Pi-satsen

Pi-satsen ( -satsen , -satsen ) är dimensionsanalysens grundläggande sats . Satsen säger att om det finns ett beroende mellan fysiska storheter som inte ändrar form när skalorna av enheter i en viss klass av enhetssystem ändras, så är det likvärdigt med ett beroende mellan generellt sett ett mindre antal dimensionslösa kvantiteter, där är det största antalet kvantiteter med oberoende dimensioner bland de initiala kvantiteterna . Pi-satsen gör det möjligt att fastställa beroendets allmänna struktur, vilket endast följer av kravet att det fysiska beroendet ska vara invariant när enhetsskalorna ändras, även om den specifika formen av beroendet mellan initialvärdena är okänd . $\Pi$ $\pi$ $n$ $p=nk$ $k$ $n$

Namnvarianter

I den ryskspråkiga litteraturen om dimensionsteori och modellering används vanligtvis namnet pi-teorem ( -sats , -sats ) [1] [2] [3] [4] , vilket kommer från den traditionella beteckningen av dimensionslösa kombinationer med hjälp av den (versaler eller gemener) grekiska bokstaven " pi ". I engelskspråkig litteratur förknippas satsen vanligtvis med namnet Edgar Buckingham , och i franskspråkig litteratur med namnet Aimé Vashí . $\Pi$ $\pi$

Historisk bakgrund

Uppenbarligen bevisades pi-satsen första gången av J. Bertrand [5] 1878. Bertrand överväger särskilda exempel på problem från elektrodynamik och teorin om värmeledning, men hans presentation innehåller tydligt alla huvudidéerna för det moderna beviset för pi-satsen, såväl som en tydlig indikation på användningen av pi-satsen för modellering fysiska fenomen. Metoden för att tillämpa pi-satsen ( metoden för dimensioner ) blev allmänt känd tack vare Rayleighs verk (den första tillämpningen av pi-satsen i allmän form [6] på beroendet av tryckfallet i rörledningen på definierande parametrar går antagligen tillbaka till 1892 [7] , ett heuristiskt bevis som använder kraftserieexpansion 1894 [8] ).

En formell generalisering av pi-teoremet till fallet med ett godtyckligt antal kvantiteter formulerades först av Vashí 1892 [9] , och senare och uppenbarligen oberoende av A. Federman [10] , D. Ryabushinsky [11] 1911 och Buckingham [12] 1914. Därefter generaliseras pi-satsen av Hermann Weil 1926 .

Uttalande av satsen

För enkelhetens skull ges formuleringen för positiva värden nedan . $q_{i}$

Låt oss anta att det finns ett samband mellan de fysiska storheterna , , , : $n$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{n}$

f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0,

vars form inte ändras när skalan av enheter i den valda klassen av enhetssystem ändras (till exempel om klassen av enhetssystem LMT används, ändras inte formen på funktionen med några ändringar i standarderna av längd, tid och massa, till exempel när du byter från mått i kilogram, meter och sekunder till mått i pund, tum och timmar). $f$

Låt oss välja bland argumenten för funktionen den största mängden kvantiteter med oberoende dimensioner (ett sådant val kan generellt sett göras på olika sätt). Om sedan antalet kvantiteter med oberoende dimensioner anges och de är numrerade med index , , , (annars kan de numreras om), så är det initiala beroendet ekvivalent med beroendet mellan dimensionslösa storheter , , , : $k$ $ett$ $2$ $\ldots$ $k$ $f$ $p=nk$ $\pi_{1}$ $\pi _{2}$ $\ldots$ $\pi _{p}$

F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0,

var är dimensionslösa kombinationer erhållna från de återstående initiala värdena , , , genom att dividera med de valda värdena i lämpliga potenser: $\pi _{p}$ $q_{{k+1}}$ $q_{{k+2}}$ $\ldots$ $q_{n}$

\pi _{1}={\frac {q_{k+1}}{q_{1}^{a}\cdot q_{2}^{b}\cdot \ldots \cdot q_{k} ^{z}}},

\vdots

\pi _{p}={\frac {q_{n}}{q_{1}^{A}\cdot q_{2}^{B}\cdot \ldots \cdot q_{k}^{ Z}}}

(dimensionslösa kombinationer finns alltid eftersom , , , är en samling dimensionsoberoende kvantiteter av den största storleken, och när ytterligare en kvantitet läggs till dem erhålls en samling med beroende dimensioner). $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{k}$

