Turbulens

Turbulens , föråldrad. turbulens (från latin  turbulentus  - stormig, kaotisk), turbulent flöde  - ett fenomen när, med en ökning av hastigheten på ett vätske- (eller gas) flöde, olinjära fraktala vågor bildas. Vågor bildas vanliga, linjära, av olika storlekar, utan närvaro av yttre krafter och/eller i närvaro av krafter som stör mediet. För att beräkna sådana flöden har olika turbulensmodeller skapats . Vågor visas slumpmässigt, och deras amplitud ändras slumpmässigt i ett visst intervall. De förekommer oftast antingen vid gränsen, vid väggen och/eller när vågen bryter eller välter. De kan bildas på jetstrålar. Experimentellt kan turbulens observeras i slutet av en ångstråle från en vattenkokare. De kvantitativa förutsättningarna för övergången till turbulens upptäcktes experimentellt av den engelske fysikern och ingenjören O. Reynolds 1883 när han studerade vattenflödet i rör.

Turbulens i dess vanliga bemärkelse uppstår i väggnära lager av lågviskösa vätskor eller gaser eller på något avstånd bakom bluffkroppar. Mest troligt beskrivs turbulens av Boltzmann-ekvationen , eftersom de karakteristiska skalorna för denna ekvation är mycket mindre än turbulensskalorna. Men frågan är fortfarande öppen, och forskning pågår för närvarande om tillämpligheten av denna ekvation för att modellera processen för turbulensinitiering. Problemet är att ekvationerna för vätskerörelse ( Navier-Stokes-ekvationerna ) är skallösa, det vill säga de sätter inte själva gränserna för den direkta kaskaden (se nedan) och bestämmer därför inte den karakteristiska storleken (skalan) för turbulent virvlar. Trots detta har ett stort antal matematiska modeller av turbulens (RANS, LES, DES och DNS-modeller) utvecklats. Dessa modeller, med undantag för DNS-modellen, används i stor utsträckning för tekniska beräkningar. Emellertid har inte en enda exakt analytisk lösning av detta ekvationssystem för det turbulenta flödesområdet erhållits hittills.

Vanligtvis uppstår turbulens när en viss parameter överskrider ett kritiskt värde, till exempel Reynolds- eller Rayleigh-talet (i det speciella fallet med flödeshastigheten vid en konstant densitet och diameter på röret och/eller temperaturen vid mediets yttre gräns ).

Under vissa parametrar observeras turbulens i vätske- och gasflöden , flerfasflöden, flytande kristaller , kvantvätskor från Bose och Fermi , magnetiska vätskor , plasma och alla kontinuerliga medier (till exempel i sand, jord, metaller). Turbulens observeras också i stjärnexplosioner, i superfluid helium , i neutronstjärnor, i mänskliga lungor, i blodets rörelse i hjärtat och vid turbulent (så kallad vibrationell) förbränning.

Turbulens uppstår spontant när närliggande områden av mediet följer efter eller penetrerar varandra, i närvaro av en tryckskillnad eller i närvaro av gravitation, eller när områden av mediet flyter runt ogenomträngliga ytor. Det kan uppstå i närvaro av en tvingande slumpmässig kraft. Vanligtvis verkar den yttre slumpmässiga kraften och tyngdkraften samtidigt. Till exempel, under en jordbävning eller en vindpust, faller en lavin från ett berg, inom vilket snöflödet är turbulent. De momentana flödesparametrarna (hastighet, temperatur, tryck, föroreningskoncentration) fluktuerar slumpmässigt runt medelvärden. Den kvadratiska amplitudens beroende av oscillationsfrekvensen (eller Fourierspektrum) är en kontinuerlig funktion.

