Fältekvationerna härleds från de femdimensionella Einstein-ekvationerna , medan rörelseekvationerna härleds från den femdimensionella geodesiska hypotesen. De resulterande fältekvationerna ger både allmänna relativitetstekvationer och elektrodynamiska ekvationer; rörelseekvationerna ger den fyrdimensionella ekvationen för geodetiken och lagen för Lorentzkraften [40] , och det visar sig att den elektriska laddningen identifieras med rörelse i den femte dimensionen.

Den metriska hypotesen antyder att det finns ett invariant femdimensionellt längdelement [39] : $\operatörsnamn {d} \!s$

\operatörsnamn {d} \!s^{2}\equiv {\widetilde {g}}_{ab}\operatörsnamn {d} \!x^{a}\operatörsnamn {d} \!x^{ b}=g_{\mu \nu }dx^{\mu}\operatörsnamn {d} \!x^{\nu}+\phi ^{2}\left(A_{\nu}\operatörsnamn {d} \ !x^{\nu}+\operatörsnamn {d} \!x^{5}\right)^{2}\,.

Fältekvationer från Kaluzas gissning

Fältekvationerna i 5D-teorin definierades aldrig korrekt av Kaluza eller Klein eftersom de ignorerade det skalära fältet. Härledningen av de kompletta Kaluza-fältekvationerna tillskrivs vanligtvis Thiry [24] som fick fältekvationerna i ett vakuum. Kaluza [15] skrev ursprungligen ut energimomentumtensorn för sin teori, och Thiry inkluderade energimomentumtensorn i sin avhandling. Men, som Gonner [22] beskrev , arbetade flera oberoende grupper med fältekvationer på 1940-talet och tidigare. Thiry är kanske mest känd bara för att Applequist, Chodos och Freund publicerade en engelsk översättning av hans arbete i sin recensionsbok [41] . Applequist et al publicerade också en engelsk översättning av Kaluzas artikel. Jordans verk har inte översatts till engelska [26] [27] [29] . De första korrekta Kaluza-fältekvationerna på engelska, inklusive det skalära fältet, erhölls av Williams [35] .

För att erhålla 5D-fältekvationerna beräknas 5D Christoffel-anslutningssymbolerna från 5D-metriken och 5D Ricci-tensorn beräknas från 5D Christoffel-anslutningssymbolerna. ${\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}$ ${\widetilde {g}}_{ab}$ ${\widetilde {R}}_{ab}$

De klassiska resultaten av Thiry och andra författare erhölls med det cylindriska tillståndet:

{\partial {\widetilde {g}}_{ab} \over \partial x^{5}}=0

Utan detta antagande blir fältekvationerna mycket mer komplexa, vilket leder till många fler frihetsgrader som kan identifieras med olika nya fält. Paul Wesson och hans kollegor försökte försvaga det cylindriska tillståndet för att erhålla ytterligare termer som kan identifieras med materiefält [42] , för vilka Kaluza [15] manuellt infogade energimoment-tensorn.

Invändningen mot Kaluzas ursprungliga idé var att använda den femte dimensionen, men utan dess dynamik. Thiry hävdade emellertid [22] att tolkandet av lagen för Lorentz-kraften i termer av en 5-dimensionell geodetisk starkt motsäger existensen av en femte dimension, oavsett det cylindriska tillståndet. Därför använde de flesta författare det cylindriska tillståndet när de härledde fältekvationerna. Dessutom antas vanligtvis vakuumekvationer för vilka

{\widetilde {R}}_{ab}=0

var

{\widetilde {R}}_{ab}\equiv \partial _{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{c}-\partial _{b}{\widetilde {\ Gamma }}_{ca}^{c}+{\widetilde {\Gamma }}_{cd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{d}-{\widetilde {\ Gamma }}_{bd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ac}^{d}

och

{\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}\equiv {1 \over 2}{\widetilde {g}}^{ad}\left(\partial _{b}{\widetilde {g}}_{dc}+\partial _{c}{\widetilde {g}}_{db}-\partial _{d}{\widetilde {g}}_{bc}\right)

Vakuumfältsekvationerna erhållna på detta sätt av Thiry [24] och Jordans grupp [26] [27] [29] skrivs nedan.

Fältekvationen för erhålls från $A^{\nu }$

{\widetilde {R}}_{55}=0\Rightarrow \Box \phi ={1 \over 4}\phi ^{3}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }

där , , och är den vanliga fyrdimensionella kovariansderivatan. Ekvationen visar att det elektromagnetiska fältet är källan till det skalära fältet. Observera att det skalära fältet inte kan antas vara konstant utan att pålägga det elektromagnetiska fältet en lämplig begränsning. Tidigare tolkningar av Kaluza och Klein beskrev inte det skalära fältet på ett tillfredsställande sätt och tog inte hänsyn till den resulterande begränsningen för det elektromagnetiska fältet, med antagande av ett konstant skalärfält. ${\displaystyle F_{\alpha \beta }\equiv \partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha ))$ ${\displaystyle \Box \equiv g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu ))$ ${\displaystyle \nabla _{\mu ))$

Fältekvationen för den fyrdimensionella Ricci-tensorn erhålls från $R_{\mu \nu }$

{\widetilde {R}}_{5\alpha }=0={1 \över 2}g^{\beta \mu }\nabla _{\mu }\left(\phi ^{3}F_ {\alpha \beta }\right)

Om det skalära fältet är konstant har det formen av Maxwells vakuumekvationer.

