Minkowski utrymme

Minkowski- rymden är ett fyrdimensionellt pseudo-euklidiskt signaturutrymme som föreslås som en geometrisk tolkning av den speciella relativitetsteoriens rum-tid .

Varje händelse motsvarar en punkt i Minkowski-rymden, i Lorentziska (eller galileiska) koordinater, varav tre koordinater är de kartesiska koordinaterna för det tredimensionella euklidiska rummet, och den fjärde är koordinaten , där är ljusets hastighet , är tidpunkten för händelsen. Förhållandet mellan rumsliga avstånd och tidsintervall som skiljer händelser kännetecknas av kvadraten på intervallet :

(Ofta tas det motsatta värdet som kvadraten av intervallet, valet av tecken är en fråga om godtycklig överenskommelse. Minkowski föreslog alltså initialt själv exakt det motsatta tecknet för kvadraten av intervallet).

Intervallet i Minkowski-rymden spelar en roll analogt med avståndets roll i geometrin hos euklidiska utrymmen. Det är invariant när man ersätter en tröghetsreferensram med en annan, precis som avståndet är invariant när man vänder, reflekterar och förskjuter ursprunget i det euklidiska rummet. En roll som liknar den för koordinatrotationer i fallet med det euklidiska rummet spelas för Minkowski-rummet av Lorentz-transformationen .

Kvadraten på intervallet är analog med kvadraten på avståndet i det euklidiska rummet. Till skillnad från det senare är kvadraten på intervallet inte alltid positiv, och intervallet mellan olika händelser kan också vara lika med noll.