Turbulens kan till exempel skapas:

• genom att öka Reynolds-talet (öka den linjära hastigheten eller vinkelhastigheten för rotation av flödet, storleken på den strömlinjeformade kroppen, minska den första eller andra koefficienten för molekylär viskositet , öka mediets densitet );

• genom att öka Rayleigh-talet (värm mediet);

• ökning av Prandtl-talet (minska viskositeten);

• genom att öka vinkelhastigheten för rotation eller den radiella temperaturgradienten (fenomenet cykelindex );

• genom att sätta en mycket komplex typ av yttre kraft (exempel: kaotisk kraft, påverkan). Flödet kanske inte har fraktala egenskaper.

• genom att skapa komplexa gräns- eller initialvillkor, genom att ställa in gränsformfunktionen. Till exempel kan de representeras av en slumpmässig funktion. Till exempel: flödet under explosionen av ett kärl med gas. Det är till exempel möjligt att organisera inblåsningen av gas i mediet, för att skapa en grov yta. Använd munstyckssving. Lägg gallret över. I det här fallet kanske flödet inte har fraktala egenskaper.

• skapa ett kvanttillstånd. Detta villkor gäller endast heliumisotoperna 3 och 4. Alla andra ämnen fryser och förblir i ett normalt icke-kvanttillstånd.

• genom att bestråla mediet med högintensivt ljud.

• genom kemiska reaktioner såsom förbränning. Lågans form, som vattenfallets utseende , kan vara kaotisk.

Teori

Olika tillvägagångssätt används för att teoretiskt beskriva turbulens.

I det statistiska tillvägagångssättet tror man att turbulens genereras av en slumpmässigt föränderlig uppsättning virvelelement av olika storlekar [1] .

Ett annat tillvägagångssätt är metoden för spektralanalys, som kompletterar den statistiska metoden [2] .

Vid höga Reynolds-tal är flödeshastigheterna svagt beroende av små förändringar vid gränsen. Därför, vid olika initiala hastigheter på fartyget, bildas samma våg framför dess nos när det rör sig i marschfart. Raketens nos brinner och samma toppmönster skapas , trots den olika initiala hastigheten.

Fraktal  betyder självlik. En rät linje har en fraktal dimension lika med ett. Planet är lika med två. Bollen har tre. Flodbädden har en fraktal dimension som är större än 1, men mindre än 2 sett från en satellithöjd. I växter stiger fraktaldimensionen från noll till mer än två. Det finns en egenskap hos geometriska former, som kallas fraktaldimensionen. Vår värld kan inte representeras som en uppsättning linjer, trianglar, kvadrater, sfärer och andra enkla former. Och fraktaldimensionen gör att du snabbt kan karakterisera geometriska kroppar med komplex form. Till exempel formen av ett trädblad.

En icke-linjär våg  är en våg som har icke-linjära egenskaper. Deras amplituder kan inte läggas till vid kollision. Deras egenskaper varierar mycket med små förändringar i parametrar. Icke-linjära vågor kallas dissipativa strukturer. De har inte linjära processer av diffraktion, interferens, polarisering. Men det finns icke-linjära processer, såsom självfokusering. I detta fall ökar mediets diffusionskoefficient, överföringen av energi och momentum och friktionskraften till ytan kraftigt, i storleksordningar.

Det vill säga, i ett särskilt fall, i ett rör med absolut släta väggar med en hastighet högre än en viss kritisk, under något kontinuerligt medium, vars temperatur är konstant, endast under påverkan av gravitationen, olinjära självliknande vågor och då bildas alltid turbulens spontant. I detta fall finns det inga yttre störande krafter. Om vi ​​dessutom skapar en störande slumpmässig kraft eller gropar på rörets inre yta, kommer även turbulens att uppstå.

I ett särskilt fall är olinjära vågor virvlar , tornados , solitoner och andra olinjära fenomen (till exempel vågor i plasma  - vanlig och kulblixt) som inträffar samtidigt med linjära processer (till exempel akustiska vågor).