Bevis

Beviset för pi-satsen är mycket enkelt [13] . Det initiala beroendet mellan , , , kan betraktas som ett visst beroende mellan , , , och , , , : $f$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{n}$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{k}$ $\pi_{1}$ $\pi _{2}$ $\ldots$ $\pi _{p}$

\Phi (q_{1},q_{2},\ldots ,q_{k},\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0 ,

Dessutom ändras inte heller funktionens form när skalan på enheter ändras. Det återstår att notera att, på grund av det dimensionella oberoende av mängderna , , , är det alltid möjligt att välja en sådan skala av enheter att dessa kvantiteter blir lika med en, medan , , , , som är dimensionslösa kombinationer, inte kommer att ändra deras värden, därför, med en sådan vald skala av enheter, vilket betyder att, på grund av invarians, och i alla system av enheter, funktionen faktiskt bara beror på : $\Phi$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{k}$ $\pi_{1}$ $\pi _{2}$ $\ldots$ $\pi _{p}$ $\Phi$ $\pi _{p}$

\Phi (1,1,\ldots ,1,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})\equiv H(\pi _{1}, \pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0.

Specialfall

Tillämpning på en ekvation löst med avseende på en kvantitet

En variant av pi-satsen används ofta för det funktionella beroendet av en fysisk storhet av flera andra , , , : $q$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{n}$

q=f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}).

I detta fall anger pi-satsen att beroendet är ekvivalent med sambandet

\pi =F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p}),

var

\pi ={\frac {q}{q_{1}^{\alpha }\cdot q_{2}^{\beta}\cdot \ldots \cdot q_{k}^{\omega ))} ,

och definieras på samma sätt som ovan. $\pi _{i}$

Det fall då pi-satsen ger formen av beroende upp till en faktor

I ett viktigt särskilt fall, när beroende på

q=f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})

alla argument har oberoende dimensioner, med tillämpning av pi-satsen

\pi ={\frac {q}{q_{1}^{\alpha }\cdot q_{2}^{\beta}\cdot \ldots \cdot q_{k}^{\omega ))} ={\text{const)),

det vill säga typen av funktionellt beroende bestäms upp till en konstant. Värdet på konstanten bestäms inte av metoderna för dimensionsteorin, och för att hitta det är det nödvändigt att använda experimentella eller andra teoretiska metoder.

Anmärkningar om tillämpningen av pi-satsen

Valet av argument med oberoende dimensioner kan generellt sett göras på olika sätt, vilket gör att man vid tillämpning av pi-satsen formellt kan få olika uttryck. Men i själva verket är de resulterande resultaten likvärdiga, och från en form av notation kan en annan erhållas genom att övergå till kombinationer av dimensionslösa parametrar.
Vid formuleringen av pi-satsen är kravet på beroendeinvarians viktigt. Om, till exempel, när man arbetade i det internationella enhetssystemet (SI) i experimentet, erhölls beroendet av den väg som den fallande kroppen färdades i tid $s$ $t$

s={\frac {9{,}81\cdot t^{2}}{2}},

då uppfyller den i denna form inte pi-satsens villkor.

Tillämpning av pi-satsen för fysisk modellering

Pi-satsen används för fysisk modellering av olika fenomen inom aerodynamik , hydrodynamik , elasticitetsteori , vibrationsteori . Modellering bygger på det faktum att om för två naturliga processer (”modell” och “naturlig”, till exempel för luftflödet runt ett modellflygplan i en vindtunnel och luftflödet runt ett riktigt flygplan), dimensionslösa argument (de kallas likhetskriterier ) beroende på

\pi =F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})

sammanfaller, vilket kan göras genom ett speciellt val av parametrarna för "modell"-objektet, då sammanfaller de dimensionslösa värdena för funktionen också. Detta gör det möjligt att "beräkna om" de dimensionella experimentella värdena för parametrarna från "modell"-objektet till det "naturliga", även om funktionens form är okänd. Om det är omöjligt att uppnå sammanträffande av alla likhetskriterier för "modell" och "naturliga" objekt, tillgriper de ofta ungefärlig modellering, när likhet uppnås endast enligt kriterier som återspeglar inverkan av de viktigaste faktorerna, medan påverkan av sekundära faktorer beaktas ungefär på basis av ytterligare överväganden (som inte följer av dimensionsteorin). $\pi$ $F$

Exempel på tillämpningar av pi-satsen

Klockoscillationsfrekvens

Utsändningen av ljud från en klocka sker som ett resultat av dess egna svängningar , vilket kan beskrivas inom ramen för den linjära elasticitetsteorin . Frekvensen av det emitterade ljudet beror på densiteten , Youngs modul och Poissons förhållande för metallen som klockan är gjord av, och på det ändliga antalet geometriska dimensioner , , , av klockan: $f$ $\rho$ $E$ $\nu$ $l_{1}$ $l_{2}$ $\ldots$ $l_{N}$

f=F(\rho ,E,\nu ,l_{1},l_{2},\ldots ,l_{N}).