{\begin{aligned}{\widetilde {R}}_{\mu \nu}-{1 \över 2}{\widetilde {g}}_{\mu \nu }{\widetilde {R} }&=0\Rightarrow \\R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R&={1 \over 2}\phi ^{2}\left(g^{\ alpha \beta }F_{\mu \alpha }F_{\nu \beta }-{1 \över 4}g_{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right) +{1 \over \phi }\left(\nabla _{\mu }\nabla _{\nu}\phi -g_{\mu \nu }\Box \phi \right)\end{aligned))

var är standard 4D Ricci-skalären. $R$

Ett anmärkningsvärt resultat följer av denna ekvation, kallad av A. Salam "miraklet av Kaluza" [43] – den exakta formen av energimoment-tensorn för det elektromagnetiska fältet uppstår från 5D vakuumekvationer som en källa i 4D-ekvationer – fältet från vakuum. Ett annat mirakel involverar förklaringen av mätinvarians [44] . Formen av det elektromagnetiska fältets energimoment-tensor gör att vi äntligen kan identifiera det med den elektromagnetiska vektorpotentialen. För att göra detta måste fältet skalas med hjälp av transformationskonstanten : . Ovanstående relation visar att konstanten bör vara av formen ${\displaystyle A^{\mu ))$ $k$ ${\displaystyle A^{\mu}\högerpil kA^{\mu ))$

{k^{2} \over 2}={8\pi G \over c^{4}}{1 \over \mu _{0}}={2G \over c^{2}}{ 4\pi \epsilon _{0}}

var är gravitationskonstanten och är den magnetiska permeabiliteten för fritt utrymme . I Kaluzas teori kan gravitationskonstanten förstås som en elektromagnetisk kopplingskonstant i en metrik. Det finns också en energimomentumtensor för ett skalärt fält. Det skalära fältet beter sig som en variabel gravitationskonstant när det gäller att modulera kopplingen mellan energi-moment-tensorn i det elektromagnetiska fältet med krökningen av rum-tid. Tecknet i metriken är fixerad i enlighet med 4D-teorin, så att de elektromagnetiska energitätheterna är positiva. Det antas ofta att den femte koordinaten är mellanrumsliknande i sin signatur i metriken. $G$ $\mu_{0}$ $\phi ^{2}$

I närvaro av materia bryts 5D-vakuumvillkoret. Kaluza förväntade sig faktiskt inte detta. De fullständiga fältekvationerna kräver beräkning av 5D Einstein-tensorn

{\widetilde {G}}_{ab}\equiv {\widetilde {R}}_{ab}-{1 \över 2}{\widetilde {g}}_{ab}{\widetilde {R }}

som ses från rekonstruktionen av energimoment-tensorn i det elektromagnetiska fältet ovan. 5D-kurvaturtensorer är komplexa, och de flesta engelskspråkiga recensioner innehåller fel antingen i eller samma som deras engelska översättningar [24] . Se Williams [35] för en komplett uppsättning 5D-kurvaturtensorer med ett cylindriskt tillstånd beräknat med ett tensoralgebraprogram. ${\widetilde {G}}_{ab}$ ${\widetilde {R}}_{ab}$

Rörelseekvationer från Kaluzas hypotes

Rörelseekvationerna härleds från den femdimensionella geodesiska hypotesen [15] i termer av 5-hastigheten : ${\widetilde {U}}^{a}\equiv dx^{a}/ds$

{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {\nabla }}_{b}{\widetilde {U}}^{a}={d{\widetilde {U}}^{a } \over ds}+{\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}=0

Denna ekvation kan transformeras på flera sätt och har studerats i olika former av författare inklusive Kaluza [15] , Pauli [45] , Gross och Perry [46] , Hegenberg och Kunstatter [47] och Wesson och Ponce de Leon [48 ] . men för en bättre förståelse är det användbart att konvertera det tillbaka till det vanliga 4-dimensionella längdelementet , som är relaterat till det 5-dimensionella längdelementet , enligt ovan: ${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}\equiv g_{\mu \nu}dx^{\mu }dx^{\nu ))$ $ds$

ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}+\phi ^{2}\left(kA_{\nu}dx^{\nu}+dx^{5}\right )^{2}

Sedan kan den geodetiska 5D-ekvationen skrivas [49] för de spatiotemporala komponenterna av 4-hastigheten,

{\begin{aligned}&U^{\nu}\equiv {dx^{\nu} \over d\tau }\\&{dU^{\nu } \over d\tau }+{\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }U^{\alpha }U^{\beta }+2{\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu } U^{\alpha }U^{5}+{\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }\left(U^{5}\right)^{2}+U^{\mu }{d \over d\tau }\ln \left({cd\tau \over ds}\right)=0\end{aligned}}

En term kvadratisk i , resulterar i en geodetisk 4D-ekvation plus några elektromagnetiska termer: ${\displaystyle U^{\nu))$

{\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }=\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{1 \over 2}g^{\mu \nu }k^{2}\phi ^{2}\left(A_{\alpha }F_{\beta \nu }+A_{\beta }F_{\alpha \nu}-A_{\alpha }A_{ \beta }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}\right)

Termen, linjär i , leder till lagen för Lorentz-kraften : ${\displaystyle U^{\nu))$

{\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu }={1 \över 2}g^{\mu \nu }k\phi ^{2}\left(F_{\ alpha \nu }-A_{\alpha }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}\right)