I matematiska termer betyder turbulens att den exakta analytiska lösningen av differentialekvationerna i partiella derivator av momentumbevarande och Navier-Stokes masskonservering (detta är Newtons lag med tillägg av viskositet och tryckkrafter i mediet och ekvationen för kontinuitet eller bevarande av massa) och energiekvationen är när man överskrider något kritiskt Reynolds tal, en konstig attraktion. De representerar icke-linjära vågor och har fraktala, självliknande egenskaper. Men eftersom vågorna upptar en ändlig volym är en del av flödesområdet laminärt.

Med ett mycket litet Reynolds-tal är dessa välkända linjära vågor på vatten med liten amplitud. I höga hastigheter observerar vi icke-linjära tsunamivågor eller brytande av surfvågor. Till exempel bryts stora vågor bakom en damm upp i mindre vågor.

På grund av icke-linjära vågor kan alla parametrar för mediet: ( hastighet , temperatur , tryck , densitet ) uppleva kaotiska fluktuationer, ändras från punkt till punkt och inte periodiskt i tiden. De är mycket känsliga för minsta förändring i miljöparametrar. I ett turbulent flöde fördelas mediets momentana parametrar enligt en slumpmässig lag. Det är så turbulenta flöden skiljer sig från laminära flöden. Men genom att kontrollera medelparametrarna kan vi kontrollera turbulensen. Till exempel, genom att ändra rörets diameter, kontrollerar vi Reynolds-talet, bränsleförbrukningen och hastigheten för att fylla rakettanken.

Navier-Stokes ekvationer (vanliga, inte medelvärde över ett visst tidsintervall) beskriver både mjuk och hård buckling av flöden. De kan härledas på tre sätt från allmänna bevarandelagar: genom att postulera Newtons (generaliserade) friktionslag , genom att följa Chapman-Enskog-metoden och från Grads metod.

När viskositeten är noll reduceras ekvationerna till Euler-ekvationen . De exakta lösningarna av Euler-ekvationen är också kaotiska.

Det är allmänt accepterat att överväga projektionen av hastighetsvektorn på koordinataxeln i ett turbulent flöde, bestående av medelvärdet eller medelvärdet för en viss vald tid, och plus den momentana komponenten:

Här  är rippelkomponenten eller rippel. Det visade sig vara bekvämt att introducera begreppet turbulensgrad :

För tre axlar:

Turbulent flöde med ett stort Reynolds-tal kallas utvecklad turbulens . Under olika randvillkor leder det alltid till att samma hastighetsprofil skapas. Denna egenskap av oberoende av parametrarna från Reynolds-numret kallas flödets självlikhet . Det observeras experimentellt i jetstrålar eller i gränsskiktet.

Det är möjligt att skapa isotrop turbulens när de statistiska parametrarna för flödet (sannolikhetsfördelningsfunktion, spridning, moment) är desamma i riktning mot olika koordinataxlar och inte beror på tid.

Teorin om homogen turbulens (det vill säga vid mycket höga Reynolds-tal, när dess statistiska parametrar inte beror på tid och är ungefär konstanta i flödet, utan beror på riktning) skapades av de sovjetiska forskarna Obukhov och Kolmogorov. Och sedan användes det i många tekniska beräkningar. Teorin ledde till skapandet av förenklade semi-empiriska flödesmodeller: k-ε (ka-epsilon) och många andra.

De flesta av flödena av vätskor och gaser i naturen (luftens rörelse i jordens atmosfär, vatten i floder och hav, gas i solens och stjärnornas atmosfärer och i interstellära nebulosor etc.), i tekniska anordningar (i rörledningar) kanaler, jetstrålar, i gränsskikt nära fasta kroppar som rör sig i en vätska eller gas, i vågor bakom sådana kroppar, etc.) är turbulenta på grund av närvaron av energi- och momentumkällor, närvaron av externa störande krafter eller frånvaron av friktionsdragkrafter i kvantvätskor.