Relaterade definitioner

• Den pseudo-euklidiska metriken i Minkowski-rymden som definieras av intervallformeln ovan kallas Minkowski-metriken eller Lorentziansk metrik . En lorentziansk metrik är antingen en måttenhet som uttryckligen motsvarar denna definition i de valda koordinaterna (och därmed bestämmer valet av koordinater), eller en metrik som kan reduceras till en sådan måttenhet genom ett lämpligt val av kontinuerliga koordinater. Lorentz metriska tensor betecknas vanligtvis , och den definierar den kvadratiska formen av signaturen . Termen Lorentziansk metrisk eller Minkowski-metrik kan också användas i fall av andra dimensioner än 4. Då betyder det vanligtvis att en koordinat spelar rollen som tid, och resten spelar rollen som rumsliga koordinater.
• Uppsättningen av alla nollkvadratintervallvektorer bildar en konisk yta och kallas ljuskonen .
• En fyrvektor som ligger inuti ljuskäglan kallas en tidsliknande vektor , utanför den ljuskägna rumsliknande , liggande på ljuskonen - noll [1] .
• En händelse vid en given tidpunkt vid en given punkt kallas en världspunkt .
• Den uppsättning världspunkter som beskriver en partikels (materiella punkt) rörelse i tiden kallas världslinje . I princip kan denna term också tillämpas på beskrivningen av rörelsen av abstrakta ("imaginära") punkter, men den används främst för att beskriva rörelsen av verkliga fysiska kroppar (inklusive fortplantningen av ljuspulser).
• Tröghetsobservatör : En observatör som är i vila eller rör sig likformigt och rätlinjigt (och translationellt, utan att rotera sitt koordinatsystem) i förhållande till en tröghetsreferensram. I Lorentziska (galileiska) koordinater ser denna observatörs världslinje (och alla punkter fixerade i dess referensram) särskilt enkel ut: det är en rät linje där  är en parameter, och ändras från 1 till 4 - då är den fjärde koordinaten då tidskoordinaten är noll.
• Intervallet mellan två händelser genom vilka en tröghetsobservatörs världslinje passerar, dividerat med , kallas sin egen tid , eftersom detta värde sammanfaller med tiden som mäts av klockan som rör sig med observatören. För en icke-tröghetsobservatör motsvarar den korrekta tiden mellan två händelser integralen av intervallet längs världslinjen.
• Om vektorn som förbinder världspunkterna är tidslik, så finns det en referensram där händelser inträffar vid samma punkt i det tredimensionella rummet.
• Om vektorn som förbinder världspunkterna för två händelser är rymdliknande, så finns det en referensram där dessa två händelser inträffar samtidigt; de är inte relaterade till orsak och verkan; intervallmodulen bestämmer det rumsliga avståndet mellan dessa punkter (händelser) i denna referensram.
• En kurva, vars tangentvektor är tidslik vid var och en av sina punkter, kallas en tidslik linje . Spacelike och isotropa ("ljusliknande") kurvor definieras på liknande sätt.
• Uppsättningen av alla världslinjer av ljus som utgår från en given världspunkt, som regel, betraktad i kombination med alla inkommande, bildar en tvåarks konisk hyperyta, invariant under Lorentz-transformationer, kallad isotropisk eller ljuskon . Denna hyperyta separerar den givna världspunktens kausala förflutna, dess kausala framtid och den kausalt oberoende (rymdliknande) regionen i Minkowskirymden med den givna världspunkten.
• Tangentvektorn till världslinjen för en vanlig fysisk kropp är en tidsliknande vektor.
• Tangentvektorn till ljusets världslinje (i vakuum) är en isotrop vektor.
• En hyperyta, vars alla tangentvektorer är rymdliknande, kallas en rymdliknande hyperyta (initiella förhållanden specificeras på en sådan hyperyta), men om det finns en tidsliknande tangentvektor vid varje punkt av hyperytan kallas en sådan yta tidsliknande (på en sådan hyperyta, kan randvillkor ofta specificeras).
• Gruppen av rörelser i Minkowski-rummet, det vill säga gruppen av transformationer som bevarar metriken, är Poincare -gruppen med 10 parametrar , bestående av 4 translationer - 3 rumsliga och 1 temporal, 3 rent rumsliga rotationer och 3 rum-tidsrotationer , annars kallade förstärkningar . De sista 6 tillsammans bildar en undergrupp av Poincaré- gruppen, gruppen av Lorentz-transformationer . Således är Minkowski-utrymmet ett fyrdimensionellt metriskt utrymme med högsta möjliga grad av symmetri och har 10 dödande vektorer .
• Specifika fysiskt meningsfulla klasser av koordinater i Minkowski-rymden är Lorentziska (eller galileiska) koordinater, Rindler-koordinater och Born-koordinater . Det är också mycket bekvämt (särskilt i det tvådimensionella fallet) isotropiska koordinater eller ljuskonkoordinater.
• I allmän relativitetsteori är Minkowski-rymden en trivial lösning av Einsteins ekvationer för vakuum (ett utrymme med noll energi-momentum-tensor och noll lambda-term ).

Historik

Detta utrymme upptäcktes och undersöktes av Henri Poincaré 1905 och av Herman Minkowski 1908 .

Henri Poincaré var den första som etablerade och studerade i detalj en av de viktigaste egenskaperna hos Lorentz-transformationer  - deras gruppstruktur , och visade att "Lorentz-transformationer är inget annat än en rotation i fyrdimensionellt rum, vars punkter har koordinater " [2] . Således förenade Poincaré, åtminstone tre år före Minkowski, rum och tid till en enda fyrdimensionell rumtid [3] .

Se även

• 4-vektor
• Spatio-temporal diagram

Anteckningar

1. ↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Fältteori. - M .: Nauka, 1967. - S. 30.
2. ↑ Poincare A. Om elektronens dynamik // Relativitetsprincipen: lör . verk av relativismens klassiker. - M . : Atomizdat , 1973. - S. 90-93, 118-160.
3. ↑ Fushchich V.I., Nikitin A.G. Symmetry of Maxwells equations. - Kiev: Naukova Dumka, 1983. - S. 6.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska Britannica (online)
I bibliografiska kataloger BNF : 11979629v GND : 4293944-6 J9U : 987007563505905171 LCCN : sh95008990 LNB : 000153202 NKC : ph117887