Detta är ytterligare ett uttryck för "miraklet av Kaluza". Samma hypotes för 5D-metriken som producerar det elektromagnetiska fältets energi-momentum-tensor i Einstein-ekvationerna ger också Lorentz-kraftlagen i rörelseekvationen tillsammans med den geodetiska 4D-ekvationen. Emellertid kräver överensstämmelse med Lorentz kraftlag att 5-hastighetskomponenten längs den femte dimensionen identifieras med den elektriska laddningen:

kU^{5}=k{\frac {dx^{5}}{d\tau }}\högerpil {q \over mc}

var är partikelns massa och är partikelns elektriska laddning. Således förstås elektrisk laddning som rörelse längs den femte dimensionen. Det faktum att Lorentz kraftlag kan förstås som en geodetisk i 5 dimensioner var Kaluzas främsta motiv för att överväga den 5-dimensionella hypotesen även i närvaro av det estetiskt obehagliga cylindriska tillståndet. $m$ $q$

Men det finns ett problem: termen, som är kvadratisk i , leder till ekvationen $U^{5}$

{\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }=-{1 \över 2}g^{\mu \alpha }\partial _{\alpha }\phi ^{2))

Om det inte finns någon gradient i det skalära fältet försvinner termen kvadratisk in. Men i övrigt följer det av uttrycket ovan $U^{5}$

{\displaystyle U^{5}\sim c{q/m \over G^{\frac {1}{2))))

För elementarpartiklar . Termen kvadratisk in måste dominera i ekvationen, möjligen i motsats till de experimentella fakta. Detta var den största bristen i den 5-dimensionella teorin som Kaluza såg [15] , som han ansåg i sin ursprungliga uppsats. Yu. S. Vladimirov lyfter fram följande brister i teorin: den fysiska innebörden av den femte komponenten och -komponenten i den metriska tensorn är inte klar; orsaken till det cylindriska tillståndet är inte klart; en sådan förening är formell och ger inte nya experimentellt verifierbara förutsägelser och andra [50] . $U^{5}>{\rm {10}}^{20}c$ $U^{5}$ $G_{55}$

Rörelseekvationen för är särskilt förenklad under det cylindriska tillståndet. Låt oss börja med en alternativ form av den geodetiska ekvationen skriven för en kovariant 5-hastighet: $U^{5}$

{d{\widetilde {U}}_{a} \over ds}={1 \over 2}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}{ \partial {\widetilde {g}}_{bc} \over \partial x^{a}}

Detta betyder att, med hänsyn till det cylindriska tillståndet , är konstanten för 5-dimensionell rörelse: ${\widetilde {U}}_{5}$

{\widetilde {U}}_{5}={\widetilde {g}}_{5a}{\widetilde {U}}^{a}=\phi ^{2}{cd\tau \over ds}\left(kA_{\nu}U^{\nu}+U^{5}\right)={\rm {konstant))

Kaluzas hypotes om materiens energi-momentum-tensor

Kaluza [15] föreslog att använda 5D materia energi-momentum tensor i formen ${\widetilde {T}}_{M}^{ab}$

{\widetilde {T}}_{M}^{ab}=\rho {dx^{a} \over ds}{dx^{b} \over ds}

var är densiteten och längdelementet definierat ovan. $\rho$ $ds$

Då ger rum-tidskomponenten en typisk energi-momentumtensor för dammig materia :

{\widetilde {T}}_{M}^{\mu \nu }=\rho {dx^{\mu } \over ds}{dx^{\nu } \over ds}

Den blandade delen fungerar som en 4-strömkälla för Maxwells ekvationer:

{\widetilde {T}}_{M}^{5\mu }=\rho {dx^{\mu } \over ds}{dx^{5} \over ds}=\rho U^{ \mu }{q \over kmc}

Precis som ett femdimensionellt mått inkluderar ett 4-dimensionellt mått inramat av en elektromagnetisk vektorpotential, inkluderar en 5-dimensionell energi-moment-tensor en 4-dimensionell energi-momentum-tensor inramad av en vektor 4-ström.

Kleins kvanttolkning

Kaluzas ursprungliga hypotes var rent klassisk och utökad generell relativitetsteori. Vid tiden för Kleins bidrag väckte upptäckterna av Heisenberg, Schrödinger och de Broglie stor uppmärksamhet. Kleins artikel i Nature [18] föreslår att den femte dimensionen är sluten och periodisk, och att identifieringen av elektrisk laddning med rörelse i den femte dimensionen kan tolkas som stående vågor med en våglängd som liknar elektroner runt en kärna i Bohr-modellen av en atom. Då kunde kvantiseringen av elektrisk laddning väl förstås i termer av heltalsmultiplar av det femdimensionella momentet. Genom att kombinera Kaluzas tidigare resultat för i termer av elektrisk laddning och de Broglies momentumrelation , härledde Klein ett uttryck för det 0:e läget för sådana vågor: $\lambda ^{5}$ $U^{5}$ $p^{5}=h/\lambda ^{5}$

mU^{5}={cq \over G^{\frac {1}{2}}}={h \over \lambda ^{5}}\quad \Rightarrow \quad \lambda ^{5} \sim {hG^{\frac {1}{2}} \over cq}

var är Plancks konstant. Klein hittade cm, och därmed en förklaring till det cylindriska tillståndet vid ett så litet värde. $h$ $\lambda ^{5}\sim {\rm {10}}^{-30}$

Kleins artikel i Zeitschrift für Physik samma år [17] ger en mer detaljerad diskussion, som uttryckligen använder Schrödinger och de Broglies metoder. Hon återgav mycket av Kaluzas klassiska teori som beskrivs ovan och gick sedan vidare till Kleins kvanttolkning. Klein löste en vågekvation som liknar Schrödingers med hjälp av en expansion i termer av femdimensionella vågor som resonerar i en sluten, kompakt femte dimension.