Under förbränningsprocesser eller kemiska reaktioner överlagras många andra fysikaliska och kemiska processer på fenomenet turbulens. Till exempel effekten av konvektion, självsvängningar, hysteres. I detta fall talar man om turbulent konvektion. Det antas vanligtvis att övergången från laminärt till turbulent flöde sker när det kritiska Reynolds-talet (Re) nås. Det kritiska värdet för Reynolds-talet beror på den specifika typen av flöde, dess viskositetskoefficient, som beror på temperaturen, vilket beror på trycket (flöde i ett runt rör, flöde runt en kula, etc.). Till exempel för ett flöde i ett runt rör . Nyligen har det visat sig att detta endast gäller för tryckflöden. Men ett slag mot röret, dess skarpa rotation eller oscillation kan orsaka turbulens.

Det vill säga, turbulens kan uppstå spontant, eller kanske som ett resultat av handlingar från flera yttre krafter.

När man studerade vätskeflödet genom rör med liten diameter av den franske läkaren och vetenskapsmannen Poiseuille 1840-1842. en formel härleds genom vilken det är möjligt att beräkna flödet av vatten genom ett rör. [3] [4] Före Poiseuille studerade Hagen (1797-1884) rörelsen av en trögflytande vätska genom rör med liten diameter . Med ett stort flöde visade sig formeln vara felaktig. Anledningen är att det var turbulens i röret.

Stokes , en engelsk teoretisk vetenskapsman, hittade lösningar på rörelseekvationen för en viskös vätska för små Re-tal (detta är Newtons andra lag med tillägg av tryckkrafter och viskositetskrafter), som han härledde 1845 för rörelsen av en vätska i ett runt rör. Han härledde sedan formeln för dragkraften i enhetlig rörelse av en boll i en obegränsad vätska 1851. Det började användas för att bestämma koefficienten för dynamisk viskositet. Men lösningarna sammanföll med experimentet endast vid låga vätskehastigheter och rör- och kuldiametrar.

Anledningen till denna avvikelse förklarades endast av Reynolds experiment 1883. Han visade förekomsten av två olika regimer av vätskerörelse - laminär och turbulent - och fann en parameter - Reynolds-talet - som gjorde det möjligt att förutsäga förekomsten av turbulens för ett givet flöde i ett rör.

Detta gjorde det möjligt för Reynolds 1883 att införa påståendet att flöden av samma typ (röret måste vara geometriskt lika) med samma Reynolds nummer är lika. Denna lag har kallats likhetslagen . Sedan, på basis av experiment, började teorin om dimension och likhet att utvecklas.

En partiell beskrivning av utvecklad turbulens inom ramen för 1800-talets matematik föreslogs av L. Richardson i början av 1900-talet. Genom att röra te i ett glas med en sked skapar vi virvlar ungefär lika stora som ett glas, en sked. Viskositeten verkar på flödet ju starkare desto mindre är flödets karakteristiska storlek. Den karakteristiska storleken förstås som någon geometrisk parameter som starkt påverkar flödet. Glasets diameter, dess höjd, skedens bredd. Vid ett högt Reynolds-tal påverkas dessa storskaliga rörelser svagt av molekylär viskositet.

Vätskerörelseekvationen (Navier-Stokes) är icke-linjär, eftersom vätskans hastighet bärs av själva hastigheten och dessa virvlar är instabila. De bryts upp i mindre virvlar, de i mindre. I slutändan, vid små storlekar, spelar molekylär viskositet in, och de minsta virvlarna dämpas på grund av det. Denna syn kallades en direkt kaskad (eller övergång från stora skalor till mindre).