Om klassen av system av enheter LMT används, kan till exempel , och väljas som kvantiteter med oberoende dimensioner (de valda kvantiteterna som ingår i det maximala dimensionsoberoende delsystemet är understrukna): $\rho$ $E$ $l_{1}$

f=F({\underline {\rho )),{\underline {E_{\!}}},\nu,{\underline {l_{1}}},l_{2},\ldots , l_{N}),

och att tillämpa pi-satsen ger

{\frac {fl_{1}}{\sqrt {E/\rho }}}}=G\left(\nu ,{\frac {l_{2}}{l_{1}}},{ \ frac {l_{3}}{l_{1}}},\ldots ,{\frac {l_{N}}{l_{1}}}\right).

Om det finns två geometriskt lika klockor gjorda av samma material, så är argumenten för funktionen desamma för dem, så förhållandet mellan deras frekvenser är omvänt proportionellt mot förhållandet mellan deras storlekar (eller omvänt proportionellt mot kubroten av förhållandet mellan deras massor). Detta mönster bekräftas experimentellt [14] . $G$

Observera att om andra kvantiteter, till exempel , , och , valdes som kvantiteter med oberoende dimensioner, så skulle tillämpningen av pi-satsen formellt ge ett annat resultat: $\rho$ $E$ $l_{2}$

{\frac {fl_{2}}{\sqrt {E/\rho }}}=H\left(\nu ,{\frac {l_{1}}{l_{2}}},{\ frac {l_{3}}{l_{2}}},\ldots ,{\frac {l_{N}}{l_{2}}}\right),

men slutsatserna som dras skulle naturligtvis förbli desamma.

Motstånd under slow motion av en boll i en trögflytande vätska

Med långsam (vid låga Reynolds-tal ) stationär rörelse av en sfär i en viskös vätska, beror motståndskraften på vätskans viskositet , såväl som på sfärens hastighet och radie (vätskedensitet är inte bland de avgörande parametrarna, eftersom effekten av vätsketröghet vid låga hastigheter är försumbar). Ansöker om missbruk $F$ $\mu$ $V$ $R$

F=f(\mu ,V,R)

pi-teorem, vi får

{\frac {F}{\mu VR}}={\text{const)),

dvs i detta problem hittas motståndskraften upp till en konstant. Värdet på konstanten hittas inte utifrån dimensionella överväganden (lösningen av det motsvarande hydrodynamiska problemet ger värdet för konstanten , vilket bekräftas experimentellt). $6\pi$

Se även

Länkar

Några granskningsartiklar och primära källor om pi-teoremets historia och likhetsteorin Arkiverade 13 april 2021 på Wayback Machine