Tolkning av gruppteori

1926 föreslog Oskar Klein att den fjärde rumsliga dimensionen är inlindad i en cirkel med en mycket liten radie , så att en partikel som rör sig en liten sträcka längs denna axel kommer att återvända till startpunkten. Avståndet som en partikel kan färdas innan den når sin ursprungliga position kallas storleken på dimensionen. Denna extra dimension är en kompakt uppsättning , och konstruktionen av denna kompakta dimension kallas kompaktering .

I modern geometri kan den extra femte dimensionen förstås som U(1) -gruppen , eftersom elektromagnetism i huvudsak kan formuleras som en mätteori på en bunt , en bunt på en cirkel , med en mätgrupp U(1). I Kaluza-Klein-teorin antar denna grupp att mätarsymmetrin är symmetrin hos cirkulära kompakta utrymmen. När denna geometriska tolkning väl har accepterats är det relativt lätt att ändra att U(1) är en allmän Lie-grupp . Sådana generaliseringar kallas ofta Yang-Mills teorier . Om en distinktion görs, uppstår Yang-Mills teorier i platt rum-tid, medan Kaluza-Klein överväger det mer allmänna fallet med krökt rum-tid. Basrummet för Kaluza-Klein-teorin behöver inte vara fyrdimensionell rum-tid; det kan vara vilket som helst ( pseudo ) Riemannmanifold , supersymmetriskt manifold, orbifold eller till och med ett icke-kommutativt utrymme .

Konstruktionen kan grovt beskrivas enligt följande [51] . Vi börjar med att betrakta ett huvudknippe P med en måttgrupp G över ett grenrör M. Givet en anslutning på bunten, en metrik på basgrenröret och en måttinvariant mått på tangenten till varje fiber, kan vi konstruera en bunt mått definierat på hela paketet. När vi beräknar den skalära krökningen för denna buntmetrik, finner vi att den är konstant på varje lager: detta är "Kaluzas mirakel". Det fanns inget behov av att uttryckligen införa ett cylindriskt villkor eller kompaktera: av antagandet är mätargruppen redan kompakt. Sedan tas denna skalära krökning som densiteten av Lagrangian och, utifrån detta, konstrueras Einstein-Hilbert-handlingen för bunten som helhet. Rörelseekvationerna, Euler-Lagrange-ekvationerna , kan erhållas på vanligt sätt genom att överväga en stationär verkan med avseende på variationer av antingen metriken på det underliggande grenröret eller mätaranslutningen. Variationer med avseende på basmetriken ger Einsteins fältekvationer på basgrenröret, där energi-momentum-tensorn ges av kurvaturen för mätaranslutningen . Å andra sidan är åtgärden stationär med avseende på variationer i gauge relationen just när gauge relationen är en lösning av Yang-Mills ekvation . Genom att tillämpa en enda idé: principen om minsta verkan på en enskild kvantitet: den skalära krökningen på bunten (som helhet), kan man alltså samtidigt erhålla alla nödvändiga fältekvationer för både rum-tid och mätfältet.

Som ett tillvägagångssätt för att förena krafter är det lätt att tillämpa Kaluza-Klein-teorin i ett försök att förena gravitation med starka och elektrosvaga krafter med hjälp av SU(3) × SU(2) × U(1) symmetrigruppen i standardmodellen . Försöket att göra denna intressanta geometriska konstruktion till en fullfjädrad modell av verkligheten misslyckas dock på grund av ett antal svårigheter, bland annat det faktum att fermioner måste introduceras artificiellt (i icke-supersymmetriska modeller). Ändå förblir Kaluza-Klein-teorin en viktig prövosten inom teoretisk fysik och är ofta inkorporerad i mer komplexa teorier. Det studeras i sin egen rätt som ett objekt av geometriskt intresse i K-teori .

Även i avsaknad av en helt tillfredsställande grund för teoretisk fysik är idén om att utforska extra, kompakterade dimensioner av stort intresse i de experimentella och astrofysiska gemenskaperna . Många förutsägelser kan göras med verkliga experimentella implikationer (vid stora extra dimensioner och förvrängda modeller ). Till exempel, baserat på de enklaste principerna, skulle man förvänta sig stående vågor i ytterligare en kompakterad dimension eller dimensioner. Om den extra rumsliga dimensionen har en radie R , kommer den invarianta massan av sådana stående vågor att vara M n = nh / Rc , där n är ett heltal , h är Plancks konstant och c är ljusets hastighet . Denna uppsättning möjliga massvärden kallas ofta för Kaluza-Klein-tornet . På liknande sätt, i kvantfältteori vid temperaturer som inte är noll, leder kompakteringen av den euklidiska tidsdimensionen till Matsubara-frekvenser och därmed till ett diskret termiskt energispektrum.

Kleins inställning till kvantteorin är dock felaktig och leder till exempel till en beräknad elektronmassa av storleksordningen Planckmassan [52] .

Exempel på experimentellt verifierbara implikationer av teorin inkluderar arbetet med CDF-samarbetet , som omanalyserade partikelkolliderdata för att identifiera effekter associerade med stora extra dimensioner och deformerade modeller .

Brandenberger och Wafa föreslog att i det tidiga universum orsakade kosmisk inflation tre rumsliga dimensioner att expandera till kosmologiska dimensioner, medan de återstående dimensionerna av rymden förblev mikroskopiska.