1924 blev teorin om Ludwig Prandtl känd , som förfinades på grundval av experimenten från I. Nikuradze och många andra forskare. De studerade experimentellt turbulenta flöden nära plattor, i grova rör och i många andra kroppar. L. Prandtl introducerade konceptet med blandningslängden för en turbulent mullvad - detta är en grov modell av en olinjär våg som förde momentum över ett visst avstånd, i analogi med molekylernas Brownska rörelse. En mycket allmän modell av blandningen av en turbulent mullvad, som bär fart i turbulent rörelse, föreslogs först av J. Boussinesq . Teorin om L. Prandtl var mer förståelig för utövare, experimenterare och vetenskapsmän. Sedan utvecklades och förfinades den av J.I. Taylor, T. Karman och tillät ingenjörer att beräkna väggnära flöden i kanaler, rör, nära vingprofiler. Sedan började sökandet efter universella formler för fördelningen av hastigheterna för platta och tredimensionella flöden på plattor och rör. Efter det dök A. Kolmogorovs semi-empiriska teori om cap-epsilon turbulens upp. Hundratals ingenjörer och forskare i många länder i världen var engagerade i dessa uppgifter. Nu finns det en förfining av semi-empiriska modeller av turbulens, uppkomsten av nya modeller. Efter tillkomsten av superdatorer var det möjligt att beräkna turbulenta flöden runt bärytor, vingar, propellrar, fläktar, propellrar, flygplan, raketer, helikoptrar med visst fel, med hjälp av empiriska turbulensmodeller, och sedan förkortade och fullständiga Navier-Stokes häckningskoefficienter. När man analyserar flöden är det nödvändigt att göra ett medelvärde av de erhållna hastighetsfälten, tryck från experiment eller beräkningar, det vill säga att gå från momentana tredimensionella fält av fördelningar av hastigheter, tryck, accelerationer till tvådimensionella funktioner som inte beror på tid. Således erhålls dragkraftsvärdet för flygplansmotorn.

När man noterar fördelarna med G. Schlichting i studien av den laminära-turbulenta övergången, är små olinjära vågor i ett trögflytande (gasformigt) medium uppkallade efter honom (Tollmin-Schlichting-vågor).

Det är skillnad på begreppet turbulens och turbulent flöde. Termen turbulent flöde har sitt ursprung i hydrauliken. Då upptäcktes kvantvätskor. Deras viskositet är alltid noll. Om du beräknar Reynoldstalet för dem är det alltid lika med oändlighet när projektionen av hastighetsvektorn inte är lika med noll. Själva det turbulenta flödet kan förekomma i ett system av mycket små virvlar, i vissa små delar av mediet. Därför är medelflödeshastigheten noll när kvantvätskan är i vila i kärlet. Reynoldstalet är inte definierat (täljaren har noll hastighet, nämnaren har noll viskositet).

I sovjetisk vetenskap

Fram till 1917 användes termen oordnat flöde i rysk vetenskap . År 1938 upptäckte Kapitsa turbulent flöde i kvantmedia - superfluid helium . Det finns två typer av ljud i flytande helium - den första och andra , de kan skapa vågturbulens på dess yta.

År 1941 utvecklade A. N. Kolmogorov och A. M. Obukhov teorin om homogen turbulens för inkompressibla flöden vid stora Re-tal.

Sedan, på 1960-talet, påbörjades studiet av olinjära vågor, solitoner .

På 1970-talet i Sovjetunionen studerade V.E. Zakharov svag eller "våg" turbulens av vågor på vattenytan (det kallas degenererad). Turbulensen inom media kallades stark. MD Millionshchikov erhöll några formler för ett gränsskikt med ett mycket stort Re-tal [1] , löste problemet med isotrop turbulensdämpning 1939 [2] . Hans beräkningar av den dimensionslösa hastigheten för viskösa medier beroende på det dimensionslösa avståndet från väggen visade den "praktiska ekvivalensen" av formlerna för hastighetsfördelningen i gränsskiktet och röret, detta "... låter dig använda en enklare formel erhålls för hastighetsfördelningen i gränsskiktet för att beräkna hastighetsfördelningen i rörlagret" [3] .

1975 introducerades begreppet fraktal av matematikern Benoit Mandelbrot . Och Feigenbaum-konstanten , som används i beskrivningen av ett fraktalt medium med deterministiskt kaos , erhölls 1978 . Samtidigt upptäcktes Feigenbaum-scenariot (eller subharmonisk kaskad) - en speciell typ av övergång till turbulens.