Anteckningar

↑ Barenblatt G. I. Likhet, självlikhet, mellanliggande asymptotik. Teori och tillämpningar för geofysisk hydrodynamik. - L . : Gidrometeoizdat , 1978. - S. 25. - 208 sid.
↑ Sedov L. I. Metoder för likhet och dimension i mekanik . - M . : Nauka , 1981. - S. 31. - 448 sid.
↑ Bridgman P. Dimensionsanalys . - Izhevsk: RHD, 2001. - S. 45. - 148 sid.
↑ Huntley G. Dimensionell analys . - M .: Mir , 1970. - S. 6. - 176 sid. (förord till den ryska utgåvan)
↑ Bertrand J. Sur l'homogénété dans les formules de physique // Comptes rendus. - 1878. - T. 86 , nr 15 . - S. 916-920 .
↑ När, efter att ha tillämpat pi-satsen, en godtycklig funktion uppstår från dimensionslösa kombinationer.
↑ Rayleigh. På frågan om stabiliteten i vätskeflödet // Philosophical magazine. - 1892. - T. 34 . - S. 59-70 .
↑ Strett J.W. (Lord Rayleigh). Theory of Sound . - M. : GITTL, 1955. - T. 2. - S. 348. - 476 sid.
↑ Vaschy A. Sur les lois de similitude en physique // Annales Telegraphiques. - 1892. - T. 19 . — S. 25–28 . Citat från Vashs artikel med formuleringen av pi-satsen ges i artikeln: Macagno E. O. Historico-critical review of dimensional analysis // Journal of the Franklin Institute. - 1971. - T. 292 , nr. 6 . - S. 391-402 .
↑ Federman A. Om några allmänna metoder för att integrera partiella differentialekvationer av första ordningen // Proceedings of the St. Petersburg Polytechnic Institute of Emperor Peter the Great. Institutionen för teknik, naturvetenskap och matematik. - 1911. - T. 16 , nr. 1 . - S. 97-155 .
↑ Riabouchinsky D. Method des variables de dimension zéro et son application en aérodynamique // L'Aérophile. - 1911. - S. 407-408 .
↑ Buckingham E. Om fysiskt liknande system: illustrationer av användningen av dimensionsekvationer // Fysisk översyn. - 1914. - V. 4 , nr 4 . - S. 345-376 .
↑ Sena L. A. Enheter av fysiska storheter och deras dimensioner. - M .: Science , 1977. - S. 91-92.
↑ Pukhnachev Y. Spridning, dämpning, brytning - tre nycklar för att reda ut paradoxen // Vetenskap och liv. - 1983. - Nr 2 . - S. 117-118 .

Dimensionslösa storheter i fysiken
Begrepp	Dimension av en fysisk kvantitet Dimensionslös kvantitet π -Sats likhetskriterium
likhetskriterier	Alfvén nummer (Al) Arkimedes nummer (Ar) Atwood nummer (A) Bagnold-nummer (Ba) Burstow-nummer (Be) Bionummer (Bi) Boltzmann nummer (Bo) Bond/Eötvös nummer (Bo, Bd eller Eo) Brinkmann nummer (Br) Bulygin-nummer (Bu) Weisenberg nummer (Wi eller We) Weber nummer (vi) Galileiskt nummer (Ga) Hartmann nummer (Ha) Gay-Lussac-nummer (Gc eller GaL) Homokronicitetsnummer (Ho) Grashof nummer (Gr) Graetz-nummer (Gz) Gouchenummer (Go) Damköhler nummer (Da) Deborah nummer (De) Deryaginnummer (Dg eller De) Dekanusnummer (Dn eller D ) Cowling nummer (Co) Kapillaritetsnummer (Cp eller Ca) Karmannummer (Ka) Keleghan-Carpenter nummer ( K C ) Kibelnummer (Ki) Kirpichev nummer (Ki) Clausius nummer (Cl) Knudsen nummer (Kn) Kossovich nummer (Ko) Cauchy nummer (Ca) Laplace nummer (La) Lundquist nummer (Lu eller S) Lykov-nummer (Lk eller Lu) Lewis nummer (Le) Lyashchenko nummer (Ly) Marangoni nummer (Mg) Mach nummer (M) Mortonnummer (Mo) Nusselt nummer (Nu) Newtontal (Ne eller Nt) Onesorge nummer (Oh) Peclet nummer (Pe) Posnov nummer (Pn) Prandtl-nummer (Pr) Magnetiskt Prandtl-nummer (Pr m ) Turbulent Prandtl-nummer (Pr t ) Poiseuille nummer (Po) Reynolds nummer (Re) Akustiskt Reynolds nummer (Re a ) Magnetisk Reynolds nummer (Re m ) Richardson nummer (Ri) Rossby nummer (Ro) Rosenummer (Rs) Roshko-nummer (Rk eller Ro) Ruark nummer (Ru) Rayleigh nummer (Ra) Soret nummer (Sr) Stanton nummer (St) Stokes nummer (Sk eller Stk) Strouhal nummer (S, Sh eller St) Stewart nummer (St eller N ) Suratman nummer (Su) Taylor nummer (Ta) Womersley-nummer (Wo eller α) Fedorov nummer inom hydrodynamik i torkningsteori (Fe) Froude nummer (Fr) Fouriernummer (Fo) Hagen nummer (Hg) Chandrasekhar-nummer (Ch eller Q ) Schmidt nummer (Sc) Sherwood-nummer (Sh) Eulernummer (Eu) Eckert-nummer (Ec eller E ) Ekman nummer (Ek) Elsasser nummer (El eller Λ) Eriksen nummer (Er) Jacob nummer (Ja)
Andra dimensionslösa mängder	Abbe nummer kvanttal