Rymd-tid-materia teori

En speciell variant av Kaluza-Klein-teorin, känd som rymd-tid-materia- teorin eller inducerad materia-teorin , har huvudsakligen utforskats av Paul Wesson och andra medlemmar av Space-Time-Matter Consortium [53] . Denna version av teorin noterar att lösningar till ekvationen

{\widetilde {R}}_{ab}=0

kan omformuleras så att dessa lösningar i fyra dimensioner skulle uppfylla Einsteins ekvationer

G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,

med den exakta formen T μν som följer av villkoret om Ricci-tensorns försvinnande i det femdimensionella rummet. Med andra ord, det cylindriska tillståndet används inte, och nu erhålls energimoment-tensorn från derivatorna av 5D-metriken med avseende på den femte koordinaten. Eftersom energimoment-tensoren vanligtvis betraktas i ett fyrdimensionellt rum med materia, kan ovanstående resultat tolkas som fyrdimensionell materia inducerad av geometrin hos det femdimensionella rummet.

I synnerhet innehåller solitonlösningar Friedmann -Lemaître-Robertson-Walker-metriken både i strålningsdominerade former (tidigt universum) och i materiedominerade former (sena universum). De allmänna ekvationerna kan visa sig överensstämma tillräckligt nära med de klassiska testerna av allmän relativitet för att vara acceptabla i termer av fysikaliska principer, samtidigt som de tillåter ett stort utrymme för att välja intressanta kosmologiska modeller . ${\widetilde {R}}_{ab}=0$

Geometrisk tolkning

Kaluza-Klein-teorin har en särskilt elegant utläggning när det gäller geometri. I en viss mening liknar detta vanlig gravitation i fritt utrymme , förutom att det uttrycks i fem dimensioner istället för fyra.

Einsteins ekvationer

Ekvationer som beskriver vanlig gravitation i fritt utrymme kan erhållas från handlingen genom att tillämpa variationsprincipen på en viss handling . Låt M vara en ( pseudo ) Riemannisk mångfald som kan tas som rum-tid för allmän relativitet . Om g är ett mått på detta grenrör, definieras åtgärden S ( g ) som

S(g)=\int _{M}R(g)\mathrm {vol} (g)\,

där R ( g ) är den skalära krökningen och vol ( g ) är volymelementet . Tillämpa variationsprincipen på handling

{\frac {\delta S(g)}{\delta g))=0

vi får exakt Einsteins ekvationer för fritt utrymme:

R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R=0

där R ij är Ricci-tensorn .

Maxwells ekvationer

Däremot kan Maxwells ekvationer som beskriver elektromagnetism förstås som Hodge-ekvationerna för ett huvudsakligt U(1)-knippe eller cirkelbunt med en fiber U(1) . Det vill säga, det elektromagnetiska fältet är en harmonisk 2-form i utrymmet för differentierbara 2-former på grenröret . I frånvaro av laddningar och strömmar har Maxwells ekvationer i ett fritt fält formen $\pi :P\to M$ $F$ $\Omega ^{2}(M)$ $M$

\mathrm {d} F=0\quad {\text{and))\quad \mathrm {d} {\star }F=0.

var är Hodge-stjärnan . $\star$

Geometry of Kaluza-Klein

För att konstruera Kaluza-Klein-teorin, väljs ett invariant mått på cirkeln , det vill säga fibern i U(1)-bunten av elektromagnetism. I den här diskussionen är ett invariant mått helt enkelt ett mått som är invariant under cirkelrotationer. Anta att detta mått ger cirkeln en total längd . Sedan övervägs mått på paketet som överensstämmer med både fibermåttet och måttet på det underliggande grenröret . Konsistensvillkor: $S^{1}$ $\lambda$ ${\widehat {g))$ $P$ $M$

Projektionen in i det vertikala delutrymmet måste överensstämma med metriken på lagret ovanför punkten på grenröret . ${\widehat {g))$ ${\mbox{Vert}}_{p}P\subset T_{p}P$ $M$
Projektionen in i det horisontella underrummet av tangentrymden vid en punkt måste vara isomorf med metriken på vid . ${\widehat {g))$ ${\mbox{Hor}}_{p}P\subset T_{p}P$ $p\in P$ $g$ $M$ $\pi (P)$

Kaluza-Klein-åtgärden för ett sådant mått ges av

S({\widehat {g)))=\int _{P}R({\widehat {g)))\;{\mbox{vol))({\widehat {g)))\,

Den skalära krökningen som skrivs i komponenterna expanderar sedan till

R({\widehat {g)))=\pi ^{*}\left(R(g)-{\frac {\Lambda ^{2}}{2}}\vert F\vert ^{ 2}\höger),

var är kodifferentialen för projektionen av fiberknippet . Anslutningen på buntens skikt är relaterad till den elektromagnetiska fälttensorn $\pi ^{*}$ $\pi :P\to M$ $A$

\pi ^{*}F=\mathrm {d} A

Att en sådan koppling alltid existerar, även för buntar av godtyckligt komplex topologi, är ett resultat av homologi och i synnerhet av K-teorin . Genom att tillämpa Fubini-satsen och integrera över lagret får vi

S({\widehat {g)))=\Lambda \int _{M}\left(R(g)-{\frac {1}{\Lambda ^{2))}\vert F\vert ^{2}\right)\;{\mbox{vol}}(g)

Genom att variera åtgärden med avseende på komponenten kommer vi fram till Maxwells ekvationer. Genom att tillämpa variationsprincipen på basmetriken får vi Einsteins ekvationer $A$ $g$

R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R={\frac {1}{\Lambda ^{2}}}T_{ij}

med energimoment-tensorn angiven som

T^{ij}=F^{ik}F^{jl}g_{kl}-{\frac {1}{4}}g^{ij}\vert F\vert ^{2},

som ibland kallas Maxwellian stresstensor .