Fysiker förstod inte varför, i en kaotisk rörelse som liknar Brownians , i en vätska eller gas, plötsligt viks miljarder molekyler till en ring. I början av 80-talet, Yu. L. Klimontovich , professor vid Moscow State University. Lomonosov, lade fram en hypotes [5] att turbulens inte är ett kaotiskt, utan ett mycket organiserat, ordnat flöde. Samt att entropin minskar i övergången från laminärt till turbulent flöde. Därför bildas olika strukturer spontant. Han föreslog sitt eget kriterium, baserat på "S-teorem", enligt vilket det var möjligt att beräkna graden av ordning och reda för ett kontinuerligt medium, med hjälp av värdet av entropiproduktion. Han visste inte att Feigenbaum-scenariot och deras andra typer förekommer i verkliga turbulenta medier och trodde att kontinuummodellen är otillräcklig för uppkomsten av turbulens och att det inte finns någon turbulens i Navier-Stokes ekvation. Därför, även för den enkla rörelsen av vatten, introducerade han några konstgjorda ytterligare fluktuationstermer i ekvationerna, vilket var ett misstag [5] . På samma sätt introducerade O. Reynolds ytterligare termer i ekvationerna för bevarande av momentum eller rörelse .

Hans " S-sats " var mycket dåligt uttryckt för experimenterande och det var inte klart hur man skulle tillämpa det i experimentet och hur det är bättre än begreppet K-entropi [5] [6] . Det stred mot många års praktik av ingenjörer. De använde ofta ett tillvägagångssätt där entropin var konstant för flödet (den isentropiska gasmodellen). Detta var möjligt eftersom ingenjörer ofta försökte använda laminärt flöde istället för turbulent flöde. De använde flöden där flödet accelererades, medan flödet laminerades om (det vill säga turbulens degenererade till ett laminärt flöde).

2015 dök verk av ryska forskare upp om vätskeflöde vid mycket höga Re-tal i rör [4] .

Turbulens i naturen

Turbulens inom teknik

De försöker antingen undertrycka det eller på konstgjord väg skapa det.

Vinglar placeras på flygplan  - vingspetsar böjda uppåt. De sparar upp till 4 procent av bränslet, eftersom det minskar storleken och antalet virvlar som bildas bakom vingen, som bär med sig användbar kinetisk energi (dessa är de så kallade vågförlusterna).

I de fall det finns en övergångsregim från laminär till turbulent kan fluktuationer i tryck och lyftkraft förekomma. Därför placeras virvelgeneratorer (böjda fästen) längs hela vingens längd. De stabiliserar flödesparametrarna. Flödet efter dem är alltid turbulent. Därför ökar vingens lyftkraft gradvis med ökande flyghastighet.

Ugnsbrännoljor i kraftverk värms upp före förbränning för att minska viskositeten, sedan turboliseras de dessutom med levande ånga i ugnen . Detta ökar effektiviteten hos förbränningspannan genom mer fullständig förbränning av eldningsolja och minskning av askrester.

Typer av turbulens

• Tvådimensionell turbulens observeras i tunna filmer eller lager av vätska eller gas. Eftersom tjockleken på jordens atmosfär är mycket mindre än jordens radie, är jordens atmosfär ett tvådimensionellt system och de flesta väderfenomen (cykloner, orkaner etc.) kan betraktas som tvådimensionella turbulenta virvlar. Huvudskillnaden mellan tvådimensionell och tredimensionell turbulens ligger i energiöverföringens riktning i spektrumet. I en tredimensionell miljö bryts stora turbulenta virvlar upp till mindre, som i sin tur till ännu mindre, som sedan förlorar sin energi (bromsar ner) på grund av inverkan av icke-konservativa krafter. I en tvådimensionell miljö, tvärtom, förstärker små virvlar varandra, lägger ihop och skapar allt större virvlar. Experimentellt kan tvådimensionell turbulens observeras i en konstgjord tvålfilm av vatten med en tjocklek av 4 till 5 mikron [7] .

