Sandhög modell

Sandhögsmodellen är en klassisk modell av teorin om självorganiserad kritikalitet förknippad  med många områden inom matematiken.

Beskrivning och egenskaper för modellen

I den enklaste versionen är modellen formulerad enligt följande. Tänk på ett kvadratiskt rutnät. På detta rutnät finns en sandhög: vid varje nod av detta rutnät placeras en stapel med flera sandkorn. Om det finns 4 eller fler sandkorn på någon nod i stapeln, så är högen instabil och en kollaps inträffar ( engelska  toppling ): 1 sandkorn flyttas från denna nod till 4 närliggande noder. Kraschar inträffar tills högen blir stabil , det vill säga tills det finns mindre än 4 sandkorn kvar i varje nod; samtidigt är den resulterande sandhögen inte beroende av i vilken ordning kollapserna inträffade [1] .

Det är naturligt att introducera "addition"-operationen på uppsättningen av stabila sandhögar: för att få summan av två högar måste du placera alla sandkorn från motsvarande nod i den första och andra högen i varje nod av rutnät, och utför sedan de nödvändiga kollapserna för att återigen få en stabil hög. Med en sådan additionsoperation blir uppsättningen sandhills en kommutativ monoid [2] . Ett neutralt element är en hög som, när den läggs till någon annan hög, inte ändrar den, är ett tomt rutnät utan ett enda sandkorn.

Det är inte nödvändigt att överväga sandhögmodellen exakt på ett kvadratiskt rutnät. Istället för ett kvadratiskt rutnät kan du ta ett annat (i det här fallet bör kollapsen inte ske med 4 sandkorn vid noden, utan med antalet sandkorn lika med antalet grannar), till exempel triangulärt , eller i allmänhet olika oändliga oriktade eller riktade grafer eller multigrafer . Dessutom kan sandhögar på den slutliga grafen också övervägas, om några noder i den är sänkor ( engelska  sink ) - när de kommer in i dem, samlas inte sandkorn, utan försvinner.

Uppsättningen av stabila sandhögar på en ändlig graf (till exempel ett ändligt rektangulärt rutnät omgivet på alla sidor av sjunkhörna) kommer också att vara ändligt. I en finit kommutativ monoid kan man peka ut en viss delmängd (nämligen dess minimala ideal ) som kommer att vara en grupp med avseende på samma operation (i detta fall heap addition). En sådan grupp kallas, för en given graf , grafens sandhöggrupp , och högarna som ingår i den kallas återkommande .  Det neutrala elementet i denna grupp skiljer sig generellt sett från det neutrala elementet i monoiden. Dessutom är gruppen av sandhögar anmärkningsvärd, bland annat, för det faktum att det neutrala elementet i den ser helt icke-trivialt ut och till och med visar egenskaperna hos en fraktal [3] .

Sambanden mellan sandhögsmodellen och olika områden inom matematiken är djupa och mångfaldiga [1] . Storleken på det område som påverkas av kollapsar när ytterligare ett sandkorn läggs till en slumpmässig sandhög följer en maktlagsfördelning [4] , vilket är typiskt för kritiska fenomen . Du kan tänka på en instabil hög där kollapser inträffar som en cellulär automat . En kollaps i en sandhög kan beskrivas med Kirchhoff-matrisen , som genom matristrädssatsen relaterar sandhöggruppens ordning till antalet spännande träd på grafen (det finns också en direkt bijektion ), samt till Riemann-Rochs sats för grafer. Att beräkna densiteten av sandkorn i en hög, som erhålls från många sandkorn staplade i en nod i ett oändligt kvadratiskt rutnät, är relaterat till Apollonius-rutnätet . Tropiska kurvor kan erhållas i sandhögar på ett ändligt kvadratiskt rutnät [5] .

Anteckningar

1. ↑ 1 2 Levine och Peres, 2017 , 1. Den abeliska sandhögmodellen.
2. ↑ Corry och Perkinson, 2018 , 6.1.1. Additiv struktur.
3. ↑ Járai, 2018 , sid. 252.
4. ↑ Corry och Perkinson, 2018 , 12.4. Självorganiserad kritik.
5. ↑ Kalinin et al, 2018 , Tropical Curves in Sandpiles.

Litteratur

• N.S. Kalinin. Modell av sandgjutning och divisorer på grafer (Sandmodell) . Sommarskola "Modern matematik" (2017). Hämtad: 20 juni 2018. (obestämd)
• Lionel Levine och James Propp. Vad är... en sandhög? // Meddelanden från AMS. - 2010. - Vol. 57. - s. 976-979.
• Lionel Levine och Yuval Peres. Laplacian tillväxt, sandhögar och skalningsgränser // Bull. amer. Matematik. Soc.. - 2017. - Vol. 54.—S. 355–382. - doi : 10.1090/bull/1573 .
• Antal A. Jarai. Sandhögsmodeller // Sannolikhetsundersökningar. - 2018. - Vol. 15. - S. 243-306. - doi : 10.1214/14-PS228 .
• N. Kalinin, A. Guzmán-Sáenz, Y. Prieto, M. Shkolnikov, V. Kalinina och E. Lupercio. Självorganiserad kritik och mönster framträdande genom linsen av tropisk geometri // PNAS. - 2018. - Vol. 115. - P. E8135-E8142. - doi : 10.1073/pnas.1805847115 .
• Scott Corry och David Perkinson. Avdelare och sandhögar . - AMS, 2018. - ISBN 978-1-4704-4218-7 .
• P. Bak , C. Tang, K. Wiesenfeld. Självorganiserad kritik: En förklaring av 1/ f - bruset // Physical Review Letters. - 1987. - Vol. 59.—S. 381–384. - doi : 10.1103/PhysRevA.38.364 .
• G. Yu. Ivanyuk, A. M. Perlikov. V.6.1. Modell av "sandhög" // Självorganisering av mineralsystem  / P. M. Goryainov, G. Yu. Ivanyuk. - M  .: GEOS, 2001. - ISBN 5-89118-209-2 .