Den ursprungliga teorin definierar med en lagermetrik och låter den variera från lager till lager. I det här fallet är sambandet mellan gravitationen och det elektromagnetiska fältet inte konstant, utan har sitt eget dynamiska fält - radionisk . $\lambda$ $g_{55}$ $\lambda$

Generaliseringar

Ovan fungerar slingstorleken som en kopplingskonstant mellan gravitationsfältet och det elektromagnetiska fältet. Om basgrenröret är fyrdimensionellt är Kaluza-Klein-grenröret P femdimensionellt. Den femte dimensionen är ett kompakt utrymme , som kallas den kompakta dimensionen . Metoden att införa kompakta dimensioner för att få ett flerdimensionellt grenrör kallas kompaktering . Kompaktifiering utför inte gruppåtgärder på kirala fermioner, förutom i mycket specifika fall: dimensionen på hela utrymmet måste vara 2 mod 8, och G-indexet för Dirac-operatorn för det kompakta utrymmet måste vara icke-noll [54] . $\lambda$

Ovanstående utveckling generaliserar mer eller mindre direkt till allmänna principiella G -buntar för någon godtycklig Lie-grupp G som upptar platsen för U(1) . I det här fallet kallas teorin ofta för Yang-Mills- teorin . Om den underliggande mångfalden är supersymmetrisk , är den resulterande teorin en supersymmetrisk Yang-Mills-teori.

Experimentell verifiering

Det har inte förekommit några officiella rapporter om experimentella eller observationsmässiga tecken på ytterligare dimensioner. Många teoretiska sökmetoder har föreslagits för att detektera Kaluza–Klein-resonanser genom att använda massinteraktionen av sådana resonanser med toppkvarken . Observationen av sådana resonanser vid Large Hadron Collider är dock osannolik. En analys av LHC-resultaten i december 2010 begränsar teorier med stora extra dimensioner kraftigt [55] .

Observationen av bosonen av Higgs-typ vid LHC etablerar ett nytt empiriskt test som kan tillämpas på sökandet efter Kaluza-Klein-resonanser och supersymmetriska partiklar. Loop Feynman-diagram , som finns i Higgs-interaktioner, tillåter alla partiklar med en elektrisk laddning och massa att röra sig längs en sådan slinga. Andra standardmodellpartiklar än toppkvarken och W-bosonen bidrar inte mycket till tvärsnittet som observeras i H → γγ , men om nya partiklar dyker upp utanför standardmodellen kan de potentiellt ändra förhållandet mellan den förutsagda standardmodellen H → γγ till den experimentellt observerade sektionen. Därför är mätning av varje plötslig förändring i H → γγ som förutsägs av standardmodellen avgörande för studier av fysik bortom dess gränser.

En annan nyare artikel från juli 2018 [56] ger lite hopp till denna teori; i tidningen bestrider de att gravitationen tränger in i högre dimensioner, som i brane-teorin. Artikeln visar dock att det elektromagnetiska fältet och gravitationen har samma antal dimensioner, och detta faktum bekräftar Kaluza-Klein-teorin; huruvida antalet dimensioner faktiskt är 3 + 1 eller faktiskt 4 + 1 är en fråga för vidare diskussion.