• Optisk turbulens. En mycket kraftfull laserstråle passerar genom glaset och börjar spridas slumpmässigt. Ljus är vågor, så det är ljusvågornas turbulens.

• Det kaotiska blinkandet av stjärnor på natthimlen är förknippat med en slumpmässig förändring i luftdensiteten. Det är också en manifestation av småskalig atmosfärisk turbulens.

• Flodturbulens. Vattenflödet i en flod är turbulent. När Reynolds-talet och utflödet ändras ändrar floden sin bottenråhet.

• I flytande kristaller (nematik), när mediets hastighet är noll, observeras den så kallade "långsamma" turbulensen.

• Kemisk turbulens. I ett särskilt fall kan det beskrivas med ekvationen av V. N. Nikolaevsky. [8] .

• Quark-gluonplasma , som fanns i universums tidiga skede, beskrivs av den ideala vätskemodellen (dvs. Navier-Stokes ekvation med ett viskositetsvärde på noll). Detta är ett exempel på ett turbulent plasmatillstånd.

• Homogen och isotropisk
  • Isotropisk  - när dess statistiska parametrar inte beror på riktningen. Det skapas artificiellt på något avstånd efter metallnätet eller gallret.
  • Homogen  - när dess parametrar ändras längs den valda axeln, men i en given sektion (till exempel rör) är de samma.

• På ytan av en flerfasig vätska under påverkan av vibrationer. Till exempel i ett lager av glaskulor i majsstärkelsesirap med en frekvens på 120 Hz och en vibrationsacceleration på 25 g .

Litteratur

• Loitsyansky Lev Gerasimovich, "Laminärt gränsskikt" (1962)
• P. Bradshaw Introduktion till turbulens och dess mätning. Översättning från engelska av V. F. Alymov, V. V. Altov, V. S. Voiteshonok, A. M. Duyubinsky, A. M. Kudin Redigerad av G. S. Glushko, MIR Publishing House Moscow 1974.

• Feigenbaum M. , Uspekhi Fiz. Nauk, 1983, v. 141, sid. 343 [översatt av Los Alamos Science, 1980, v. 1, sid. 4] [5] .
• Landau L. D., Lifshits E. M. Hydrodynamics, - M .: Nauka, 1986. - 736 sid.
• Monin A. S. , Yaglom A. M. , Statistisk hydromekanik. Om 2 timmar - L: Gidrometeoizdat, del 1, 1992. - 695 s;, M: Nauka del 2, 1967. - 720 sid.
• Obukhov AM Turbulens och dynamik i atmosfären. L: Gidrometeoizdat 1988.- 414 sid. ISBN 5-286-00059-2
• Problem med turbulens. Samling översatta artiklar, red. M. A. Velikanov och N. T. Shveikovsky. M.-L.: ONTI, 1936. - 332 sid.
• Grinvald D.I., Nikora V.I. Flodturbulens. Leningrad: Gidrometeoizdat. - 1988. - 152 sid.
• Frick P. G. Turbulens: modeller och tillvägagångssätt. Föreläsningskurs. Del I. Perm, PSTU, 1998. - 108 sid. Del II. — 136 sid.
• Berger P., Pomo I., Vidal K. Ordning i kaos. Om det deterministiska förhållningssättet till turbulens, Moskva: Mir. - 1991. - 368 sid.
• Gleick D. Chaos, The Making of a New Science , Penguin books, 1988. - 354 sid. (skrivet av en journalist för skolbarn och elever)
• Goldstein G. Klassisk mekanik. Cambridge, 1950. - 408 sid.
• Adzhemyan L. Ts., Nalimov M. Yu. Principen om maximal slumpmässighet i den statistiska teorin om utvecklad turbulens. II. Isotropisk dämpad turbulens, 1992
• http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=tmf&paperid=5578&what=fullt&option_lang=rus
• http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=tmf&paperid=1497&what=fullt&option_lang=rus
• Frost W., Moulden T. Turbulens. Principer och tillämpningar. — M .: Mir, 1980. — 535 sid.
• Millionshchikov M. D. Huvudregelbundenheter av turbulent flöde i nära vägglager. // Tidskrift "Atomic Energy", vol. 28, nummer 4, s. 317-320 [9]
• Millionshchikov M.D., Turbulenta flöden i gränsskiktet och rören. Moskva: Nauka, 1969.
• G. Schlichting . Theory of the boundary layer, 5:e upplagan, M.: Nauka, 1974.