Se även

Universella tilläggsmått

Anteckningar

↑ A. A. Starobinsky. Kaluza - Klein teori // Physical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1990. - T. 2: Kvalitetsfaktor - Magneto-optik. - 704 sid. — 100 000 exemplar. — ISBN 5-85270-061-4 .
↑ Kalutsy - Klein teori / A. A. Starobinsky // Great Russian Encyclopedia [Elektronisk resurs]. – 2004.
↑ Vladimirov, 2009 , sid. elva.
↑ Vladimirov, 2009 , sid. femton.
↑ Vladimirov, 2009 , sid. 16.
↑ Vladimirov, 2009 , sid. 17.
↑ Vladimirov, 2009 , sid. 19.
↑ Vladimirov, 2009 , sid. 21-22.
↑ Wesson, 2006 , sid. ett.
↑ Wesson, 2006 , sid. 1-2.
↑ Overduin & Wesson, 1997 , sid. 307.
↑ Nordström, Gunnar (1914). "Om möjligheten att förena gravitations- och elektromagnetiska fält". Phys. Zeitschr . 15 :504-506. arXiv : fysik/0702221 .
↑ Keskinen, Raimo. Gunnar Nordström & Suomen Einstein (fin.) (ej tillgänglig länk) (25 juni 2007). Hämtad 10 juli 2021. Arkiverad från originalet 3 mars 2016.
↑ Pais, Abraham. Subtil är Herren...: The Science and the Life of Albert Einstein . - 1982. - S. 329-330 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Kaluza, Theodor (1921). "Zum Unitätsproblem in der Physik". Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. (Math. Phys.) : 966-972. Bibcode : 1921SPAW.......966K .
↑ Wesson, 2006 , sid. 3-4.
↑ 1 2 Klein, Oskar (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift fur Physik A . 37 (12): 895-906. Bibcode : 1926ZPhy...37..895K . DOI : 10.1007/BF01397481 .
↑ 1 2 3 Klein, Oskar (1926). "Elektricitetens atomicitet som en kvantteoretisk lag." naturen . 118 (2971): 516. Bibcode : 1926Natur.118..516K . DOI : 10.1038/118516a0 .
↑ 12 Wesson , 2006 , sid. 5.
↑ Overduin & Wesson, 1997 , sid. 308.
↑ Wesson, 2006 , sid. 6.
↑ 1 2 3 Goenner, H. (2012). "Några anmärkningar om uppkomsten av skalärtensorteorier." Allmän relativitet och gravitation . 44 (8): 2077-2097. arXiv : 1204.3455 . Bibcode : 2012GReGr..44.2077G . DOI : 10.1007/s10714-012-1378-8 .
↑ Lichnerowicz, A. (1947). "Problèmes de calcul des variations ligger à la dynamique classique et à la théorie unitaire du champ." Compt. Rämna. Acad. sci. Paris . 224 : 529-531.
↑ 1 2 3 4 Thiry, Y. (1948). "Les équations de la théorie unitaire de Kaluza". Compt. Rämna. Acad. sci. Paris . 226 :216-218.
↑ Thiry, Y. (1948). "Sur la regularité des champs gravitationnel et électromagnétique dans les théories unitaires". Compt. Rämna. Acad. sci. Paris . 226 : 1881-1882.
↑ 1 2 3 Jordan, P. (1946). "Relativistisk Gravitationstheorie mit variabler Gravitationskonstante". Naturwissenschaften . 11 (8): 250-251. Bibcode : 1946NW.....33..250J . DOI : 10.1007/BF01204481 .
↑ 1 2 3 Jordan, P. (1947). "Öber die Feldgleichungen der Gravitation bei variabler "Gravitationslonstante " ". Z. Naturforsch . 2a (1): 1-2. Bibcode : 1947ZNatA...2....1J . DOI : 10.1515/zna-1947-0102 .
↑ Ludwig, G. (1947). "Der Zusammenhang zwischen den Variationsprinzipien der projektiven und der vierdimensionalen Relativitätstheorie" . Z. Naturforsch . 2a (1): 3-5. Bibcode : 1947ZNatA...2....3L . DOI : 10.1515/zna-1947-0103 . Arkiverad från originalet 2020-10-04 . Hämtad 2021-07-10 . Utfasad parameter används |deadlink=( hjälp )
↑ 1 2 3 Jordan, P. (1948). Funfdimensionale Kosmologie. Astron. Nachr . 276 (5-6): 193-208. Bibcode : 1948AN....276..193J . DOI : 10.1002/asna.19482760502 .
↑ Ludwig, G. (1948). "Ein Modell des Kosmos und der Sternentstehung". Annalen der Physik . 2 (6): 76-84. Bibcode : 1948AnP...437...76L . DOI : 10.1002/andp.19484370106 .
↑ Scherrer, W. (1941). "Bemerkungen zu meiner Arbeit: "Ein Ansatz für die Wechselwirkung von Elementarteilchen " ". Helv. Phys. Acta . 14 (2):130.
↑ Scherrer, W. (1949). "Über den Einfluss des metrischen Feldes auf ein skalares Materiefeld". Helv. Phys. Acta . 22 : 537-551.
↑ Scherrer, W. (1950). "Über den Einfluss des metrischen Feldes auf ein skalares Materiefeld (2. Mitteilung)". Helv. Phys. Acta . 23 :547-555.
↑ Brans, CH (1 november 1961). "Machs princip och en relativistisk teori om gravitation" . Fysisk granskning . 124 (3): 925-935. Bibcode : 1961PhRv..124..925B . DOI : 10.1103/PhysRev.124.925 .
↑ 1 2 3 Williams, LL (2015). "Fältekvationer och lagrangian för Kaluza-måttet utvärderade med Tensor Algebra Software" (PDF) . Journal of Gravity . 2015 . DOI : 10.1155/2015/901870 . Arkiverad (PDF) från originalet 2021-06-30 . Hämtad 2021-07-10 . Utfasad parameter används |deadlink=( hjälp )
↑ Ferrari, JA (1989). "Om en ungefärlig lösning för ett laddat objekt och experimentella bevis för Kaluza-Klein-teorin". Gen. släkting. Gravit . 21 (7). Bibcode : 1989GReGr..21..683F . DOI : 10.1007/BF00759078 .
↑ Coquereaux, R. (1990). "Teorin om Kaluza-Klein-Jordan-Thiry återbesökt". Annales de l'Institut Henri Poincare . 52 .
↑ Williams, LL (2020). "Fältekvationer och lagrangian för Kaluza Energy-Momentum Tensor". Framsteg inom matematisk fysik . 2020 . DOI : 10.1155/2020/1263723 .
↑ 12 Wesson , 2006 , sid. 13.
↑ Wesson, 2006 , sid. fjorton.
↑ Appelquist, Thomas. Moderna Kaluza–Klein-teorier / Thomas Appelquist, Chodos, Alan, Freund, Peter GO. — Menlo Park, Cal. : Addison-Wesley, 1987. - ISBN 978-0-201-09829-7 .
↑ Wesson, Paul S. Space–Time–Materia, Modern Kaluza–Klein Theory . - Singapore: World Scientific, 1999. - ISBN 978-981-02-3588-8 .
↑ Vladimirov, 2012 , sid. 16.
↑ Nugayev Rinat M. Space-Time Dimension Problem as a Stumbling Block of Inflationary Cosmology // Metauniversum, Space, Time / Vadim V. Kazutinsky, Elena A. Mamchur, Alexandre D. Panov & VD Erekaev (red.). - Institute of Philosophy of RAS, 2013. - S. 52-73. (ryska)
↑ Pauli, Wolfgang. Relativitetsteori . - 1958. - P. Tillägg 23.
↑ Gross, DJ (1983). "Magnetiska monopoler i Kaluza-Klein teorier". Nucl. Phys. b . 226 (1): 29-48. Bibcode : 1983NuPhB.226...29G . DOI : 10.1016/0550-3213(83)90462-5 .
↑ Gegenberg, J. (1984). "Rörelsen av laddade partiklar i Kaluza-Klein rum-tid". Phys. Lett . 106A (9). Bibcode : 1984PhLA..106..410G . DOI : 10.1016/0375-9601(84)90980-0 .
↑ Wesson, PS (1995). "Rörelseekvationen i Kaluza-Klein-kosmologin och dess implikationer för astrofysik." Astronomi och astrofysik . 294 . Bibcode : 1995A&A...294....1W .
↑ Williams, LL (2012). "Fysik för den elektromagnetiska kontrollen av rumtid och gravitation" . Förhandlingar från 48:e AIAA Joint Propulsion Conference . AIAA 2012-3916. DOI : 10.2514/6.2012-3916 .
↑ Vladimirov, 1987 , sid. 45-46.
↑ David Bleecker, " Gauge Theory and Variational Principles Archived 9 juli 2021 at the Wayback Machine " (1982) D. Reidel Publishing (Se kapitel 9 )
↑ Ravndal, F., Oskar Klein and the fifth dimension, arXiv:1309.4113 [physics.hist-ph]
↑ 5Dstm.org . Hämtad 10 juli 2021. Arkiverad från originalet 21 augusti 2013. (obestämd)
↑ L. Castellani et al., Supergravity and superstrings, Vol 2, kapitel V.11
↑ CMS Collaboration, "Search for Microscopic Black Hole Signatures at the Large Hadron Collider", https://arxiv.org/abs/1012.3375 Arkiverad 10 augusti 2017 på Wayback Machine
↑ Gränser för antalet rumtidsdimensioner från GW170817 , https://arxiv.org/abs/1801.08160 Arkiverad 3 november 2019 på Wayback Machine

Litteratur

Vladimirov Yu. S. Dimension av fysisk rum-tid och association av interaktioner. - M. : Moscow State Universitys förlag, 1987. - 215 sid.
Vladimirov Yu. S. Klassisk teori om gravitation. - M . : Knizhny dom LIBROKOM, 2009. - 264 sid. - ISBN 978-5-397-00884-6 .
Vladimirov Yu. S. Geometrofysik. - 2:a uppl., Rev. - M . : Binom. Kunskapslaboratoriet, 2012. - 536 sid. - ISBN 978-5-9963-0303-8 .
Hodos, A. Kaluza-Klein teorier: en allmän översikt // Phys . - 1985. - T. 146 . - S. 647-654 . - doi : 10.3367/UFNr.0146.198508d.0647 .
Wesson, Paul S. Femdimensionell fysik: klassiska och kvantmässiga konsekvenser av Kaluza-Klein-kosmologin . — Hackensack, NJ: World Scientific, 2006. — ISBN 9812566619 .
Overduin JM, Wesson PS Kaluza-Klein gravitation // Fysikrapporter. - 1997. - T. 283 . - S. 303-378 . - doi : 10.1016/S0370-1573(96)00046-4 . - arXiv : gr-qc/9805018 .
Kaluza, Theodor (1921). "Zum Unitätsproblem in der Physik". Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. (Math. Phys.) : 966-972. Bibcode : 1921SPAW.......966K . https://archive.org/details/sitzungsberichte1921preussi
Klein, Oskar (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift fur Physik A . 37 (12): 895-906. Bibcode : 1926ZPhy...37..895K . DOI : 10.1007/BF01397481 .
Witten, Edward (1981). "Sök efter en realistisk Kaluza–Klein-teori". Kärnfysik B . 186 (3): 412-428. Bibcode : 1981NuPhB.186..412W . DOI : 10.1016/0550-3213(81)90021-3 .
Duff, MJ Kaluza–Klein Theory in Perspective // Proceedings of the Symposium 'The Oskar Klein Centenary' / Lindström, Ulf. - Singapore : World Scientific, 1994. - S. 22–35. — ISBN 978-981-02-2332-8 .
Overduin, JM (1997). Kaluza-Klein Gravity. Fysiska rapporter . 283 (5): 303-378. arXiv : gr-qc/9805018 . Bibcode : 1997PhR...283..303O . DOI : 10.1016/S0370-1573(96)00046-4 .
Wesson, Paul S. Femdimensionell fysik: Klassiska och kvantmässiga konsekvenser av Kaluza-Klein-kosmologin . - Singapore : World Scientific, 2006. - ISBN 978-981-256-661-4 .
The CDF Collaboration, Search for Extra Dimensions using Missing Energy at CDF , (2004 )
John M. Pierre Extra Dimensions , (2003).
Chris Pope, föreläsningar om Kaluza–Klein-teori .
Edward Witten (2014). "En anteckning om Einstein, Bergmann och den femte dimensionen", arXiv : 1401.8048
Lee Smolin har problem med fysik: The Rise of String Theory, the Decline of Science, and Beyond

Teorier om gravitation

Standardteorier om gravitation

Alternativa teorier om gravitation

Kvantteorier om gravitation

Enade fältteorier

klassisk fysik

Newtons gravitationsteori

Relativistisk fysik

Allmän relativitetsteori
- Matematisk formulering
- Hamiltonsk formulering

Principer

Klassisk

Relativistisk

Flerdimensionell

Strängar

Övrig

Den exceptionellt enkla teorin om allting

Fysik bortom standardmodellen
Bevis	Problemet med mätarhierarkin Mörk materia mörk energi Problemet med den kosmologiska konstanten Starkt CP-problem Neutrinoscillationer
teorier	Technicolor Femte kraften Kaluza-Klein teori Stora förenade teorier Teori om allt Strängteorin
supersymmetri	MSSM supersträngteori supergravitation
kvantgravitation	Strängteorin Slinga kvantgravitation Kausal dynamisk triangulering Kanonisk kvantgravitation
Experiment	ANNIE Sasso INO TANK SNO Super-K Tevatron Muon g- NOvA