• Reynolds O. , En experimentell undersökning av omständigheterna som avgör om vattnets rörelse ska vara direkt eller slingrande, och av motståndslagen i parallella kanaler. Phil. Trans. Roy. Soc., London, 1883, v.174.
• Feigenbaum M. , Journal Stat. Physics, 1978, v.19, sid. 25.
• Feigenbaum M. , Journal Stat. Physics, 1979, v.21, sid. 669.
• Falkovich, G. Fluid Mechanics, en kort kurs för fysiker  (engelska) . - Cambridge University Press , 2011. - ISBN 978-1-107-00575-4 .
• Gustafson K.E. Introduktion till partiella differentialekvationer och Hilberts rymdmetoder - 3:e upplagan, 1999
• Introducing Fractal Geometry, Nigel Lesmoir Gordon, Will Rood, Ralph Edney, Icon Books, Totem Books, 2000, 176 sid.
• Nya framsteg inom ingenjörsvetenskap (Springer-Verlag, Berlin. 1989), VN Nikolaevskii.
• http://www.lehigh.edu/~jdg4/publications/Ext_Chaos.pdf
• Dan Tanaka, Kemisk turbulens ekvivalent med Nikolavskii turbulens, PHYSICAL REVIEW E 70, 015202(E), 2004

Se även

• laminärt flöde
• fraktal
• hydrauliskt hopp
• Indexcykel
• turbulens i klar himmel

Anteckningar

1. ↑ Turbulens. Principles and Applications, 1980 , sid. 66.
2. ↑ Turbulens. Principles and Applications, 1980 , sid. 99.
3. ↑ Titjens O.N.. Hydro- och flygmekanik Volym 2 Rörelse av vätskor med friktion och tekniska tillämpningar - Hydrodynamik och gasdynamik. Industriell utrustning - pumpar, kompressorer ... (otillgänglig länk) . Hämtad 21 juli 2008. Arkiverad från originalet 13 februari 2009. (obestämd) 
4. ↑ Titjens O.N.. Hydro- och flygmekanik Volym 2 Rörelse av vätskor med friktion och tekniska tillämpningar - Hydrodynamik och gasdynamik. Industriell utrustning - pumpar, kompressorer ... (otillgänglig länk) . Hämtad 21 juli 2008. Arkiverad från originalet 13 februari 2009. (obestämd) 
5. ↑ 1 2 3 Yu. L. Klimontovich, Statistical Theory of Open Systems, Moscow, Janus LLP, 1995. − 624 sid.
6. ↑ P. Berger, I. Pomo, K. Vidal, Order in chaos, On a deterministic approach to turbulence, M, Mir, 1991, 368 s.
7. ↑ Fluid Picture Gallery (nedlänk) . Hämtad 13 februari 2009. Arkiverad från originalet 26 februari 2009. (obestämd) 
8. ↑ Källa . Hämtad 19 juli 2008. Arkiverad från originalet 17 februari 2016. (obestämd)
9. ↑ Atomenergi. Volym 28, nr. 4. - 1970 - Elektroniskt bibliotek "History of Rosatom" . elib.biblioatom.ru. Hämtad 10 december 2019. Arkiverad från originalet 10 december 2019. (obestämd)

Länkar

• Video som visar laminära och turbulenta flöden

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor ryss Britannica (online) Universalis
I bibliografiska kataloger	BNF : 11933719j GND : 4117265-6 J9U : 987007556039605171 LCCN : sh85138753 NDL : 00569287